Sujet Oraux : CCP, Banque Exo 1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02576 ] [correction] Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E. Donner l’allure de la courbe définie en coordonnées polaires par c) Majorer Z 1√ −xr = 2 (cosθ− cos 2θ) xe dx 0 Préciser la tangente à cette courbe aux points de paramètre θ =π. en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Exercice 2 [ 03518 ] [correction] a) On considère deux suites réelles (u ) et (v ) telles que u ∼v .n n n n Exercice 6 [ 03522 ] [correction] Démontrer que u et v sont de même signe à partir d’un certain rang.n n SoientF(R,R) l’espace vectoriel des applications deR dansR, E le sous-espace b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de vectoriel engendré par les cinq applications : √1 1 f :x7→ 1/ 2, f :x7→ cosx, f :x7→ sinx, f :x7→ cos(2x) et f :x7→ sin(2x)u = sh − tan 1 2 3 4 5n n n et F le sous-espace vectoriel par f ,f et f :1 2 3 Exercice 3 [ 03519 ] [correction] F = Vect(f ,f ,f )1 2 3 Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle x a) Démontrer que0y + y = 2x Z π21−x 1 (f,g)7→hf|gi = f(x)g(x) dx π −π Exercice 4 [ 03520 ] [correction] est un produit scalaire sur E. Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E. b) Montrer que f et f sont unitaires et orthogonaux.4 5 a) Démontrer que On admettra dans la suite queB = (f ) est une base orthonormée de E.i i=1,...,5 ⊥ ⊥E =A⊕A c) Déterminer le sous-espace vectoriel F , orthogonal de F pour ce produit scalaire.
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Exercice 1[ 02576 ][correction] Donner l’allure de la courbe définie en coordonnées polaires par
r= 2 (cosθcos 2θ)
Préciser la tangente à cette courbe aux points de paramètreθ=π.
Exercice 2[ 03518 ][correction] a) On considère deux suites réelles(un)et(vn)telles queunvn. Démontrer queunetvnsont de mme signe à partir d’un certain rang. b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de un=shn1tan1n
Exercice 3[ 03519 ][correction] Résoudre sur]1+[l’équation différentielle 0x 2y y1+x= 2x
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Exercice 4[ 03520 ][correction] SoientEun espace euclidien etAun sous-espace vectoriel deE. a) Démontrer que E=AAIndice : on admettra que toute famille orthonormale deEpeut tre complétée en une base orthonormale deE. b) Démontrer que A=A
Exercice 5[ 03521 ][correction] Soithune fonction continue et positive de[a b]dansR. a) Démontrer que : Zbx= 0h= 0 h(x) d a b) SoitEleR-espace vectoriel des fonctions continue de[a b]dansR. On pose pour toutfet toutgdeE (f|g) =Zabf(x)g(x) dx
Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire surE. c) Majorer 1 Zxexdx 0 en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
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Exercice 6[ 03522 ][correction] SoientF(RR)l’espace vectoriel des applications deRdansR,Ele sous-espace vectoriel engendré par les cinq applications : f1:x7→12,f2:x7→cosx,f3:x7→sinx,f4:x7→cos(2x)etf5:x7→sin(2x) etFle sous-espace vectoriel parf1 f2etf3: F=Vect(f1 f2 f3) a) Démontrer que (f g)7→ hf|gi= 1πZπf(x)g(x) dx π est un produit scalaire surE. b) Montrer quef4etf5sont unitaires et orthogonaux. mettra dans la suite queB= (fi)i=15est une base orthonormée deE. On ad c) Déterminer le sous-espace vectorielF, orthogonal deFpour ce produit scalaire.
Exercice 7[ 03523 ][correction] N.B. : les deux questions sont indépendantes. a) La fonction lnx x7→x2+ 1 est-elle intégrable sur]0+[? b) La fonction ex x7→ √x1 est-elle intégrable sur]1+[?
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Exercice 8[ 03524 ][correction]Exercice 12[ 03528 ][correction] N.B. : les deux questions sont indépendantes SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR >0. a) SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deE Démontrer que cette série converge uniformément sur tout disque fermée de. a) On noteL(E)l’espace des endomorphismes deE. Démontrer que, dansL(E) centre 0 et de rayon, lartel que06r < R. famillenIdE f     fn2oest liée et en déduire quefadmet un polynôme+b) Démontrer que la fonctionz7→Panznest continue en tout point du disque annulateur non identiquement nul.n=0 b) Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie etλ de convergence.une ouvert valeur propre def. Démontrer que siPest un polynôme annulateur defalorsP(λ) = 0.Exercice 13[ 03529 ][correction] SoientEun espace euclidien etuun endomorphisme deE. On note(x|y)le produit scalaire de deux vecteursxetydeE. aE)xeDrécice 9[ 03525 ][correction]a) Soituun endomorphisme tel que montrer que siAetBsont deux matrices carrées d’ordrenalorsABetBA ont mme trace.xEku(x)k=kxk b En d e)ndomorépdhuiisremequonetnmdimmeentsiroance.nietouteslesmatricesdunmmeDémontrerque c) Démontrer que siAetBsont semblables alors, pour toutkN,AketBkont(x y)E2(u(x)|u(y)) = (x|y) mme trace. Démontrer queuest bijectif b) Démontrer que l’ensemble des endomorphismes orthogonaux deE, muni la loi , est un groupe. Exercice 10[ 03526 ][correction] rtA OOnnndoétenitdansM2(R)× M2(R)l’applicationϕ(A A0) =t(A0)Exercice 14[ 03530 ][correction] (a b)R2Pour toutn>1, on pose aO)nDaédmmoenttrqeureqϕeseuFseuttunprFsndo=uouistacs-selpaaaberiecbasurM2l(dRe).M2(R)In=Z0+1+1t2ndt vectorie . b) Déterminer une base orthonormée deF. a) Justifier queInest bien définie. c) Déterminer le projeté orthogonal surFde b) Démontrer que la suite((1)nIn)décroît et déterminer sa limite. c) La sériePInest-elle convergente ? J=1111Exercice 15[correction]
Exercice 11[ 03527 ][correction] SoientθRetnN?Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans. C[X], puis dansR[X]le polynôme
P(X) =X2n2Xncos() + 1
[ 03531 ] a) SoitXune partie deR,(fn)nNune suite de fonctions deXdansRouCqui converge simplement vers une fonctionf. On suppose qu’il existe une suite (xn)nNd’éléments deXtelle que la suite(fn(xn)f(xn))nNne tend pas vers 0. Démontrer que la suite de fonctions(fn)nNne converge pas uniformément versf surX. b) PourxR. On pose in(nx) fn(x1+)=sn2x2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Etudier la convergence simple de la suite(fn)nN.Exercice 19[ 03535 ][correction] Etudier la convergence uniforme de la suite(fn)nNsur[a+[(aveca >0) puis a) Soit(fn)nNune suite de fonctions continues sur[a b]à valeurs réelles. sur]0+[ que si la suite. Démontrer(fn)nNconverge uniformément versfalors la suite Rabfn(x) dxnNconverge versRabf(x) dx. Exercice 16[ 03532 ][correction]b) Justifier comment ce résultat peut tre utilisé dans le cas des séries de On considère la courbeC puis démontrer fonctionsdéfinie paramétriquement par : 2 ++x=u2u1Z01nX=0xndx= u2+ 1,u >0n=X11n12n y=u+ 1 Donner l’allure de la courbeC, préciser la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s)
Exercice 17[ 03533 ][correction] On considère la courbe définie en coordonnées polaires par r= 2pcos(2θ) a) Etudier les symétries éventuelles de cette courbe. b) Donner l’allure de cette courbe. c) Préciser la tangente en point de paramètreθ=π4.
Exercice 18[ 03534 ][correction] Soit la matrice A=111111111
1. Démontrer queAest diagonalisable de quatre manières : a) sans calculs ; b) en calculant directement le déterminantdet(AλI3)I3est la matrice identité d’ordre 3 et en déterminant les sous-espaces propres ; c) en utilisant le théorème du rang ; d) en calculantA2. 2. On suppose queAest la matrice d’un endomorphismeud’un espace euclidien dans une base orthonormée. a) Que peut-on dire de l’endomorphismeu? b) Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice deuest diagonale.
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Exercice 20[ 03536 ][correction] SoitEl’ensemble des matrices deM2(R)de la forme M(a b) =aabbaetbsont des nombres réels a) Démontrer queEest un sous-espace vectoriel et un sous anneau deM2(R). Quelle est sa dimension ? b) On poseϕ(a+ib) =M(a b). Démontrer queϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels deCsurE,Cétant considéré comme un espace vectoriel de dimension 2 surR. Est-ce un isomorphisme d’anneaux ?
Exercice 21[ 03537 ][correction] a) Soient(un)et(vn)deux suites de nombres réels positifs. Montrez que : unvnXunetXvnsont de mme nature b) Etudiez la convergence de la série X(1in) sin11n
Exercice 22[ 03538 ][correction] Dans un repère orthonormé(O;ji~), on considère la courbe d’équation x2+ 2x+ 4y28y+ 1 = 0
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a) Préciser la nature de cette courbe. b) Tracer cette courbe. c) Calculer la pente de la tangente en chacun des points d’intersection de la courbe et de l’axe(O;~j).
Exercice 23[ 03539 ][correction] Etudier au voisinage det= 1la courbe définie par : x=Z1tuu221d1+uety=Z1tuu2311d+u Indice : on pourra calculer les dérivées successives dexety
Exercice 24[ 03540 ][correction] On considère la matrice A=212212122a) Justifier queAest diagonalisable. b) DéterminerPetDdansM3(R)telles quetP=P1,Dest diagonale et tP AP=D .
Exercice 25[ 03541 ][correction] Etudier la série de terme général
1 un= n(lnn)α
n>2etαR. Indice : on distinguera le casα60et le casα >0.
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Exercice 26[ 03542 ][correction] a) Démontrer que dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolument convergente est convergente. b)Mn(R) ?est-il complet
Exercice 27[ 03543 ][correction] SoientEl’espace vectoriel des polynômes à coefficients dansK(K=RouC) de degrés inférieurs ou égaux ànetfl’endomorphisme deEdéfini par f(P) =PP0
a) Démontrer quefest bijectif de deux manières : - sans utiliser de matrice def; - en utilisant une matrice def. b) SoitQE. TrouverPtel quef(P) =Q. Indice : siPE, quel est le polynômeP(n+1)?
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Exercice 28[ 03544 ][correction] SoientEun espace vectoriel surRouCetf,gdeux endomorphismes deEtels que
fg=Id
a) Démontrer queker(gf) = kerf. b) Démontrer que Im(gf) =Img. c) Démontrer queE= kerfImg.
Exercice 29[ 03545 ][correction] a) Donner l’idée de la démonstration de la formule de Leibniz concernant la dérivéen-ième d’un produit de fonctions. b) On pose f(xe)12+xxpourx =>1 Calculerf(n)(x)pour toutnN.
Exercice 30[ 03546 ][correction] Soit la matrice 0a c M=bb0a0ca b csont des réels. a)Mest-elle diagonalisable dansM3(R)? b)Mest-elle diagonalisable dansM3(C)?
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Exercice 31[ 03547 ][correction] Soit la matriceA=2412etfl’endomorphisme deM2(R)défini par f(M) =AM
a) Déterminerkerf. b)fest-il surjectif ? c) Trouver une base dekerfet une base de Imf
Enoncés
Exercice 32[ 03548 ][correction] Soient(un)nNune suite de réels strictement positifs et`un réel positif strictement inférieur à 1. a) Démontrer que si liun+1=` m n+un alors la sériePunconverge. rire dicieusement la définition delimun+1=`puis majorer, pourn Indice : éc jun+un assez grand,unpar le terme général d’une série géométrique. b) Quelle est la nature de la série de terme général n!? (3n+ 1)
Exercice 33[ 03573 ][correction] Résoudre surRl’équation différentielle y00+y= cosx
en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercice 34[ 03562 ][correction] Etudier la courbe définie paramétriquement par u1 ux2 = u2 y=u+ 1
Puis donner l’allure de cette courbe
Exercice 35[ 03558 ][correction] Soit l’intégrale curviligne I=ZΓω ω=ydx+xydyetΓest la courbe fermée composée des portions de courbes comprises entre les deux points d’intersection des courbesC1etC2d’équations respectivesy=x2ety=xdans un repère orthonormé. La courbeΓétant décrite dans le sens trigonométrique, calculer l’intégraleI: a) directement. b) en utilisant la formule de Green-Riemann.
Exercice 36[ 03550 ][correction] On considère la matrice 1 A=00201a0a
aest un nombre réel. a) Quel est le rang deA? La matriceA ?est-elle inversible b)A ?est-elle diagonalisable
Exercice 37[ 03552 ][correction] Soitfla fonction2π-périodique surRdéfinie ainsi :
f(x) =xsur]π π[etf(π) = 0
a) La série de Fourier defconverge-t-elle versf(x)en toutxdeR? b) Déterminer la série de Fourier def.
Exercice 38[ 03557 ][correction] On considère la fraction rationnelle
X5+X4 R=(X2)2(X+ 1)2 a) DécomposerRen éléments simples. b) Déterminer les primitives de la fonctionx7→R(x)sur l’intervalle]12[.
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Exercice 39[ 03553 ][correction] Soitfla fonction2π-périodique surRtelle que
t[02π[ f(t) =t2 a) Expliquer pourquoi, pour tout réelt, la série de Fourier defconverge et préciser sa limite. b) Déterminer la série de Fourier def, puis en déduire la somme de la série 1 Xn2 n>1
Exercice 40[ 03554 ][correction] On pose f(x y) =px2xy+y2pour(x y)6= (00)etf(00) = 0 a) Démontrer quefest continue surR2. b) Démontrer quefadmet des dérivées partielles en tout point deR2.
Exercice 41[ 03555 ][correction] SoitΦl’endomorphisme deRn[X]défini par : P(X)7→P(X)P(X1)
Donner la matrice deΦdans la base canonique deRn[X]et en déduire ImΦet ker Φ.
Exercice 42[ 03556 ][correction] a) Démontrer que toute série de fonctions normalement convergente surXest uniformément convergente surX. b) La série de fonctions Xn2 n!zn est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre 0 et de rayon RR+??
Enoncés
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Exercice 43[ 03559 ][correction] Soit(an)nNune suite complexe telle que la suite|a|ann+|1|nNadmet une limite finie. a) Démontrer que les séries entièresPanxnetPnanxn1ont le mme rayon de convergence. On le noteR. +b) Démontrer que la fonctionx7→Panxnest dérivable sur l’intervalle]R R[. n=0
Exercice 44[ 03560 ][correction] a) Démontrer que la fonctionx7→ex2est intégrable sur[0+[ b) Pour chaque nombrer >0, on noteCrle carré[0 r]×[0 r]etDrl’ensemble défini par : x>0,y>0,x2+y26r2 b) Quelle relation y a-t-il entre Z ZCre(xZtr2dt? 2+y2)dxdyete0 c) Calculer en fonction derl’intégrale double Z ZDre(x2+y2)dxdy d) Déduire de ce qui précède la valeur de Z0+ex2dx
Indice : on pourra remarquer queDrCrD2r
Exercice 45[ 03561 ][correction] a) Démontrer que si|an| ∼ |bn|alors les séries entièresPanznetPbnznont le mme rayon de convergence. b) Trouver le rayon de convergence de la série entière
Xinn2 (2+zn n1)
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Exercice 46[ 03563 ][correction]Exercice 50[ 03567 ][correction] a)uest un endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finienetISoitEun espace normé complet et soitAun sous-ensemble deE. désigne l’application identité deE. a) Démontrer que Rappeler la définition d’une valeur propre de puis démontrer que :AcompletAfermé
λest valeur propre deudet(uλI) = 0 En déduire queuadmet au plusnvaleurs propres distinctes. b) Trouver un endomorphisme deR2admettant comme valeurs propres 0 et 1.
Exercice 47[ 03564 ][correction] EetFdésignent deux espaces vectoriels normés. a) Soientfune application deEdansFetaun point deE. Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i)fest continue ena; (ii) Pour toute suite(xn)d’éléments deEtelle quenli+mxn=a, on a limf(x n+n) =f(a). b) SoitApartie dense d’un espace vectoriel norméune Eet soientfetgdeux applications continues deEdansF,Fdésignant un espace vectoriel normé. Démontrer que si, pour toutxA,f(x) =g(x)alorsf=g.
Exercice 48[ 03565 ][correction] a) SoitAune partie non vide d’un espace vectoriel norméE. Démontrer que ¯ENN xnAetlimxn=x xA⇔ ∃(xn)nNnn+¯ b) Démontrer que siAest un sous-espace vectoriel deEalorsAest un sous-espace vectoriel deE.
Exercice 49[ 03566 ][correction] EetFdésignent deux espaces vectoriels normés. a)Aest un sous-ensemble compact deEetfune fonction deEdansF. Démontrer que sifest continue surAalorsf(A)est un sous-ensemble compact deF. b) On suppose quegest une fonction continue deEdansC. Démontrer que siAest un sous-ensemble compact non vide deEalors -g(A)est une partie bornée deC; - il existex0Atel que sup|g(x)|=|g(x0)| xA
b) Pour chacun des sous-ensembles suivants deR, dire s’il est complet ou non en justifiant votre réponse : -]01]; -[22][3+[; -]01[]−∞2]
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Exercice 51[ 03568 ][correction] SoientE Fdeux espaces vectoriels normés sur le corpsR. a) Démontrer que sifest une application linéaire deEdansFalors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes : (i)fest continue surE; (ii)fest continue en0E; (iii)k >0xEkf(x)k6kkxk. b) SoitEl’espace vectoriel des applications continues de[01]muni de la norme définie par : kfk= sup|f(x)| x[01] On considère l’applicationϕdeEdansRdéfinie par 1 ϕ(f) =Z0f(t) dt Démontrer queϕest linéaire et continue.
Exercice 52[ 03569 ][correction] On noteEl’espace vectoriel des applications continues de[01]dansR. On pose pour toutfdeE 1 p(f) =xs[u0p1]|f(x)|etp1(f) =Z0|f(x)|dx
a) Démontrer succinctement quepetp1sont deux normes deE. b) Démontrer qu’il existek >0tel que pour toutfdeE,p1(f)6kp(f). c) Démontrer que tout ouvert pour la normep1est un ouvert pour la normep. d) Démontrer que les normesp1etpne sont pas équivalentes.
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Exercice 53[ 03570 ][correction]b) Démontrer que pour toutudeA, la sériePunn!converge. On noteR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout n polynômeP=i=P0aiXi,ndésignant le degré deP, on pose :Exercice 56[ 03574 ][correction] a) Etudier les extrema de la fonction définie par : n p1(P) =X|ai|etp2(P) =06mia6xn|ai|f(x y) =p4x2y2 i=0 a) Démontrer succinctement quep1et t des normes deR[X]la méthode générale de recherche d’extrema d’une fonction de deux. en utilisant b) Démontrer que tout ouvert pour la np2sonmroep2est un la ep1. variables. c) Démontrer que les normesp1vteeepc2lteneodsenotirRpa[sXé]rtpoouvenormurbR)teoraviuqemquriétomgéeruvérptatlusténreellt.nseedicnt.Ictéidteuafecsaruseltleel d) On noteRk[X] d’équation : qule sous-espac cons é par les polynômes de n ez=p4x2y2?
degré inférieur ou égal àk. On notep01la restriction dep1àRk[X]etp02la restriction dep2àRk[X]. Les normesp01etp02sont-elles équivalentes ?
Exercice 54[ 03571 ][correction] On note`2l’ensemble des suitesx= (xn)de nombres complexes telles que la série P|xn|2converge. a) Démontrer que`2est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites de nombres complexes. b) Démontrer que pourx= (xn)`2ety= (yn)`2, la sériePxnynconverge. ¯ On pose +x|y=Xxnyn ¯ n=0 c) Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire dans`2. d) On suppose que`2est muni de ce produit scalaire et de la norme associée. SoitnN. Pour toutx= (xn)`2, on poseϕ(x) =xn. Démontrer queϕest une application linéaire continue de`2dansCet calculer kϕkkϕkdésigne la norme usuelle dans l’espace vectoriel des applications linéaires continues de`2dansC.
Exercice 55[ 03572 ][correction] SoitAune algèbre normée de dimension finie ayantepour élément unité. a) Soituun élément deAtel quekuk<1. Démontrer que la sériePunest convergente. Démontrer que(eu)est inversible et que
+(e u)1Xun = n=0
Exercice 57[ 03575 ][correction] Déterminer le développement en série entière à l’origine de la fonction +x f(x) = ln11xen précisant le rayon de convergence.
Exercice 58[ 03579 ][correction] SoientXun ensemble,(fn)nNune suite de fonctions deXdansCetfune fonction deXdansC. a) On suppose que
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xXnN|fn(x)f(x)|6αn (αn)nNest une suite de réels telle quelim+αn= 0. n→ ∞ Démontrer que la suite(fn)nNconverge uniformément versfsurX. b) La suite(zn)nNconverge-t-elle uniformément dans le disque ouvertD(012) de centre 0 et de rayon12? Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvertD(01)de centre 0 et de rayon 1 ?
Exercice 59[ 03580 ][correction] Soit(un)nNune suite décroissante positive de limite nulle. a) Démontrer que la sérieP(1)kukest convergente. n Indice : on pourra considérer(S2n)nNet(S2n+1)nNavecSn=P(1)kuk. k=0 b) Indiquer un majorant du reste de cette série. Démontrez ce résultat.
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