Sujet : Analyse, Séries numériques, Série dont le terme général est défini par une suite récurrente

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Série dont le terme général est défini par une suite Exercice 6 X MP [ 02961 ] [correction] Soit (u ) une suite réelle telle que u > 0 et pour tout n> 0,n 0récurrente u = ln(1+u )n n−1 Exercice 1 [ 01097 ] [correction] Etudier la suite (u ) puis la série de terme général u .n nSoit (u ) la suite définie par u ∈ [0,π] et pour tout n∈N, u = 1−cosu .n 0 n+1 n Montrer que u → 0 et déterminer la nature de la série de terme général u .n n Exercice 7 [ 01101 ] [correction] Soit (u ) la suite définie par u ∈ ]0,1[ et pour tout n∈N,n 0 Exercice 2 [ 01098 ] [correction] √ 2Soit (u ) la suite définie par u > 0 et pour tout n∈N, u = 1+u . u =u −un 0 n+1 n n+1 n n Montrer que (u ) converge vers un réel ‘. Quelle est la nature de la série de termen a) Existence et éventuellement calcul degénéral u −‘.n +∞ +∞X X 2u et ln(1−u )nn Exercice 3 [ 01099 ] [correction] n=0 n=0 Soient u ∈ ]0,π/2[ et u = sinu pour tout n∈N.0 n+1 n + b) Nature de la série de terme général u ?na) Montrer que u → 0 .n P 3b) Exploiter u −u pour montrer que u converge.n+1 n n n>0 P 2 Exercice 8 X MP [ 02951 ] [correction]c) Exploiter lnu −lnu pour montrer que u diverge.n+1 n n n>0 Soit (u ) la suite définie par u ∈ [0,1] etn n>0 0 2∀n∈N,u =u −un+1 n n Exercice 4 [ 03012 ] [correction] a) Quelle est la nature de la série de terme général u ?
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Enoncés

Série dont le terme général est défini par une suite
récurrente

Exercice 1[ 01097 ][correction]
Soit(un)la suite définie paru0∈[0 π]et pour toutn∈N,un+1= 1−cosun.
Montrer queun→0et déterminer la nature de la série de terme généralun.

Exercice 2[ 01098 ][correction]
Soit(un)la suite définie paru0>0et pour toutn∈N,un+1=√1 +un.
Montrer que(un)converge vers un réel`. Quelle est la nature de la série de terme
généralun−`.

Exercice 3[ 01099 ][correction]
Soientu0∈]0 π2[etun+1= sinunpour toutn∈N.
a) Montrer queun→0+.
b) Exploiterun+1−unpour montrer quePu3nconverge.
n>0
c) Exploiterlnun+1−lnunpour montrer quePu2ndiverge.
n>0

Exercice 4[ 03012 ][correction]
La suite(an)n>0est définie para0∈]0 π2[et

∀n∈N an+1= sin(an)

Quelle est la nature de la série de terme généralan?

Exercice 5[ 02440 ][correction]
Soit(an)n>0une suite définie para0∈R+?et pourn∈N,

an+1= 1−e−an

a) Etudier la convergence de la suite(an).
b) Déterminer la nature de la série de terme général(−1)nan.
c) Déterminer la nature de la série de terme généralan2.
d) Déterminer la nature de la série de terme généralanà l’aide de la série
Xlnanan+1

Exercice 6X MP[ 02961 ][correction]
Soit(un)une suite réelle telle queu0>0et pour toutn >0,

un= ln(1 +un−1)

Etudier la suite(un)puis la série de terme généralun.

Exercice 7[ 01101 ][correction]
Soit(un)la suite définie paru0∈]01[et pour toutn∈N,

un+1=un−u2n
a) Existence et éventuellement calcul de

+∞+∞
Xu2netXln(1−un)
n=0n=0
b) Nature de la série de terme généralun?

Exercice 8X MP[ 02951 ][correction]
Soit(un)n>0la suite définie paru0∈[01]et

∀n∈N un+1=un−un2

1

a) Quelle est la nature de la série de terme généralun?
b) Mme question lorsqueunest définie par la récurrenceun+1=un−u1n+α(avec
α >0).

Exercice 9[ 01100 ][correction]
Soient(an)une suite positive et(un)la suite définie paru0>0et pour toutn∈N

un+1=un+anun

Montrer que la suite(un)et seulement si, la série de termeest convergente si,
généralanest convergente.

Exercice 10X MP[ 02960 ][correction]
Soitu∈RNtelle queu0∈]01]et que, pour un certainβ >0et pour toutn∈N,
β
uβn+1= sinun

Etudier la nature de la série de terme généralun.

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Exercice 11Centrale MP[ 02433 ][correction]
Soitα >0et(un)n>1la suite définie par :

u1>0et∀n>1,un+1=un+nα1un

a) Condition nécessaire et suffisante surαpour que(un)converge.
b) Equivalent deundans le cas où(un)diverge.
c) Equivalent de(un−`)dans le cas où(un)converge vers`.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La fonctionx7→1−cosx−xest négative sur[0+∞[et ne s’annule qu’en 0. Par
conséquent, la suite(un)décroissante, or elle est clairement minorée par 0est
donc elle converge et annulant la précédente fonction ne peut tre que 0. Puisque
un+1 sin= 22u2non aun+1621un2. Par suiteun=O(12n)et donc la série desun
converge.

Exercice 2 :[énoncé]
`=1 +√52est la seule limite possible de la suite(un)qui est clairement à
termes positifs.
|un+1−`|=√1+|uunn+−`√|1+`612|un−`|doncun=O(12n)et ainsi la série
converge.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Aisément la suite est strictement positive, décroissante et de limite`∈[0 π2]
vérifiantsin`=`.
b)un+1−unterme général d’une série télescopique convergente. Orest le
un+1−un∼ −16un3donc par équivalence de suite de signe constant, on conclut.
c)lnun+1−lnunest le terme général d’une série télescopique divergente. Or
lnun+1−lnun∼ln1−61un2∼ −16un2donc par équivalence de suite de signe
constant, on conclut.

Exercice 4 :[énoncé]
La suite(an)est décroissante et minorée par 0 donc convergente. En passant la
relation de récurrence à la limite, on obtient que(an)tend vers 0.
Puisque
1 1a2n−a2n+11
−=∼
a2n+1a2na2nan1+23
on obtient par le théorème de Césaro
1nnX−1a21 1→13

a2
k=0k+1k
puis
1 1 1

2→
n an3
Finalementan∼√√3net la série étudiée est divergente.

Exercice 5 :[énoncé]
a) La suite(an)est bien définie et à termes positifs puisque pour toutx>0,
1−e−x>0.
Puisque pour toutx∈Rex61 +x, on aan+16anet la suite(an)est donc
décroissante.
−`
Puisque décroissante et minorée,(an)converge et sa limite`vérifie`= 1−e.
On en déduit`0.
=
Finalement(an)décroît vers 0.
b) Par le critère spécial des séries alternées,P(−1)nanconverge.
c) Puisquean→0, on peut écrirean+1= 1−e−an=an−21an2+o(an2).
Par suitean2∼ −2(an+1−an).
Par équivalence de séries à termes positifs, la nature de la série de terme général
a2nest celle de la série de terme généralan+1−anqui est celle de la suite de
terme généralan. FinalementPan2converge.
d) La nature de la série de terme généralln(an+1an)est celle de la suite de
terme généralln(an). C’est donc une série divergente. Or
lnana+n1= ln1−12an+o(an)∼ −12an
Par équivalence de série de terme de signe constant, on peut affirmerPan
diverge.

Exercice 6 :[énoncé]
La suite(un)est à terme strictement positifs caru0>0et la fonction
x7→ln(1 +x)laisse stable l’intervalle]0+∞[.
Puisque pour toutx>0,ln(1 +x)6x, la suite(un)est décroissante.
Puisque décroissante et minorée, la suite(un)converge et sa limite`vérifie
ln(1 +`) =`ce qui donne`= 0.

1 21
1−1=un−un+1∼2u2n→
un+1ununun+1un2
Par le théorème de Cesaro,
1n−11
nkX=0uk1+1−u1k→2

et donc
1 1

nun2
On en déduitun∼2net donc la série de terme généralundiverge.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
a)un+1−un60etun∈]01[pour toutn∈Ndonc(un)converge et la seule
limite possible est 0.

N N
Xu2n=Xun−un+1=u0−uN+1→u0
n=0n=0
doncPun2converge et
+∞
Xun2=u0
n=0
On a
nNX=0ln(1−un) = lnNn=Y0uunn+1!= lnuNu1+0→ −∞
donc la série numériquePln(1−un)diverge.
b) Puisque
ln(1−un)∼ −un
Par équivalence de séries à termes de signe constant,Pundiverge.

Exercice 8 :[énoncé]
Dans le cas oùu0= 0est nulle. On suppose désormais ce cas exclu., la suite
a) La suite(un)est à termes dans]01]car l’applicationx7→x−x2laisse stable
cet intervalle.
La suite(un)est décroissante et minorée donc convergente. Sa limite`vérifie
`=`−`2et donc`= 0.
Finalement(un)décroît vers 0 par valeurs strictement supérieures.
1−=1un−un+1=u2n→1
un+1ununun+1u2n−u3n
Par le théorème de Cesaro,
1nnk−=X01k1+1−u1k→1
u

et donc1→1.
nun
On en déduit queun∼n1et doncPundiverge.
b) Comme ci-dessus, on obtient que(un)décroît vers 0 par valeurs strictement
supérieures.

1 1unαunα+1αunα→α
−=∼
uαn+1unα(unun+1)αuαn+1

Par le théorème de Cesaro,n1uα→αet donc
n

λ
un∼n1α
avecλ >0.
Siα∈]01[,Punconverge et siα>1,Pundiverge.

Exercice 9 :[énoncé]
La suite(un)est croissante.
Si(un)converge alors sa limite`est strictement positive et

an∼`(un+1−un)
est le terme général d’une série convergente par équivalence des termes généraux
de signe constant.
SiPanconverge alors
06un+1−un6anu0
donc par comparaison la série de terme généralun+1−unconverge et donc(un)
converge.

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Exercice 10 :[énoncé]
Posonsvn=uβn. La suite(vn)vérifievn∈]01]etvn+1= sin(vn)pour toutn∈N.
Puisque la fonction sinus laisse stable l’intervalle]01], on peut affirmer que pour
toutn∈N,vn∈]01].
De plus, pourx>0,sinx6xdonc la suite(vn)est décroissante.
Puisque décroissante et minorée,(vn)converge et sa limite`vérifiesin`=`ce qui
donne`= 0.
Finalement(vn)décroît vers 0 par valeurs strictement supérieures.
On a
1
1 1 (vn−vn+1)(vn+1+vn)6v3n×2vn→1
−=∼
v2n+1v2nvn2v2v4n3
n+1
Par le théorème de Cesaro,
1
1nkn=X−01vk21+1−v1k2→
3
et doncnv12n→31. On en déduitvn∼n√132puis

λ
un∼2β
n1

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avecλ >0.
Pourβ∈]02[,Pvnconverge et pourβ>2,Pvndiverge.

Exercice 11 :[énoncé]
a) Notons la suite(un)est bien définie, strictement positive et croissante.
Siα >1, on a

1
un+16un+α
n u1

puis par récurrence
n
un6Xkα1u1
k=1
Ainsi(un)converge.
Si(un)converge. Posons`= limun, on observe` >0. On a

1 1
un+1−un=nαun∼nα`

or la série de terme généralun+1−unest convergente doncα >1.
b) On supposeα61. On a

u2n+1−u2n 1= 2 +2∼2
nαn2αunnα

donc par sommation de relation de comparaison de séries à termes positifs
divergentes
un2∼2Xn1

k=1
or par comparaison série-intégrale,

et

n1n1−α
Xkα∼1−αquandα <1
k=1

n
X1k∼lnnquandα= 1
k=1

On conclut alors
r21n1−−ααsiα <1
un∼etun∼√2 lnnsiα= 1

Corrections

c) On supposeα >1. Posonsvn=un−`. On a

1 1
vn+1−vn=nαun∼nα`

donc par sommation de relation de comparaison de séries à termes positifs
convergentes
+X∞vk+1−vk=−vn∼+X∞1 1 1

`nαα−1`nα−1
k=n k=n
puis
1 1

vn1=−α `nα−1

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