Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries doubles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries doubles Calculer +∞ +∞ +∞ +∞XX XX a et ap,q p,q Exercice 1 [ 01093 ] [correction] q=0p=0 p=0q=0 a) Soit α> 1. Déterminer un équivalent à Qu’en déduire? +∞X 1 R =n αk k=n+1 Exercice 5 Centrale MP [ 02424 ] [correction] Convergence et calcul, pour z complexe tel que|z| 1) établir l’égalitép,q 2 2(p+q )(p+q +1) ?(p,q)∈N×N ∞ ∞p 2p−1X Xa a = 2p 2p−11−a 1−a p=1 p=1 Exercice 4 [ 01096 ] [correction] On pose 2p+1 p p+1 a = − −p,q p+q+2 p+q+1 p+q+3 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6666 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Corrections 2 Corrections Cependant +∞ +∞ +∞ +∞X X X X1 3 3 =− =− 2 2 2 2Exercice 1 : [énoncé] n −p 4n 4p n=1p=1,p=n n=1 p=1 +∞R RP+∞ +∞1 dx 1 dxa) Puisque x7→ est décroissante : 6 6 doncα α α α doncx n+1 x k n x k=n+1 +∞ +∞ +∞ +∞X X X X1 1 +∞P =1 1 1 2 2 2 2∼ .α α−1 n −p n −pk α−1n p=1n=1,n=p n=1p=1,p=nk=n+1 +∞ +∞P P 1b) Par suite a un sens si, et seulement si, α> 2.αk n=0k=n+1 Exercice 3 : [énoncé] 1 Pc) Posons u = si k>n et u = 0 sinon.k,n α k,nk La série u est absolument convergente etp,q +∞P P P p>1 Pour tout n> 1, |u | converge et |u | converge donc on peutk,n k,n k>0 n>0k=0 +∞ 2q−1X |a|appliquer la formule de Fubini et affirmer |u | =p,q 2q−1+∞ +∞ +∞ +∞P P P P 1−|a| p=1u = u avec convergence des séries sous-jacentes.
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Séries doubles

Exercice 1[ 01093 ][correction]
a) Soitα >1. Déterminer un équivalent à

+∞1
Rn=Xkα
k=n+1

+∞+∞
b) Pour quelsα∈R, la sommeP Pk1αa-t-elle un sens ?
n=0k=n+1
c) Montrer qu’alors
+∞+∞
X+X∞k1α=α1−1
n=0k=n+1p=X1p

Exercice 2
Justifier

[ 01094 ][correction]

+∞1 3
Xn2−4=p2
n=1n6=pp2

En déduire
+∞+∞1+∞+∞1
X26=X
p=1n=1Xn6=pn2−pn=1p=1Xp6=nn2−p2
Cette étude montre que l’on ne peut pas permuter deux sommes infinies sans
moult justifications !

Exercice 3[ 01095 ][correction]
Soitade module strictement inférieur à 1.un complexe
En introduisantupq=ap(2q−1)(pourp q>1) établir l’égalité

Exercice 4
On pose


X1−apa2p=∞X1a−2pa2−p1−1
p=1p=1

[ 01096 ][correction]

2p+ 1p p+ 1
apq=p+q+ 2−p+q+ 1−p+q+ 3

Enoncés

Calculer

Qu’en déduire ?

+∞+∞+∞+∞
X XapqetX Xapq
q=0p=0p=0q=0

Exercice 5Centrale MP[ 02424 ][correction]
Convergence et calcul, pourzcomplexe tel que|z|<1, de

+∞2n
z
X01−z2n+1
n=

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02803 ][correction]
Etudier
n m
nli→m∞mlimX X(−1)i+jti+j+1
→∞
i=0j=0

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02806 ][correction]
Nature et calcul de la somme de la série de terme général

X∞(−1)k
k2
k=n

Exercice 8[ 03447 ][correction]
Convergence et somme de la série double
X

1
(pq)∈N×N?(p+q2)(p+q2+ 1)

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Puisquex7→x1αest décroissante :Rn++∞1xdαx6k=+nP∞+1k1α6Rn+∞xdαxdonc
+∞
Pkα∼α−1nα−1.
1 1 1
k=n+1
+∞+∞
b) Par suiteP Pk1αa un sens si, et seulement si,α >2.
n=0k=n+1
c) Posonsukn=k1αsik > netukn= 0sinon.
+∞
tn>1,P|ukn|converge etP P|ukn|converge donc on peut
Pour tou
k>0n>0k=0
appliquer la formule de Fubini et affirmer
+∞+∞+∞+∞
P Pukn=P Puknavec convergence des séries sous-jacentes.
n=0k=0k=0n=0
+∞k−1 +∞+∞+∞
OrPukn=Pk1α=kα1−1doncP Pk1α=Pkα1−1.
n=0n=0n=0k=n+1k=1

Exercice 2 :[énoncé]
La série converge compte tenu des critères usuels.
n2−1p21=2pn−1p−n1+p

Par télescopage :

De plus

donc

puis

+∞
n=p+1p22p12++1∙ ∙ ∙2+p1−1
Xn21−= 1

1 1
pX−1n2−p22pp1−1 +∙ ∙ ∙+ 1 +p11++∙ ∙ ∙2+p1−1
=−
n=1

n+1=X∞n6=pn2−1p2=12pp+211p4=p32

+∞+∞+∞
X X2=
p=1n=1n6=pn2−1pp=X14p32>0

Corrections

Cependant

donc

+∞+∞+∞
X X1−X3=−+∞34
n=1p=1p6=nn2−p2=n=14n2p=X1p2

+∞+∞
X Xn6=pn2−1p26=n+=X∞1p+1=Xp6∞nn2−1p2
p=1n=1=

Exercice 3 :[énoncé]
La sériePupqest absolument convergente et
p>1

−1
p+X=∞1|upq|1=−|a||2aq|2q−1

2

De plus la série de terme général1|−a||a2|q2−q1−1est absolument convergente en vertu de
la règle de d’Alembert donc les séries suivantes existent et on a
+∞+∞+∞+∞
X Xupq=X Xupq
q=1p=1p=1q=1

ce qui fournit la relation

+X∞a−2qa−2q1−1=+X∞1−apa2p
1
q=1p=1

Exercice 4 :[énoncé]
+∞+∞+∞
Papq= 0doncP Papq= 0.
p=0q=0p=0
+∞+∞+∞
Papq=p1+1−p1+2doncP Papq= 1.
q=0p=0q=0
Le Théorème de Fubini ne s’applique par à la série double de terme généralapq

Exercice 5 :[énoncé]
Puisque|z|<1, on peut écrire par sommation géométrique

1+∞n+1k
1−z2n+1Xz2
=
k=0

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et donc
+∞2n+∞+∞z2n+1k=+X∞+X∞z2n(2k+1)
X1−zz2n+1=X0z2nX=0n=0k=0
n=0n=k
Tout entier naturel non nulps’écrit de façon unique sous la forme

p= 2n(2k+ 1)avecn k∈N

Corrections

On peut donc affirmer queN?est la réunion des ensembles deux à deux disjoints
suivants
An={2n(2k+ 1)k∈N}
Puisque la sériePzpconverge absolument, on peut sommer par paquets et écrire

Finalement

+∞+∞+∞+∞
Xzp=X Xzm=X Xz2n(2k+1)
p=1n=0m∈Ann=0k=0

+∞2n+∞
X1−zz2n+1=X1zp=1z−z
n=0p=

Exercice 6 :[énoncé]
Pourt=−1,
n m
X X(−1)i+jti+j+1=−(m+ 1)(n+ 1)
i=0j=0
ce qui permet de conclure.
Pourt6=−1,

Xn mX(−1)i+jti+j+1=Xn(−1)iti+11−(−t)m+1
i=0j=0i01 +t
=

Quandm→+∞,

n m nti+1
i=X0j=X0(−1)i+jti+j+1→i=X0(−1)i1 +t

si|t|<1et diverge sinon.

n+1
Xn(−1)iti+1=t1−(−t)
i=01 +t(1 +t)2

Quandn→+∞,

n mt
mli→m∞X X(−1)i+jti+j+1
i=0j=0→(1 +t)2

Exercice 7 :[énoncé]

Le termeun=P(−k12)kest bien défini en tant que reste d’une série satisfaisant
k=n
au critère spécial des séries alternées.
PourN6Kentiers,

D’une part

NX XK(−k12)k=XN kX(−k12)k+KX XN(−k12)k
n=1k=n k=1n=1k=N+1n=1

NX Xk(−k12)k=XN(−k1)k
k=1n=1k=1

D’autre part
XK NX(−k12)k=NKX(−k12)k
k=N+1n=1k=N+1
En passant à la limite quandK→+∞

Or

N
XNun=X(−k1)k+N+X∞(−k12)k
n=1k=1k=N+1

donc quandN→+∞,

k=+N∞+12=N12
X(−k1)kO

AinsiPunest convergente et

N+∞(−1)k
Xun→Xk
n=1k=1

+∞
Xun=−ln 2
n=1

3

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Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
Puisque les termes sont positifs, on peut organiser la somme double comme la
suivante

(pq)∈XN×N?(p+q2)(p1+q2+ 1) =q+X∞+X∞p1+q2+ 1)
=1p=0(p+q2)(
La sériep>P0 (p+q2)(p+1q2+1)converge absolument car(p+q2)(1p+ 1
q2+1)∼p2
télescopage
p=+X∞0(p+q2)(p1+q2 =+ 1)p+X=∞0p1+q2−p+q12+ 1=q12

et par

+∞
Puisque la sérieP P1P>1q12converge aussi, on peut affirmer
>1p=0 (p+q2)(p+q2+1)=q
q
que la série double étudiée converge et sa somme vaut

+∞+∞
qX=1pX=0(p

+q2)(p1+q2 =+ 1)+X∞1π2
=
q=1q26

4

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