Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Fonction zêta et zêta alternée

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Fonction zêta et zêta alternée Exercice 4 [ 00908 ] [correction] On pose +∞ nX (−1)Exercice 1 [ 00907 ] [correction] ζ (x) =2 xnOn pose n=1 +∞X 1 1Montrer que la fonction ζ est définie et de classeC sur ]0,+∞[.ζ(x) = 2 xn n=1 ∞a) Montrer que la fonction ζ est définie et de classeC sur ]1,+∞[. Exercice 5 [ 00909 ] [correction] b) Etudier monotonie et convexité de la fonction ζ. On pose c) Déterminer la limite de la fonction ζ en +∞. +∞ nX+ (−1)d) un équivalent de la fonction ζ en 1 . ζ (x) =2 xne) En exploitant l’inégalité de Cauchy-Schwarz établir que x7→ ln(ζ(x)) est n=1 convexe. ∞Montrer que ζ est définie et de classeC sur ]0,+∞[.2 Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02834 ] [correction] Si x> 1, on pose +∞X 1 ζ(x) = xn n=1 a) Quelle est la limite de ζ(x) quand x→ +∞? P ζ(n) nb) Pour quels réels x la série x converge-t-elle? n c) Si +∞Xζ(n) nF(x) = x n n=2 1montrer que F est continue sur [−1,1[ et de classeC sur ]−1,1[. d) Donner une expression plus simple de F(x) Exercice 3 [ 00899 ] [correction] Soient +∞ +∞ n−1X X1 (−1) ζ(x) = et ζ (x) =2x xn n n=1 n=1 a) Déterminer les domaines de définition des fonctions ζ et ζ .2 b) Justifier que les fonctions ζ et ζ sont continues.2 1−xc) Etablir la relation ζ (x) = (1−2 )ζ(x) pour tout x> 1.2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Fonction zta et zta alternée

Exercice 1[ 00907 ][correction]
On pose
+∞
ζ(x) =Xn1x
n=1
a) Montrer que la fonctionζest définie et de classeC∞sur]1+∞[.
b) Etudier monotonie et convexité de la fonctionζ.
c) Déterminer la limite de la fonctionζen+∞.
d) Déterminer un équivalent de la fonctionζen1+.
e) En exploitant l’inégalité de Cauchy-Schwarz établir quex7→ln(ζ(x))est
convexe.

Exercice 2Mines-Ponts MP
Six >1, on pose

[ 02834 ][correction]

=X
ζ(x)+∞n1x
n=1

a) Quelle est la limite deζ(x)quandx→+∞?
b) Pour quels réelsxla sériePζ(n)xnconverge-t-elle ?
n
c) Si
F(x) =+X∞ζ(nn)xn
n=2

montrer queFest continue sur[−11[et de classeC1sur]−11[.
d) Donner une expression plus simple deF(x)

Exercice 3[ 00899 ][correction]
Soient
+∞1+∞(−1)n−1
ζ(x) =Xnxetζ2(x) =Xnx
n=1n=1

a) Déterminer les domaines de définition des fonctionsζetζ2.
b) Justifier que les fonctionsζetζ2sont continues.
c) Etablir la relationζ2(x) = (1−21−x)ζ(x)pour toutx >1.

Enoncés

Exercice 4[ 00908 ][correction]
On pose
n
ζ2(x) =+X∞(−1x)
n
n=1
Montrer que la fonctionζ2est définie et de classeC1sur]0+∞[.

Exercice 5[ 00909 ][correction]
On pose
ζ2(x) =+X∞(−1)n
nx
n=1
Montrer queζ2est définie et de classeC∞sur]0+∞[.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)ζest bien définie sur]1+∞[. Les fonctionsfn:x7→n1xsont de classeC∞sur
]1+∞[et
f(np)(x) (−lnn)p
=
nx
Pour touta >1sur[a+∞[,

donc

f(np)(x)6(lnn)p
na

nn)p
fn(p)∞[a+∞[6(lna

Pourρ∈]1 a[,
nρfn(p)→0
∞[a+∞[
doncPf(np)∞[a+∞[converge puisPf(np)converge normalement sur[a+∞[.
Il en découle que la série de fonctionsPfn(p)converge simplement sur]1+∞[et
Pf(np)converge uniformément sur tout segment inclus dans]1+∞[. Par
théorème on peut conclureζest de classeC∞sur]1+∞[.
b)
0(x) =+X∞(−lnn)60
ζnx
n=1
doncζest décroissante.
+∞
X

ζ00(x (ln) =n)20
nx>
n=1
doncζest convexe.
c) La série de fonctionsPfnconverge uniformément sur[2+∞[et
xl→i+mfn(x) = 1sin= 1et0sinon. Par le théorème de la double limite

ζ(x)x−→−−+−∞→1

d) La fonctiont7→t1xest décroissante donc
Znn+1tdxt6n1x6Znn−1dt
tx

En sommant, on obtient

avec

Z+1∞tdxt6ζ(x)61 +Z+1∞tdxt

Z+∞tdxt=x−11
1

On en déduit
ζ(x)∼1+x1−1
x→
e) Le signe deln(ζ(x))00est celui de

ζ(x)ζ00(x)−ζ0(x)2

Or
N−ln nn
n=X1nxn=nN=X1nx12−nlx2
donc par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
n)2
XN=1−nlnxn!26n=XN1n1xXN(−lnnx
n n=1

puis quandN→+∞,

ζ0(x)26ζ(x)ζ00(x)

Exercice 2 :[énoncé]
a)x−→1.
ζ( )x−→−+−∞
b) Le rayon de convergence de la série entière vaut 1.
Pour r ence carζ(n)∼1.
x= 1, il y a dive gn n
Pourx=−1, il y a convergence en vertu du critère spécial des séries alternées
sachant que la suiteζ(n)est décroissante positive.
c) Par les séries entières,Fest de classeC∞sur]−11[.
Par application du critère spécial des séries alternées permettant une majoration
du reste, on établir la convergence uniforme de la série de fonctions sur[−10]et
donc la continuité de sa somme en−1.
d) Pourx∈]−11[,

+∞+∞+
F0(x) =Xζ(n+ 1)xn=XpX=∞xpnn+1
n=1n=1 1

2

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On peut permuter les deux sommes carpP>1pxnn+1converge etnP>1p+P=∞1pxnn+1
converge.

1 1
F0(x) =p=+X∞1n=+X∞1pxnn+1=p=+X∞1p(px−x) =p+X=∞1p−p−x

et on ne peut faire plus simple.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a)ζest définie sur]1+∞[etζ2est définie sur]0+∞[(via le critère spécial des
séries alternées)
b)fn:x7→n1xest continue.
Pour touta >1,
1 1
6
nxna
donc
kfnk∞[a+∞[6n1a
orP1converge doncPfnconverge normalement sur[a+∞[puis converge
na
uniformément sur tout segment inclus dans]1+∞[. Par théorème, on obtient que
la fonctionζest continue.
gn:x7→(−1x)nest continue.
n
Par le critère spécial des séries alternées

Pour touta >0,

+X∞(−1n)xn−16(N+)11x
n=N+1

+X∞(−1)n−16+1)1x6(N1+1)a
n=N+1nx(N
doncPgnconverge uniformément sur[a+∞[puis converge uniformément sur
tout segment inclus dans]0+∞[. Par théorème on obtient que la fonctionζ2est
continue sur]0+∞[.
c) Pourx >1

+∞
ζ2(x) =n+X=∞1n1x−2kX=1(2k1)x=ζ(x)−21−xζ(x)

Exercice 4 :[énoncé]
Chaquefn:x7→(−n1x)nest de classeC1sur]0+∞[et

fn0(x) = (−1)n+1lnnxn
Par le critère spécial des séries alternées, la série de fonctionsPfnconverge
simplement versζ2sur]0+∞[.
La suite(f0n(x))n∈Nest alternée. Etudions

lnt
t7→
ϕ:tx

3

On a
1−xlnt
ϕ0(t) =
tx+1
Pourlnt>1x,ϕ0(t)60doncϕdécroissante sure1x+∞. Ainsi(fn0(x))n>1
est décroissante à partir du rangE(e1x) + 1et tend vers 0. On peut appliquer le
critère spécial des séries alternées. Poura >0et pourn>E(e1a) + 1on a pour
toutx∈[a+∞[,

donc

|Rn(x)|=+X∞(−1)nn+x1lnn6nl(n(n1+1)+x)6(lnn(n+1)1+a)
k=n+1

kRnk∞[a+∞[6(lnn(n+1+)1a)→0
Pfn0converge uniformément sur[a+∞[donc converge uniformément sur tout
segment de]0+∞[.
On peut alors conclure que la fonctionζ2est de classeC1sur]0+∞[.

Exercice 5 :[énoncé]
Par le critère spécial des séries alternées,ζ2est bien définie sur]0+∞[.
n
fn:x7→(−n1x)estC∞sur]0+∞[et

f(np)(x) = (−1)n+p(lnxn)p
n

La suite(f(np)(x))n∈Nest alternée. Etudions

ϕ:t7→(lnt)p
tx

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Corrections

On a
ϕ0(t ln() =t)p−1t(xp+1−xlnt)
Pourlnt>px,ϕ0(t)60doncϕdécroissante surepx+∞. Ainsi(fn(p)(x))n>1
est décroissante à partir du rangE(epx) + 1et tend vers 0. On peut donc
appliquer le critère spécial des séries alternées. Poura >0et pour
n>E(epa) + 1on a pour toutx∈[a+∞[,

donc

|Rn(x)|=

+∞
X

k=n+1

(−1)n+p(lnn)p
nx

(ln(n+ 1))p p
6(n+ 1)x6((ln(nn+1)1+a))

kRnk∞[a+∞[6(l((nnn+1)+1a))p→0
Pf(np)converge uniformément sur[a+∞[(pour touta >0) donc converge
simplement sur]0+∞[et converge uniformément sur tout segment de]0+∞[.
Par théorème on peut alors conclure queζ2estC∞sur]0+∞[.

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