Sujet : Etude d'une équation fonctionnelle

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Continuité. Equations différentielles.

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Etude d’une équation fonctionnelle

L’objectif du problème est d’étudier l’ensembledes fonctions:ℝ→ℝcontinues telles que :
∀(,)∈ℝ2,(+)+(−)=2()() .

1.
2.

3.

3.a
3.b
3.c

Partie I

Montrer que les fonctions֏coset֏chappartiennent à l’ensemble.
Soitdans.
Montrer que pour tout réelα, la fonctionα:ℝ→ℝdéfinie parα()=(α dans) est.
Soitdans.
En donnant àetdes valeurs particulières, prouver que :
 0 ou 1.(0) vaut
Si(0)=0 alorsest la fonction identiquement nulle.
Si(0)=1 alorsest une fonction paire.

Partie II

Dans cette partie, on se propose de déterminer les fonctions dequi sont deux fois dérivables.
On introduitune telle fonction.
1. Etablir que pour tout (,)∈ℝ2:′′(+)+′′(−)=2()′′() .
2. En déduire l’existence d’une constante réelleλtelle que∀∈ℝ,′′()=λ() .
3. Résoudre surℝl’équation différentielle+′′= séparant les cas0 en>0 ,<0 et=0 .
4. Déterminer les éléments dequi sont deux fois dérivables.

Partie III

Dans cette partie, on oublie l’hypothèse de dérivabilité et on se propose de déterminer les fonctions dequi
s’annulent tout en n’étant pas identiquement nulle. On introduitune telle fonction.
1. Montrer que(0)=1 et ques’annule au moins une fois surℝ+∗.
2. On forme= {>0 /()=0}.
2.a Montrer queadmet une borne inférieure que l’on note.
2.b Prouver que()=raisonner par l’absurde). En déduire que pourra 0 (on>0 .
2.c Montrer que :∀∈0,,()>0 .

3.

3.a

3.b

3.c

3.d

4.

On poseω=2πet on notela fonction deℝversℝ:֏cos(ω) .
    2
Soit∈ℕ. Montrer que2 +1=22+1.

En déduire, en raisonnant par récurrence surque :∀∈ℕ,2=2.
Démontrer aussi que∀∈ℕ,∀∈ℕ,2 =2.
Etendre cette propriété à tout∈ℤ.
 
e=∈ℤ∈ℕ.
On form2/ ,

4.a
4.b

Etablir que tout réel est limite d’une suite d’éléments de.
En déduire que=.

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