Sujet : Analyse, Suites numériques, Etude de suites récurrentes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude de suites récurrentes a) Justifier que la suite (u ) est bien définie etn ∀n∈N,u ∈ [−2, 2]nExercice 1 [ 02304 ] [correction] Etudier la suite (u ) définie parn b) Quelles sont les limites finies possibles pour (u )?n c) Montrer que (|u − 1|) converge puis que lim|u − 1| = 0. En déduire limu .2 n n nu =a∈R et∀n∈N, u =u0 n+1 n Exercice 8 [ 02310 ] [correction] Exercice 2 [ 02305 ] [correction] Soit a∈C tel que 0 0 et (u ) la suite définie par u > 0 etn 0 1 a ∀n∈N,u = u +n+1 nExercice 4 [ 02306 ] [correction] 2 un Etudier la suite (u ) définie parn a) Etudier la convergence de la suite (u ).n u > 1 et∀n∈N,u = 1 + lnu0 n+1 n b) On pose pour tout n∈N √ u − an √v =n u + an Exercice 5 [ 02307 ] [correction] Calculer v en fonction de v , puis v en fonction de v et n.n+1 n n 0Etudier la suite (u ) définie par √n c) Montrer que, si u > a, on a0 un u ∈R et∀n∈N,u = e − 1 √ n0 n+1 2 u − a 6 2u .vn 0 0 √ n2Ainsi, u réalise une approximation de a à la précision 2u .v → 0.n 0 0Exercice 6 [ 02308 ] [correction] n∞ √ On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de a.Etudier la suite (u ) définie parn 1 u > 0 et∀n∈N,u =0 n+1 2 +un Exercice 10 [ 02313 ] [correction] On considère l’équation lnx +x = 0 d’inconnue x> 0. a) Montrer que possède une unique solution α.
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Etude de suites récurrentes

Exercice 1[ 02304 ][correction]
Etudier la suite(un)définie par

u0=a∈Ret∀n∈N,un+1=u2n

Exercice 2[ 02305 ][correction]
Etudier la suite(un)définie par

u0∈Ret∀n∈N un+1=un2+ 1

Exercice 3[ 02303 ][correction]
Etudier la suite(un)définie par
u0= 1et∀n∈N un+1=√1 +un

Exercice 4[ 02306 ][correction]
Etudier la suite(un)définie par

u0>1et∀n∈N un+1= 1 + lnun

Exercice 5[ 02307 ][correction]
Etudier la suite(un)définie par

u0∈Ret∀n∈N un+1=eun−1

Exercice 6[ 02308 ][correction]
Etudier la suite(un)définie par

u0>0et∀n∈N un+11=+2un

Exercice 7[ 02309 ][correction]
Soit(un)la suite réelle définie par

u0=a∈[−22]et∀n∈N un+1=√2−un

Enoncés

a) Justifier que la suite(un)est bien définie et

∀n∈N un∈[−22]

b) Quelles sont les limites finies possibles pour(un)?
c) Montrer que(|un−1|)converge puis quelim|un−1|= 0. En déduirelimun.

Exercice 8[ 02310 ][correction]
Soita∈Ctel que0<|a|<1et(un)la suite définie par
u0=aet∀n∈N un+1=2u−nun
Montrer que(un)est bien définie et|un|<1. Etudier la limite de(un).

Exercice 9[ 02312 ][correction]
Soita >0et(un)la suite définie paru0>0et
a
∀n∈N un+1=12un+un

1

a) Etudier la convergence de la suite(un).
b) On pose pour toutn∈N
vn=un− √a
un+√a
Calculervn+1en fonction devn, puisvnen fonction dev0etn.
c) Montrer que, siu0>√a, on a
un√−a62u0v20n
Ainsi,unréalise une approximation de√aà la précision2u0v20n→0.
n∞
On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de√a.

Exercice 10[ 02313 ][correction]
On considère l’équationlnx+x= 0d’inconnuex >0.
a) Montrer que l’équation possède une unique solutionα.
b) Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle(un)
convergeant versα.

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Exercice 11[ 02311 ][correction]
Déterminer le terme général de la suite(un)définie par :

u0=a >0 u1=b >0et∀n∈N un+2un=u2n+1

A quelle condition(un)converge ?

Exercice 12[ 02301 ][correction]
Soita∈R+?. On définit une suite(un)par
vn
u0=aet∀n∈N un+1=utkX=0uk

a) Déterminer la limite de(un).
b) Déterminer la limite deun+1−un.

Exercice 13[ 02302 ][correction]
On considère la suite(un)définie pourn>1par
sr

un=

n+ (n−1) +∙ ∙ ∙+

a) Montrer que(un)diverge vers+∞.
b) Exprimerun+1en fonction deun.
c) Montrer queun6npuis queun=o(n).
d) Donner un équivalent simple de(un).
n→+∞√
e) Déterminerlimun−n.

Exercice 14
Etablir

[ 00094 ][correction]

r1 +

q2 +√1

q1 +√1 +∙ ∙ ∙+11+=11
.
1+.
.

Enoncés

Exercice 15[ 03229 ][correction]
Soit(un)une suite réelle vérifiant

∀n∈N un∈[121]

Soit(vn)la suite déterminée par

v0=u0et∀n∈N v=vn+un+1
n+11 +un+1vn

Montrer que la suite(vn)converge et déterminer sa limite.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On au0=a u1=a2 u2=a4, par récurrenceun=a2n.
Pour|a|<1alorsun→0, pour|a|= 1,un→1et pour|a|>1,un→+∞.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
La suite(un)est bien définie et supérieure à 1 à partir du rang 1 car la fonction
itératricef:x7→x2+ 1est définie surRet à valeurs dans[1+∞[.
un+1−un=u2n−un+ 1>0car le discriminant dex2−x+ 1estΔ =−3<0.
La suite(un)est croissante.
Si celle-ci converge vers un réel`alors en passant à la limite la relation
d’itération :`=`2+ 1.
Or cette équation ne possède pas de racines réelles. Par suite(un)diverge, or elle
est croissante, donc(un)diverge vers+∞.

Exercice 3 :[énoncé]
Pour toutn>1
un−un−1
un+1−un=√1 +un+√1 +un−1
Puisqueu1−u0=√2−√1>0, la suite(un)est croissante.
Si(un)converge vers`alorsun+1=√1 +undonne à la limite`=√1 +`donc
`2−`−1 = 0et`>0.
Par suite
`= 1 +√5

2
Par récurrence on montre aisément que∀n∈N un6αet par suite(un)converge
versα.

Exercice 4 :[énoncé]
La suite(un)est bien définie et à valeurs strictement supérieure à 1 car sa
fonction itératricef:x7→1 + lnxest définie sur[1+∞[à valeurs dans[1+∞[.
Pourn>1:un+1−un= ln(un)−ln(un−1)est du signe deun−un−1.
La suite(un)est monotone et de monotonie déterminée par le signe de
u1−u0= 1 + lnu0−u0.
Etudions la fonctiong(x) =x7→1 + lnx−xdéfinie sur[1+∞[.
gest dérivable,g0(x) =x1−160ne s’annulant qu’en 1,g(1) = 0doncgest
strictement négative sur]1+∞[.

La suite(un)est décroissante. De plus elle est minorée par 1, donc elle converge
vers un réel`>1.
En passant la relation d’itération à la limite, on obtient`= 1 + ln`i.e.g(`) = 0.
Par l’étude de la fonctiong, on conclut`= 1.
Finalement(un)converge vers 1.

3

Exercice 5 :[énoncé]
La suite(un)est bien définie car sa fonction itératricef:x7→ex−1est définie
surR.
Pourn>1,un+1−un=eun−eun−1est du signe deun−un−1.
La suite(un)est monotone et de monotonie déterminée par le signe de
u1−u0=eu0−u0−1.
Etudions la fonctiong(x) =ex−x−1définie surR.
gest dérivable etg0(x) =ex−1du signe dex.g(0) = 0doncgest positive.
Siu0= 0alors(un)est constante égale à 0.
Siu0>0alors(un)est croissante. Si(un)converge vers un réel`alors`=e`−1
donc`= 0.
Or(un)est minorée paru0>0donc ne peut converger vers 0. Par suite(un)
diverge vers+∞.
Siu0<0alors(un)est croissante et majorée par 0 donc(un)converge vers la
seule limite finie possible 0.

Exercice 6 :[énoncé]
La suite(un)est bien définie et strictement positive car de fonction itératrice
f:x7→+21xdéfinie surR+?et à valeurs dansR+?. Si la suite(un)converge, sa
limite`vérifie`=+21`et`>0donc`=−1 +√2.

1 1

|un+1−`|=2 +un2 +` += (2|uunn)−(2`|+`)641|un−`|

Par récurrence, on montre|un−`|=41n|u0−`|et on conclutun→`.

Exercice 7 :[énoncé]
a) L’applicationx→√72−xest définie de[−22]vers[02]⊂[−22].
b) Supposonsun→`. Puisque∀n>1 un∈[02], à la limite`∈[02].
La relationun+1=√2−undonne à la limite`=√2−`donc`2+`−2 = 0d’où
`= 1ou`=−2.
Or`>0donc`= 1.

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c)
|un+1−1| += 1|u√n2−1|6|un1|

−un
donc(|un−1|)est décroissante et par suite converge versα>0.
Siα >0alors
1 +√2−un=|u|unn−−1|1| →1
+1
donc√2−un→0puisun→2. C’est impossible.
Nécessairement|un−1| →0et doncun→1.

Exercice 8 :[énoncé]
Par récurrence montronsunexiste et|un|<1.
Pourn= 0: ok
Supposons la propriété établie au rangn>0.
Par HR,unexiste et|un|<1donc2−un6= 0d’oùun+1=2−ununexiste et

|un+1|6|2|−unu|n|6|unu|n|<1
2− |

Récurrence établie.
|un+1|62−|u|nu|n|6|un|
donc(|un|)est décroissante d’où|un|6|a|puis

puis

Par suiteun→0.

|un+1|62|u−n||a|

|un|62−1|a|n|a| →0

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
La suite(un)est bien définie et à valeurs dans[√a+∞[à partir du rang 1 car de
fonction itératrice
a
f:x7→21x+x
définie surR+?et à valeurs dans[√a+∞[.

Si(un)converge vers un réel`alors`=12`+a`et`>0donc`=√a.
1
un+1√−a2un+uan√−a= (un2|−un|√a)2=|un−2√a| |unu−n√a|
=

Pourn>1,

donc

Par récurrence :

doncun→ √a.
b)

vn+1
doncvn=v20n.
c)

|un− √a|=un− √a61
unun

un+1−√a621un√−a

un√−a62n1−1u1√−a

un+1− √a u2n−2√aun+a2
un+1+√a u2n+ 2√aun+a=uunn+√√−aa=v2n
= =

un√−a6vnun+√a62u0vn= 2u0v02n

Exercice 10 :[énoncé]
a)f:x7→lnx+xréalise une bijection strictement croissante deR+?versR.
L’équation proposée possède une unique solutionα=f−1(0).
b) L’algorithme de Newton, propose de définir la suite(un)par la relation :

lnun+unun(1−lnun)
un+1=un−ff0((uunn)=)un1un+ 1un+ 1
−=

1
La fonctionfest de classeC2,f0(x + 1) =etf00(x) =−x12ne s’annulent pas.
x
Pouru0>0tel quef(u0)f00(u0)>0, la suite converge versα.

Exercice 11 :[énoncé]
Par récurrence, on montre queunexiste etun>0.
Posonsvn= ln(un). On avn+2−2vn+1+vn= 0.
(vn)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
(r−1)2= 0.
On peut donc écrirevn=λn+µavecλ µ∈R

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v0= lnaetv1= lnbdonnentλ= lnbaetµ= lna.
Par suite :
un=evn=enlnba+lna=aabn
La suite(un)converge si, et seulement si,b6a.

Exercice 12 :[énoncé]
a) Pourn>1:
vnvn−1
un+1−un=utkX=0uk−utkX=0uk=skPn=0uku+nsnkP−1=0uk

>0

donc(un)n>1est croissante.
Supposonsun→`∈R. On a`>u1=√a >0
En passant la relation précédente à la limite :0`=21. C’est absurde.
=`+`
Par suiteun→+∞.
b)
un
=
un+1−unun+1+un
donc

Par suiteun+1∼unet

+11
un−1 =→0
unun+1+un

1 1
un+1−un=un+1+ 1→2
un

Exercice 13 :[énoncé]
a)un>√n→+∞.
b)un+1=p(n+ 1) +un.
c) Montrons par récurrence surn>1queun6n.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.
un+1=p(n+ 1) +un6p(n+ 1) +n6n+ 1
HR

Récurrence établie.
06un=pn+un−16pn+ (n−1) =O√n

Corrections

doncun=O(√n) =o(n).
d)un=pn+o(n)∼ √n
e)
un√−n=un−1
un+√n
orun−1∼√n−1∼ √netun+√n=√n+o(√n) +√n∼2√ndonc
1
n√−n2
u→

Exercice 14 :[énoncé]
Posons(un)la suite déterminée paru0= 1et pour toutn∈N,un+1=√1 +un.
La suite(un)est bien définie et à valeurs positive.
Si celle-ci converge, c’est vers`>0vérifiant`=√1 +`i.e.
`2+=1√5(nombre d’Or)

On a

|un+1−`|=√1 +un−√1 +`=√1 +|uunn+−`√|1 +`6|un2−`|

Par récurrence, on obtient

et doncun→`.
Ainsi

|un−`|612n|u0−`|

r1 +q1 +√1 +∙ ∙ ∙=`

Posons(vn)la suite déterminée parv0= 1et pour toutn∈N,vn+1= 1 +v1n.
La suite(vn)est bien définie et à valeurs supérieures à 1.
Si celle-ci converge, c’est vers`0>1vérifiant`0= 1 +`10. On retrouve`0=`.
On a
−6n
|vn+1−`| 1= 1|vn−|``|6|vn−`|
vn`|v `
Par récurrence, on obtient
|vn−`|6`1n|v0−`|

et doncvn→`car` >1.

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Ainsi

1
1 + 1 +1
.
1+..

=`

Exercice 15 :[énoncé]
On vérifie sans difficultés que la suite(vn)est définie et que ses termes sont
positifs.
De plus, on vérifie par récurrence que

car

∀n∈N vn61

(1−un+1)(1−vn)>0⇒1vn++unu+n+1v161
n

Corrections

On a alors
vn+1−vn=un+1(1−v2n)
>0
1 +un+1vn
et la suite(vn)est donc croissante et majorée. Par conséquent celle-ci converge
vers une certaine limite`∈R.
Dans le cas où la suite(un)constante égale à 1, on observe queest `= 1.
Peut-tre est-ce encore vrai dans le cas général ? Pour le voir, étudions la suite
(1−vn). On a

061−vn+1= (1−1u+n+u1)(1v−nvn)6(112−vn)
n+1

donc par récurrence

et on en déduit

061−vn612n(1−v0)

vn→1

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