Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites monotones et bornées

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites monotones et bornées Exercice 5 [ 02269 ] [correction] ?Soit (H ) la suite définie pour n∈N parn Exercice 1 [ 02265 ] [correction] nX 1 Soit (u ) une suite croissante de limite ‘. On posen H =n k k=1 u +···+u1 n v =n a) Montrer que H → +∞.nn b) Soit (u ) une suite telle que n(u −u )→ 1. Montrer que u → +∞.n n+1 n n a) Montrer que (v ) est croissante.n u +vn nb) Etablir que v > .2n 2 c) En déduire que v →‘.n Exercice 6 [ 02270 ] [correction] On pose 1×3×5×···×(2n−1) u =n 2×4×6×···×(2n)Exercice 2 [ 02266 ] [correction] Soit (u ) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite v = supu . a) Exprimer u à l’aide de factoriels.n n p n p>n b) Montrer que la suite (u ) converge.n c) On pose 2v = (n+1)un n Exercice 3 [ 02267 ] [correction] Montrer que la suite (v ) converge. En déduire la limite de la suite (u )n n Soit (u ) une suite réelle bornée. On posen d) Simplifier 2nY 1 v = supu et w = inf un p n p 1− p>np>n k k=2 2Montrer que les suites (v ) et (w ) possèdent chacune une limite dansR et et comparer ce produit à u .n n n comparer celles-ci. e) En déduire que la limite C de la suite (v ) est strictement positive.n Exercice 4 [ 02268 ] [correction] [Somme harmonique] Pour tout n∈N, on pose nX 1 H =n k k=1 Montrer que 1?∀n∈N ,H −H >2n n 2 En déduire que lim H = +∞.n n→∞ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Suites monotones et bornées
Exercice 1[ 02265 ][correction] Soit(un)une suite croissante de limite`. On pose
u1+∙ ∙ ∙+un vn= n a) Montrer que(vn)est croissante. b) Etablir quev2n>un2+vn. c) En déduire quevn`.
Exercice 2[ 02266 ][correction] Soit(un)une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suitevn= supup. p>n
Exercice 3[ 02267 ][correction] Soit(un)une suite réelle bornée. On pose
vn= supupetwn=pin>fnup p>n Montrer que les suites(vn)et(wn)possèdent chacune une limite dansRet comparer celles-ci.
Exercice 4[ 02268 ][correction] [Somme harmonique] Pour toutnN, on pose
Hn=Xnk1 k=1
Montrer que nN? H2nHn>21 En déduire quelimHn= +. n→∞
Enoncés
Exercice 5[ 02269 ][correction] Soit(Hn)la suite définie pournN?par n Hn=X1k k=1
a) Montrer queHn+. b) Soit(un)une suite telle quen(un+1un)1. Montrer queun+.
Exercice 6[ 02270 ][correction] On pose un= 1×3×5× ∙ ∙ ∙ ×(2n))1 2×4×6× ∙ ∙ ∙ ×(2n a) Exprimerunà l’aide de factoriels. b) Montrer que la suite(un)converge. c) On pose vn= (n+ 1)un2 Montrer que la suite(vn)converge. En déduire la limite de la suite(un) d) Simplifier k2Y=n21k1 et comparer ce produit àu2n. e) En déduire que la limiteCde la suite(vn)est strictement positive.
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Corrections
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CorrectionsExercice 4 :[énoncé] On a H2nHn=2Xn12n21n2=nn2=1 Exercice 1 :[énoncé]k>X a)k=n+1k=n+1 vn+1vn=nun+1n((nu1+1+)∙ ∙+un)>0 (SiH(nH)ne)vnreegevocrsnassacettsiorcr`Halno+rs1H2Hnn=Hnn+11`>0.`= 0. Ceci est impossible puisque donc(vn)est croissante.H2nHn>12. b) Par suite(Hn)diverge, et puisque(Hn)est croissante,(Hn)diverge vers+. u∙ ∙ ∙+u2n v2n=u1+2n+un+n+12+n>v2n+u2n c) On avn6`pour toutnN?et(vn)croissante donc(vn)converge vers un réelExercice 5 :[énoncé] `06`. a) Sachantln(1 +x)6x, on a La relation précédente, passée à la limite, donne2`0>`+`0ce qui permet de conclurevn`.1k>ln 11 +k= ln(k+ 1)lnk donc n Exercice 2 :[énoncé]Hn>Xln(k+ 1)lnk= ln(n+ 1) (un)converge donc(un)est bornée. La suite(vn)est donc bien définie etk=1 elle-mme bornée. On avn+16vndonc(vn)est décroissante et donc converge. doncHn+. Posons`= limunet`0= limvn. b) Il existeNNtel que pour toutn>N, vn>undonc à la limite`0>`. Si`0> `alors`0>`02+`> `.n(un+1un)>12 A partir d’un certain rangvn>`+2`0etun<`+2`0. Impossible. Il reste`0=`. On a alors n un+1uN>Xuk+1uk>21Xn1k=12(HnHN1)+Exercice 3 :[énoncé]k=N k=N Pour toutnNu+. {upp>n+ 1} ⊂ {upp>n}p isun doncvn+16vnetwn+1>wn.Exercice 6 :[énoncé] Les suites(vn)et(wn)sont respectivement décroissante et croissante. De plus wn6vn. a) La suite(vn)est décroissante et minorée parw0donc elle converge vers une limite= (2n)! `.un22n(n!)2 De mme la suite(wn)converge vers une limitem. Enfinwn6vndonne à la b) On a limiteun+1= (2n+(4n1+)22(n)2 = 2+ 1)n+ 161 m6u`n2n+ 2 donc(un)est décroissante. Or(un)est minorée par 0 donc(un)converge. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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c) vvnn+1=nn+21+u2nu+n21=nn2+1+22nn21++2 or(n+ 2)(2n+ 1)24(n+ 1)3=3n2<0doncvn+1vn60. (vn)est décroissante et minorée par 0 donc(vn)converge. Nécessairementlimun= 0car sinonvn= (n+ 1)u2n+. d) Par télescopage des facteurs 1 2n1 1 k2Y=n2k21×23×  ×2n2n 1= =
Corrections
Parallèlement 1 un2=k=Yn1121k2>122nY22k 12k1121=k2Y=n211k1k=
e) On en déduit (n+ 1)un2>(n4+n1) et doncC>14. On peut montrer queC= 1πen exploitant dès la première question la formule de Stirling (si celle-ci est connue. . . ).
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