Sujet : Analyse, Séries entières, Application à l'étude de suite

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Application à l’étude de suite Exercice 4 Centrale MP [ 02849 ] [correction] Si n> 1, soit I le nombre d’involutions de{1,...,n}. On convient : I = 1.n 0 a) Montrer, si n> 2, queExercice 1 [ 01010 ] [correction] a) Former le développement en série entière en 0 de I =I +(n−1)In n−1 n−2 1 P In nx7→ b) Montrer que la série entière x converge si x∈ ]−1,1[.2 n!(1−x)(1−x ) n>0 On note S(x) sa somme.Nb) Soit (u )∈C vérifiantn c) Montrer, pour x∈ ]−1,1[, que ∀n∈N,u =u +u −un+3 n+2 n+1 n 0S (x) = (1+x)S(x) Exprimer le terme général de la suite (u ) en fonction de ses premiers termes.n d) En déduire une expression de S(x) puis une expression de I .n Exercice 2 [ 01011 ] [correction] Exercice 5 Mines-Ponts MP PC [ 02850 ] [correction] On pose a = 1 et pour tout n∈N,0 On pose a = 1 puis pour tout n∈N0 nX ! nXa = a an+1 n−k k n a = a an+1 n−k kk=0 k k=0 a) Donner une formule permettant de calculer a nnCalculer les a en utilisant la série entière de terme général x .n n! +∞X n S(x) = a xn n=0 b) Calculer S(x). c) les a .n d) Donner un équivalent de la suite (a ).n Exercice 3 Centrale MP [ 02451 ] [correction] On note N(n,p) le nombre de permutations de [1,n] qui ont exactement p points fixes. On pose en particulier D(n) =N(n,0), puis +∞XD(n) nf(x) = x n! n=0 a) relier N(n,p) et D(n−p). b) Justifier la définition de f sur ]−1,1[ puis calculer f. c) Calculer N(n,p). 1d) Etudier la limite de N(n,p) quand n tend vers +∞.n!
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Application à l’étude de

suite

Exercice 1[ 01010 ][correction]
a) Former le développement en série entière en 0 de

b) Soit(un)∈CNvérifiant

1
x7→(1−x)(1−x2)

∀n∈N un+3=un+2+un+1−un

Exprimer le terme général de la suite(un)en fonction de ses premiers termes.

Exercice 2[ 01011 ][correction]
On posea0= 1et pour toutn∈N,

n
an+1=Xan−kak
k=0

a) Donner une formule permettant de calculer

+∞
S(x) =Xanxn
n=0

b) CalculerS(x).
c) Calculer lesan.
d) Donner un équivalent de la suite(an).

Enoncés

Exercice 3Centrale MP[ 02451 ][correction]
On noteN(n p)le nombre de permutations de[1 n]qui ont exactementppoints
fixes. On pose en particulierD(n) =N(n0), puis

+∞
f(x) =XnD!(n)xn
n=0

a) relierN(n p)etD(n−p).
b) Justifier la définition defsur]−11[puis calculerf.
c) CalculerN(n p).
d) Etudier la limite den!1N(n p)quandntend vers+∞.

Exercice 4Centrale MP[ 02849 ][correction]
Sin>1, soitInle nombre d’involutions de{1     n}. On convient :I0
a) Montrer, sin>2, que

In=In−1+ (n−1)In−2
b) Montrer que la série entièrePInn!xnconverge six∈]−11[.
n>0
On noteS(x)sa somme.
c) Montrer, pourx∈]−11[, que

S0(x) = (1 +x)S(x)

d) En déduire une expression deS(x)puis une expression deIn.

Exercice 5Mines-Ponts MP PC[ 02850 ][correction]
On posea0= 1puis pour toutn∈N
an+1=k=Xn0kn!an−kak

Calculer lesanen utilisant la série entière de terme généralnan!xn.

1.
=

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Pour|x|<1,
1 1+∞xn+X∞2n
1−x1−x2=Xx
n=0n=0
Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,

+∞
(1−x1()1−x2) =X=0anxn
n

Corrections

avec
an=Card(k `)∈N2k+ 2`=n=bn2c+ 1
b) Analyse :
Introduisons la série entièrePunxnde sommeSet de rayon de convergenceR.
Pour toutn∈N,

un+3xn+3=un+2xn+3+un+1xn+3−unxn+3

En sommant, on obtient pour|x|< R,
S(x)−u0+u1x+u2x2=x(S(x)−u0−u1x) +x2(S(x)−u0)−x3S(x)

On en déduit

2x x2
S(x) =u0(1(1−−x)x(1−−xx)2) +u11−x2+u2(1−x)(1−x2)

Synthèse : Considérons la fonction

f:x7→u0(1(1−−x)x(1−−x2x)2) +u11−xx2+u2(1−x)x(21−x2)

fune fonction rationnelle donc 0 n’est pas pôle, elle est développable en sérieest
entière sur]−11[.
Puisque cette fonction vérifie la relation
f(x)−u0+u1x+u2x2=x(f(x)−u0−u1x) +x2(f(x)−u0)−x3f(x)

les coefficientsunson développement en séries entières vérifientde

+∞+∞
∀x∈]−11[Xun+3xn+3=X(un+2+un+1−un)xn+3
n=0n=0

2

Par identification des coefficients de séries entières de sommes égales sur]−11[,
on obtient
∀n∈N un+3=un+2+un+1−un
Ceci détermine alors entièrement la suite(un)moyennant la connaissance des
coefficientsu0 u1 u2.
Pour exprimerun, il ne reste plus qu’à former le développement en série entière de
f.
(1−x−x21)=)−(1−x)x(31−x2) = 1−n+X=∞0anxn+3
(1−x)(1−x2

+∞2 +∞
1−xx2=Xx2n+1et(1−x)x(1−x2) =n=X0anxn+2
n=0
On en déduit que pourn>3,

un=−u0an−3+u1εn+u2an−1

avecεn= 1sinest impair et 0 sinon.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Si la série entièreSest de rayon de convergenceR >0, alors pour tout
x∈]−R R[on a

+∞+∞n
S(x) =a0+Xan+1xn+1= 1 +xX Xakan−kxn
n=0n=0k=0

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

S(x) = 1 +xS2(x)

b) Pourx6= 0, on obtient, après résolution
S(x 1) =√±1−4x<14
pourx
2x

Posonsε(x)tel que

On a

S(x +) 1ε(x)2x√1−4x
=

S(x)−1
ε(x) = 2x√1−4x

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Corrections

La fonctionεest continue sur]−R0[∪]0min(R14)[et ne prend que les valeurs
−1ou 1. On en déduit que cette fonctionεest constante et puisqueSconverge
quandx→0+−, on peut affirmer queεest constante égale à−1car négative au
voisinage de 0.
Finalement

S(x 1) =√−12x4xetS(0) = 1
c) Après développement en série entière de√1−4x, on obtient

avec

1√−1−4+∞
2xx=Xbnxn
n=0

bn=n+112nn!

etR= 14.
Puisque la fonction
T:x7→1−√1−4x
2x
vérifie l’équationxT2(x) =T(x)−1, la reprise des calculs précédents (sachant
R >0) assure que les coefficientsbnvérifient

n
b0= 1∀n∈N bn+1=Xbn−kbk
k=0

On en déduitan=bnpour toutn∈Ncar les conditions qui précèdent
déterminent une suite de façon unique.
d) Par la formule de Stirling
22n
an∼
√πn32

Exercice 3 :[énoncé]
a)

N(n p) =np!D(n−p)

b)D(n)6n!doncnD(!n)61qui impliqueR>1.

n n
On aPN(n p) =n!doncP1D(n−p) = 1d’où par produ
p=0p=0p!(n−p)!it de Cauchy
=1s
exf(x)1−xpui
−x
f(x e) =
1−x
c)
+∞n
X X

donc

puis

d) Finalement

1e−−xx= (−k)1!kxn
n=0k=0

Dn=n!Xn(−k!)1k
k=0

!n−Xp(−k!)1k
N(n p) =np!k=0

n!1N(n p)n−→−−+−∞→p1!e

3

Exercice 4 :[énoncé]
a) Une involution de{1     n}peut fixer l’élémentnou non.
Il y a exactementIn−1involutions de{1     n}fixantn.
Si une involution ne fixe pasn, elle l’échange avec un autre élémentade
{1     n−1}. Il y an−1valeurs possibles poura, l’involution alors obtenue
envoyantnsuraetasurnréalise aussi par restriction une involution sur
{1     n}  {a n}: il y en a exactement(n−1)In−2.
Au final, on obtient
In=In−1+ (n−1)In−2
b) Une involution est bijective et il y a exactementn!permutations de{1     n}.
On a doncIn6n!.
PuisqueInn! =O(1), le rayon de convergence de la série entière est supérieur à 1.
c) Par décalage d’indice

+∞
(1 +x)S(x) =XInn!xn++X∞(Inn−−11)!xn
n=0n=1
En combinant les deux sommes
+
(1 +x)X∞I−nn!In−1xn
S(x) = 1 +n
n=1

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En vertu de la relation obtenue précédemment

+∞
(1 +x)S(x) = 1 +XInn+!1xn=S0(x)
n=1

Corrections

d) La résolution de cette équation différentielle linéaire, sachantS(0) = 1, donne

2
S(x) = ex+21x

Or
+∞xn+∞2n
ex+21x2= exe21x2=Xn!X2xnn!
n=0n=0
puis, par produit de Cauchy
I2p=k=Xp022(kkk!!)22pk!etI2p+1=pkX=0(22kkk)!!2p+2k1!

Exercice 5 :[énoncé]
Posonsbn=nan!, on ab0= 1et

n
(n+ 1)bn+1=Xbn−kbk
k=0
NotonsSla somme de la série entièrePbnxnet posonsRson rayon de
convergence.
Par récurrence, on peut affirmer|bn|61et doncR >0.
Sur]−R R[, la relation précédente donne a

S0(x) =S2(x)

Après résolution, sachant queS(0) = 1, on obtient

d’où l’on tirean=n!.

S(x)1=1−x

4

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