Sujet : Analyse, Séries numériques, Nature de séries dépendant de paramètres

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Nature de séries dépendant de paramètres Exercice 7 [ 01087 ] [correction] nP (−1)√Soitα> 0. Préciser la nature de la série u avecu = pourα∈R.n n α nn +(−1)n>2 Exercice 1 [ 01081 ] [correction] Déterminer en fonction du paramètre α∈R la nature des séries de termes généraux : Exercice 8 [ 01088 ] [correction] Déterminer en fonction de α∈R, la nature deα lnn−n αa) u = e b) u = c) u = exp(−(lnn) )n n nαn nX (−1) α nn +(−1) Exercice 2 [ 01082 ] [correction] Etudier en fonction de α∈R la nature de Exercice 9 Centrale MP [ 02430 ] [correction]X R1 π/4 nOn note u = (tant) dt.nα 0n lnn n>2 a) Déterminer la limite de u .n b) Trouver une relation de récurrence entre u et u .n n+2 nc) Donner la nature de la série de terme général (−1) u .n Exercice 3 Centrale MP [ 01083 ] [correction] αd) Discuter suivant α∈R, la nature de la série de terme général u /n .n Soient a,b∈R. Déterminer la nature de la série X lnn+aln(n+1)+bln(n+2) Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02790 ] [correction] n>1 Nature de la série de terme général Calculer la somme lorsqu’il y a convergence. n(−1) u = ln 1+n an Exercice 4 [ 01084 ] [correction] où a> 0. Soient a,b∈R. Déterminer la nature de la série X√ √ √ n+a n+1+b n+2 Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02791 ] [correction] n>1 Nature de la série de terme général Calculer la somme lorsqu’il y a convergence. √ nn+(−1) u = ln √n n+a Exercice 5 [ 01085 ] [correction] où a> 0.
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Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02791 ][correction]
Nature de la série de terme général
n
un= ln√n+ (−a1)
√n+

oùa >0.

La série de terme généralunconverge-t-elle ?

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oùa >0.

Exercice 4[ 01084 ][correction]
Soienta b∈R. Déterminer la nature de la série
X√n+a√n+ 1 +b√n+ 2
n>1

Exercice 5[ 01085 ][correction]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réelsa b cpour que la
suite de terme général√a1+√b2+√c3+√a4+b+√c6+∙ ∙ ∙converge.
√5

Exercice 6[ 01086 ][correction]
Soitλun réel. Etudier la nature des séries de terme général
λnλ2n1
un= 1 +λ2n vn= 1 +λ2n wn= 1 +λ2n

Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.

Nature de séries dépendant de paramètres

Exercice 2[ 01082 ][correction]
Etudier en fonction deα∈Rla nature de
Xnαln1n
n>2

Exercice 3Centrale MP[ 01083 ][correction]
Soienta b∈R. Déterminer la nature de la série
Xlnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2)
n>1

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02790 ][correction]
Nature de la série de terme général
un= ln1 + (−1a)n
n

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02799 ][correction]
Soientα >0et(un)une suite de réels strictement positifs vérifiant
1
u1nnnαn1α
= 1−+o

1

Exercice 9Centrale MP[ 02430 ][correction]
On noteun=R0π4(tant)ndt.
a) Déterminer la limite deun.
b) Trouver une relation de récurrence entreunetun+2.
c) Donner la nature de la série de terme général(−1)nun.
d) Discuter suivantα∈Rla nature de la série de terme général, unnα.

Enoncés

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Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.

pourα∈R.

Exercice 8[ 01088 ][correction]
Déterminer en fonction deα∈R, la nature de
X(−1)n
nα+ (−1)n

Exercice 7[ 01087 ][correction]
Soitα >0. Préciser la nature de la sérienP>2unavecun=√n(α−1)(+−n1)n

Exercice 1[ 01081 ][correction]
Déterminer en fonction du paramètreα∈Rla nature des séries de termes
généraux :

a)un= e−nαb)un= lnnnc)un= exp(−(lnn)α)
α

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Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02802 ][correction]
Soient(a α)∈R+×Ret, pourn∈N?:
n
P1kα
un=ak=1
a) Pour quels couples(a α)la suite(un) Dans la suite, on ?est-elle convergente
suppose que tel est le cas, on note`= limunet on pose, sin∈N?,
vn=un−`
b) Nature des séries de termes générauxvnet(−1)nvn.

Exercice 14[ 03429 ][correction]
Soientp∈Netα >0. Déterminer la nature des séries de termes généraux
vn=pn+p!−αetwn= (−1)nn+p!−α
p

Exercice 15[ 03704 ][correction]
a) En posantx= tant, montrer
Z0π21 +asdtin2(t2=)√1π+a
b) Donner en fonction deα >0la nature de la série
dt
X Z0π1 + (nπ)αsin2(t)
c) Mme question pour
X Z(n+1)π


d) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞

0

dt

1 +tαsin2(t)

dt
1 +tαsin2(t)

Exercice 16CCP MP[ 02515 ][correction]
Etudier la nature de la série de terme général
un= ln1 + sin (−n1α)n
pourα >0.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Siα60, il y a divergence grossière. Siα >0alorsn2un→0et la série est
absolument convergente.
b) Siα61alorsun>1npournassez grand et il y a divergence par
comparaison de séries à termes positifs.
Siα >1alors pourγ∈]1 α[on anγun→0et il y a absolue convergence.
c) Siα61alorsun>1et la série est grossièrement divergente.
Siα >1alorsn2un ln= exp(2n−(lnn)α)→0donc la série est absolument
convergente.

Exercice 2 :[énoncé]
Siα <1alorsnnαn1ln→+∞donc pournassez grandnαl1nn>1n. Par
comparaison de séries à termes positifs, la série diverge
Siα >1alors considéronsβ∈]1 α[. On annβα1lnn→0donc la série est
absolument convergente.
Siα= 1alors exploitons la décroissance de la fonctionx7→x1lnxsur]1+∞[.
Pourk>2,
1k
klnk>Zk+1tdnltt
donc
n
X1Zn+1dt

klnk>2tlnt= [ln(lnt)]n+12n−→−−+−∞→+∞
k=2
Par suite, la série étudiée diverge.

Exercice 3 :[énoncé]
On a
lnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2) = (1 +a+b) lnn+a+n2b+On12

Il y a convergence si, et seulement si,1 +a+b= 0eta+ 2b= 0ce qui correspond
àa=−2etb= 1.
Dans ce cas :

N N N+1N+2
Xlnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2) =Xlnn−2Xlnn+Xlnn
n=1n=1n=2n=3

puis

N
Xlnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2) = ln 1+ln 2−2 ln 2−2 ln(N
n=1

3

+1)+ln(N+1)+ln(N+2)→ −

Exercice 4 :[énoncé]
On a
√n+a√n+ 1 +b√n+ 2 = (1 +a+b)√a+2√n2b+On312
n+

Il y a convergence si, et seulement si,1 +a+b= 0eta+ 2b= 0ce qui correspond
àa=−2etb= 1.
Dans ce cas :

N N N+1N+2
X√n+a√n+ 1 +b√n+ 2 =X√n−2X√n+X√n
n=1n=1n=2n=3

N
X√n+a√n+ 1 +b√n+ 2 =√1 +√2−2√2−2√N+ 1 +√N+ 1 +√N+ 2
n=1

et enfin

N
X√n+a√n+ 1 +b√n+ 2→1√−2
n=1

Exercice 5 :[énoncé]
Posonsunle terme général de la suite étudiée.
n
u3n+3=kP=1√3ak+1+√3bk+2+√3kc+3. Or
√3ak+1+√3kb+2+√3ck+3=a√+b3k+c+o√1kdonca+b+c= 0est une condition
nécessaire pour la convergence de(u3n+3)et donc a fortiori pour la convergence
de(un). Inversement si cette condition est satisfaite alors
√3ak+1+√3bk+2+√3ck+3=Ok√1ket donc(u3n+3)converge. De plus
u3n+1=u3n+3+o(1)etu3n+2=u3n+3+o(1)donc les trois suites(u3n+1),
(u3n+2)et(u3n+3)convergent vers une mme limite, on peut donc conclure que
(un)converge.

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Exercice 6 :[énoncé]
Si|λ|= 1y a divergence grossière dans les trois cas.il
Si|λ|>1alorsun∼λ1n,vn∼1etwn∼λ12n. Les sériesPunetPwnconvergent
etPvndiverge.
Si|λ|<1alorsun∼λn,vn∼λ2netwn∼1. Les sériesPunetPvnconvergent
tandis quePwndiverge.

Exercice 7 :[énoncé]
un=(n−α1)2n1−(2−n1α)n+On21α=(n−α1)2n−2n31α2+On5α12.
Siα60alorsun6 →0doncPundiverge. Siα >0alorsP(−n1α)nconverge.
n>2n>2
Si32α>1alors−2n31α2+On51α2est le terme général d’une série absolument
convergente et doncPunconverge. Si32α61alors−2n31α2+On51α2∼2n−3α12
n>2
(de signe constant) est le terme général d’une série divergente doncPun.
n>2

Exercice 8 :[énoncé]
La conditionα >0est nécessaire pour qu’il n’y ait pas divergence grossière.
Pourα >0,
nα+(−)1(−n1)n= (−1)n+ 12α+on12α
nαn
n
La série de terme général(−n1α)est convergente et la série de terme général
n21α+on12α∼n21α

est convergente si, et seulement si,α >12.
Finalement la série initiale converge si, et seulement si,α >12.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Par convergence dominée par la fonctionϕ:t7→1, on obtientun→0.
b)
π
un+un+2=Z04(tant)0(tant)ndt=n+11
c) On vérifie aisémentun→0+etun+16un. Par application du critère spécial
des séries alternées,P(−1)nunconverge.

d) Par monotonie
un+un+262un6un+un−2
On en déduitun∼21npuis par comparaison de séries à termes positifs,Punnα
converge si, et seulement si,α >0.

Exercice 10 :[énoncé]
On a
ln (1 +−n1a)n= (−n1a)n−12n12a+on12a
Par le critère spécial,(−n1a)nest terme général d’une série convergente.
Par comparaison de séries à termes positifs
1
−12n12a+o ∼ −12n12a
n2a

est terme général d’une série convergente si, et seulement si,a >12.
Finalement, la série étudiée converge si, et seulement si,a >12.

Exercice 11 :[énoncé]
On a
un= ln (1 +−√1n)n−l2n11 +na= (√−1n)n−(a+2n1)+On312
Par suitePunconverge si, et seulement si,a= 1.

Exercice 12 :[énoncé]
On a
un=1−n1α+on1αn= exp−nα1−1+onα1−1
Siα>1alors(un)ne tend pas vers zéro etPunest grossièrement divergente.
Siα∈]01[alorsn2un→0etPunest convergente.

Exercice 13 :[énoncé]
a) Siα61alors

n
Xk1αn−→−−∞→+∞
k=1

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et doncun→0sia∈[01[,un→1sia= 1et(un)diverge sia >1.
Siα >1alorsnkP=1k1αconverge et donc(un)aussi.
b) Casα61eta= 1:un= 1,vn= 0et on peut conclure.
n
2 lnn+
Casα <1eta∈[01[:`= 0,vn=un,n2vn= ekP=1k1αlna→0car

n1 1 1
Xkα∼α−1nα−1
k=1
Casα= 1eta∈[01[:`= 0,vn=un= e(lnn+γ+o(1)) lna∼λnlnadoncPvn
converge si, et seulement si,lna <−1i.e.a <−1e.
+∞
P1

Casα >1:`=ak=1,

Corrections

+∞
vn=`(e−Pk1α+X∞k1α=−(α−1`)nα−1
k=n+1−1)∼ −`
k=n+1
AinsiPvnconverge si, et seulement si,α >2.
Dans chacun des cas précédents, on peut appliquer le critère spécial aux séries
alternées et affirmer queP(−1)nvnconverge.

Exercice 14 :[énoncé]
On a
(n+ 1)
np+p!= (n+p)(n+p−1)  ∼1!np
p!p

donc
vn∼(p!)α
npα
Par équivalence de séries à termes positifs, la série numériquePvnconverge si, et
seulement si,α >1p.
On a
n+pp+1+1!=pn1++p!+n+pp!>n+pp!
donc la suite(|wn|)est décroissante. De plus elle de limite nulle, le critère spécial
des séries alternées assure alors la convergence dePwnpour toutα >0.

5

Exercice 15 :[énoncé]
a) L’intégrale étudiée est bien définie poura >−1. Par le changement de variable
proposé
Z0π21 +adsitn2(t) =Z0+∞d(+11x+a)x2
puis en posantu=x√1 +a
Z0π21 +aidstn2(t)2=√1π+a

b) Par symétrie
dt
Z0π1 + (nπ)αsin2(t 2) =Z0π21 + (nπ)dαtsin2(t)
et par le calcul qui précède
Z0π1 + (nπd)tαsin2(t) =p1 +π(nπ)α∼π1n−αα22
Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée converge si, et
seulement si,α >2.
c) Par monotonie, on a l’encadrement
)πdt
Zn(nπ+11 + ((n+ 1)π)αsin2(t)6Zn(nπ+1)π1 +tαsdtin2(t)6Zn(πn+1)π1 + (nπd)tαsin2(t)
Par comparaison de séries à termes positifs, la convergence de la série
actuellement étudiée entraîne la convergence de la précédente et inversement. La
condition attendue est donc encoreα >2.
d) Les sommes partielles de la série étudiée ci-dessus correspondent aux intégrales
suivantes
ndt
Z01 +tαsin2(t)
La fonction intégrée étant positive, la convergence de l’intégrale entraîne la
convergence de la série et inversement. On conclut que l’intégrale étudiée converge
si, et seulement si,α >2.

Exercice 16 :[énoncé]
Par développement
u(−1)n12α+on21α=vn+wn
=−
nnα2n

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Corrections

avec
1
vn= (−n1α)netwn2=n2α+on21α

Pvnconverge en vertu du critère spécial des séries alternées etPwnconverge si,
et seulement si,2α >1par équivalence de termes généraux de séries de signe
constant. Au final,Punconverge si, et seulement si,α >12.

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