Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Abordables en 1ère année

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 01311 ] [correction] Exercice 6 [ 02508 ] [correction] SoitC un cercle de centre F et de rayon 2a. a) Etudier la fonction 0 sinxa) Soit F un point à l’intérieur du cercleC. f (x) =√λ0 2Quel est le lieu des points M centre des cercles passant par F et tangent àC? 1− 2λ cosx +λ 0b) Même question pour F extérieur àC. avec|λ| = 1. b) Calculer Z π f (x) dxλ Exercice 2 [ 02569 ] [correction] 0 2~ ~a) Tracer P définie par O +ti +at j avec a> 0 et préciser son axe. b) Déterminer tangente et normale à P au point M de paramètre t .0 0 Exercice 7 [ 03193 ] [correction]c) Factoriser 3 2 2 2 2 Pour a et b des réels tels que ab> 0, on considèreP (X) =X − (t +t +t t )X + (t t +t t )1 2 1 21 2 2 1 Z b 2en produit de polynômes de degré 1. 1−x I(a,b) = √ dx d) Montrer que les normales en trois points de P sont concourantes si, et 2 4(1 +x ) 1 +xa seulement si, le centre de gravité du triangle formé par ses points est sur l’axe de P. a) Calculer I(−b,−a), I(1/a, 1/b) et I (1/a,a) en fonction I(a,b). b) Pour a,b> 1, calculer I(a,b) via changement de variables v =x + 1/x puis v = 1/t. c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout a,b tels que ab> 0. Exercice 3 [ 03361 ] [correction] Soit C un cercle de centre F et de rayon r. 0a) F étant un point intérieur à C; trouver le lieu des centres des cercles passant Exercice 8 [ 02519 ] [correction]0par F et tangents à C.
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Exercice 1[ 01311 ][correction]
SoitCun cercle de centreFet de rayon2a.
a) SoitF0un point à l’intérieur du cercleC.
Quel est le lieu des pointsMcentre des cercles passant parF0et tangent àC?
b) Mme question pourF0extérieur àC.

Exercice 2[ 02569 ][correction]
a) TracerPdéfinie parO+t~i+at2j~aveca >0et préciser son axe.
b) Déterminer tangente et normale àPau pointM0de paramètret0.
c) Factoriser
P(X) =X3−(t21+t2+t1t2)X+ (t1t22+t12t2)
2

Enoncés

en produit de polynômes de degré 1.
d) Montrer que les normales en trois points dePsont concourantes si, et
seulement si, le centre de gravité du triangle formé par ses points est sur l’axe de
P.

Exercice 3[ 03361 ][correction]
SoitCun cercle de centreFet de rayonr.
a)F0étant un point intérieur àC; trouver le lieu des centres des cercles passant
parF0et tangents àC.
b) Mme question pourF0extérieur àC.

Exercice 4[ 02459 ][correction]
Montrer que, au voisinage de+∞,

n3
un=Zn2d+1tt2∼n12

Exercice 5[ 01767 ][correction]
fétant continue sur[a b]et à valeurs dansR, trouver une condition nécessaire et
suffisante pour que
b
Zbaf(x) dx=Z|f(x)|dx
a

Exercice 6[ 02508 ][correction]
a) Etudier la fonction
fλ(x) =√1−2sλocnixsx+λ2

avec|λ| 6= 1.
b) Calculer


fλ(x) dx
0

Exercice 7[ 03193 ][correction]
Pouraetbdes réels tels queab >0, on considère
b
I(a b) =Za(1+1x2−)√x12+x4dx

1

a) CalculerI(−b−a),I(1a1b)etI(1a a)en fonctionI(a b).
b) Poura b >1, calculerI(a b)via changement de variablesv=x+ 1xpuis
v= 1t.
c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour touta btels queab >0.

Exercice 8[ 02519 ][correction]
Soientn∈N,n>2etfl’application deRdansRdéfinie par
f(x) =xnsin1xsix6= 0etf(0) = 0

a) Montrer quefest dérivable surR.
b)f ? si oui à quel ordre maximal ?admet-elle un développement limité en 0

Exercice 9[ 03197 ][correction]
Déterminerfdérivable surRtelle que

f0(x) =f(2−x)

Exercice 10[ 03360 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEsurRouCvérifiant
f◦g=Id.
a) Montrer queker(g◦f) = kerfet Im(g◦f) =Img.

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b) Montrer

E= kerf⊕Img

c) Dans quel cas peut-on conclureg=f−1?
d) Calculer(g◦f)◦(g◦f)et caractériserg◦f

Exercice 11[ 02175 ][correction]
Soienta∈]0 π[etn∈N?. Factoriser dansC[X]puis dansR[X]le polynôme

X2n−2 cos(na)Xn+ 1

Exercice 12[ 02553 ][correction]
Soit(Pn)n∈N?la suite de polynômes définie par

P1=X−2et∀n∈N? Pn+1=Pn2−2

Calculer le coefficient deX2dansPn.

Exercice 13[ 02580 ][correction]
On cherche les polynômes

P(X) = (X−a)(X−b)∈C[X]

Enoncés

tels queP(X)diviseP(X3).
Montrer que, sia=b,P∈R[X]et que sia6=beta36=b3, il existe 6 polynômes
dont 4 dansR[X].
Trouver les polynômesPsia6=beta3=b3et en déduire que 13 polynômes en
tout conviennent, dont 7 dansR[X].

Exercice 14[ 03581 ][correction]
SoitP∈R[X]scindé de degré>2; on veut montrer que le polynômeP0est lui
aussi scindé.
a) Enoncer le théorème de Rolle.
b) Six0est racine dePde multiplicitém>1, quelle en est la multiplicité dans
P0?
c) Prouver le résultat énoncé.

Exercice 15[ 02560 ][correction]
Discuter suivantaetbet résoudre
ax+ 2by+ 2z= 1
22xx2++bybya++a2zz1==b

Exercice 16[ 02575 ][correction]
Montrer que la matrice
10
1
1

A=

est inversible et calculer son inverse.

1
0
1
1

1
1
0
1

1
1
1
0



Exercice 17[ 02579 ][correction]
Résoudre, en discutant selona b∈Rle système
ax+y+z+t= 1
x+ay+z+t=bb2
x+y+az+t=
x+y+z+at=b3

Exercice 18[ 03212 ][correction]
Soientb= (i j)etB= (I J)deux bases d’unR-espace vectoriel de dimension 2
etPla matrice de passage debàB.
Pourx∈E, notons
v=MatbxetV=MatBx
a) Retrouver la relation entrevetV.
b) Soientf∈ L(E)et
m=MatbfetM=MatBf
Retrouver la relation entremetM.
c) Par quelle méthode peut-on calculermnlorsqu’on connaît deux vecteurs
propres non colinéaires def.

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Exercice 19[ 01425 ][correction]
Soienta6=betλ1 λ2  λn. On pose

λ1+x a+x

Δn(x) =b+x λ2+x
.
.
..
b+x∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
b+x

a) Montrer queΔn(x)est une fonction affine dex.
b) CalculerΔn(x)et en déduireΔn(0).

Exercice 20[ 03377 ][correction]
a) Calculer

b) En déduire

a b
a2b2
a3b3

c
c2
c3

a+b b+c
a2+b2b2+c2
a3+b3b3+c3

a+x

.

a+x
λn+x

c+a
c2+a2
c3+a3

[n]

Exercice 21[ 03576 ][correction]
a) Donner le rang deB=t(comA)en fonction de celui deA∈ Mn(K)
b) On se place dans le cas où rgA=n−1.
SoitC∈ Mn(K)telle que
AC=CA=On

Montrer qu’il existeλ∈Ktel que

C=λB

Enoncés

Exercice 22[ 03190 ][correction]
SoitEorienté de dimension 3 muni d’une base orthonorméeun espace euclidien
directeB= (i j k). Soitθ∈R, déterminer les éléments caractéristiques de

Rotkπ2◦Rotcosθi+sinθjπ

Exercice 23[ 03803 ][correction]
Montrer que la matrice
M= 1−12
3−2

−2
1
−2

−2
−12

est orthogonale.
Calculerdet(M) ?. Qu’en déduire d’un point de vue géométrique
Donner les caractéristiques géométriques deM.

Exercice 24[ 03799 ][correction]
On pose
γ1(t) =a(1−t)~i+bt~javec06t61
~
γ2(t) =acos(s)~i+bsin(s)~javec06s6π2
~

et le champ de vecteurs

~ ~ ~
V=yi+ 2xj

a) Représenter les courbes paramétrées par~γ1etγ~2.
~
b) Le champ de vecteursVdérive-t-il d’un potentielU(x y)?
~
c) Calculer la circulation deVselonγ~1et~γ2. Conclure.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
II) a) SoitΓun cercle passant parF0, tangent àC,Mson centre etRson rayon.
NotonsPle point de contact deCetΓ.
PuisqueΓpasse parF0intérieur àC, le cercleΓest aussi intérieur àC.
Par suite les pointsF,MetPsont alignés dans cet ordre.
PuisqueM P=R=M F0etM F+M P=F P= 2aon a

M F+M F0= 2a

Inversement, un pointMde l’ellipse défini parM F+M F0=rest le centre du
cercleΓde rayonR=M F0qui est tangent àCet passe parF0.
b) Cette fois-ciΓest à l’extérieur du cercle et les pointsF,MetPsont alignés
dans l’ordreF,P,MouM,F,P. On a alors resp.M F−M F0= 2aou
M F0−M F= 2ad’où
|M F−M F0|= 2a

Inversement, un point de l’hyperbole déterminée par|M F−M F0|=rest le
centre du cercleΓde rayonR=M F0qui est tangent àCet passe parF0.

Exercice 2 :[énoncé]
a)Pest la parabole d’équationy=ax2, c’est une parabole d’axe vertical.
b) La tangente enM0a pour équationy= 2at0(x−t0) +at02avecx0=t0.
La normale enM0a pour équationx+ 2at0y=t0+ 2a2t03.
c) On a
P(X) = (X−t1)(X−t2)(X+t1+t2)
d) Trois droites d’équationsax+by=c,a0x+b0y=c0,a00x+b00y=c00sont
concourantes ou parallèles si, et seulement si,

a b c
a0b0c0= 0
a00b00c00

Le cas de parallélisme étant ici exclu, les normales aux points de paramètres
(distincts)t0 t1 t2sont concourantes si, et seulement si,

1 2at02a2t30
1 2at12a2t31= 0
1 2at22a2t32

i.e.

3
1t0t0
3
1t1t1= 0
1t2t23

soit encoreP(t0) = 0ce qui revient àt0+t1+t2= 0
L’abscisse du centre de gravité du triangle considéré étant(t0+t1+t2)3, la
propriété énoncée est désormais immédiate.

Exercice 3 :[énoncé]
a) SoitΓun cercle passant parF0, tangent àC,Mson centre etRson rayon.
NotonsPle point de contact deCetΓ.
PuisqueΓpasse parF0intérieur àC, le cercleΓest aussi intérieur àC.
Par suite les pointsF,MetPsont alignés dans cet ordre.
PuisqueM P=R=M F0etM F+M P=F P= 2aon a

M F+M F0r
=

Inversement, un pointMde l’ellipse défini parM F+M F0=rest le centre du
cercleΓde rayonR=M F0qui est tangent àCet passe parF0.
b) Cette fois-ciΓà l’extérieur du cercle et les pointsest F,MetPsont alignés
dans l’ordreF,P,MouM,F,P. On a alors resp.M F−M F0rou
=
M F0−M F=rd’où
|M F−M F0|=r

Inversement, un point de l’hyperbole déterminée par|M F−M F0|=rest le
centre du cercleΓde rayonR=M F0qui est tangent àCet passe parF0.

Exercice 4 :[énoncé]
On peut calculer l’intégrale

un= arctann3−arctann2

Or pourx >0,

rctan =
arctanx+ ax2
donc
un= arctann12−arctann13=n12+on12∼n12

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Montrer que l’égalité proposée a lieu si, et seulement si,fest de signe constant
Sif>0ouf60: ok
Inversement, supposons
b
Zaf==Zab
|f|
SiRbaf>0alorsRabf=Rab|f|donneRab|f(x)| −f(x) dx
= 0.
Or la fonction|f| −fest continue et positive c’est donc la fonction nulle et par
suitef=|f|est positive.
Le casRbf <0est semblable.
a

Exercice 6 :[énoncé]
a)1−2λcosx+λ2= (λ−cosx)2+ sin2x >0pour toutx∈Rcar|λ| 6= 1. La
fonctionfλest définie surR. Cette fonction est évidemmentC∞,2π-périodique et
impaire. Nous limitons son étude à[0 π].
Le casλ= 0est immédiat. On suppose dans la suiteλ6= 0.
fλ0(x)est du signe deλ2cos(x)−λ(1 + cos2x) + cosx. Cette expression s’annule
pourcosx=λoucosx= 1λ.
Pour|λ|<1,
x0 arccosλ π
fλ0(x) + 0−
fλ(x) 0%1&0

Pour|λ|>1,
x 10 arccosλ π
fλ0(x) + 0−
fλ(x) 0%1λ&0
On a
Z0πfλ(x)dx= 1λhp1−2λcosx+λ2iπ0=|1 +λ| −λ|1−λ|
Pour|λ|<1,
Zπfλ(x)dx= 2
0
Pour|λ|>1,
Zπ2

fλ(x)dx=|λ|
0

Exercice 7 :[énoncé]
a) Par parité de la fonction intégrée, on a

I(−b−a) =I(a b)

Par le changement de variableu= 1t, on obtient
I(1a1b) =Zb1−t12−dt=I
at2(a b)
1 +t12 q1 +t14

En particulier

I(1a a) =I(a1a)

alors que par échange des bornes

On en déduit

I(1a a) =−I(a1a)

I(1a a) = 0

b) En procédant aux changements de variable proposés
I(a b) =Zab++11bav√−v2dv−=2Zba(b2+1)√d1−t2t2
(a2+1)

et donc
b)
I(a b) =√21harcsin√2tia((ba22)1++1
c) Le changement de variablev=x+ 1xn’est pas bijectif quandxparcourt
]0+∞[mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans
exprimerxen fonction dev. L’hypothèsea b >1n’a donc pas été utilisée dans
l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.

Exercice 8 :[énoncé]
a)fest évidemment dérivable en touta∈R?et aussi dérivable en 0 avec
f0(0) = 0.
b)fadmet pour développement limité à l’ordren−1:f(x) =o(xn−1).
Sifadmet unDLn(0)celui-ci serait de la forme

f(x) =axn+o(xn)

ce qui entraîne quesin(1x)admet une limite finie en 0 ce qui est notoirement
faux.

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Exercice 9 :[énoncé]
Soitfune fonction solution (s’il en existe). Une telle fonction est de dérivée
dérivable et doncfest deux fois dérivable avec

f00(x) =−f0(2−x) =−f(x)

Corrections

Ainsifest solution de l’équation différentielley00+y= 0de solution générale

y(x) =λcosx+µsinx

En injectant dans l’équation étudiée, une telle fonction est solution si, et
seulement si,
(−µλ==λλsicso+22n−µµsin2oc2s

ce qui après résolution équivaut à l’équation

(1 + sin 2)λ 2)= (cosµ

En écrivantλ= (cos 2)α, on aµ= (1 + sin 2)αet la solution générale de
l’équation étudiée est de la forme

f(x) =α(sinx+ cos(2−x))

Exercice 10 :[énoncé]
a) Evidemmentkerf⊂ker(g◦f)et Im(g◦f)⊂Img.
Pourx∈ker(g◦f), on af(x) =f(g(f(x)) =f(0) = 0doncx∈kerf.
Poury∈Img, il existex∈Etel quey=g(x)et alors
y=g(f(g(x)) =g(f(a))∈Im(g◦f).
b) Six∈kerf∩Imgalors on peut écrirex=g(a)et puisquef(x) = 0,
a=f(g(a)) = 0doncx= 0.
Pourx∈E, on peut écrirex= (x−g(f(x)) +g(f(x))avecx−g(f(x))∈kerfet
g(f(x))∈Img.
c) Sifest inversible alorsf◦g=Id entraîneg=f−1.
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
d)(g◦f)◦(g◦f) =g◦(f◦g)◦f=g◦fet doncg◦fest un projecteur.

Exercice 11 :[énoncé]
Les racines deX2−2 cos(na)X+ 1sont einaet−inadonc
e

X2n−2 cos(na)Xn+ 1 = (Xn−eina)(Xn−e−ina)

Les racines deXn−einasont les eia+2ikπnaveck∈ {0     n−1}et celles de
Xn−e−ias’en déduisent par conjugaison.
Ainsi

n−1n−1
X2n−2 cos(na)Xn+ 1 =Y(X−eia+2ikπn)Y(X−e−ia−i2kπn)
k=0k=0

dansC[X]puis

n−1
X2n−2 cos(na)Xn+1 =Y(X−eia+2ikπn)(X
k=0

dansR[X].

6

−e−ia−2ikπn) =nk−=Y10(X2−2 cosa+ 2kπn

Exercice 12 :[énoncé]
Notonsan bnetcnles coefficients de1 XetX2dansPn.
PuisqueP1=X−2, on aa1=−2,b1= 1etc1= 0.
PuisquePn+1=Pn2−2, on aan+1=a2n−2,bn+1= 2anbnetcn+1=bn2+ 2ancn.
1
On en déduita2= 2,b2=−4etc2= 1puis pourn>3:an= 2,bn= 4n−,

cn= 4n−2+ 4n−1+∙ ∙ ∙+ 42n−4= 4n−24n−13−1

Exercice 13 :[énoncé]
Sia=balors(X−a)2divise(X3−a)2si, et seulement si,aest racine au moins
double de(X3a)2. Ceci équivaut àa3=ace qui donnea∈ {−101}.

Les polynômes solutions correspondant sont alorsX2(X−1)2et(X+ 1)2, tous
réels.
Sia6=balors(X−a)(X−b)divise(X3−a)(X3−b)si, et seulement si,aet etb
sont racines de(X3−a)(X3b).

a3=a
Sia36=b3alorsaetbsont racines(X3−a)(X3−b)si, et seulement si,(b3=b
o(ab33==ba.
u
Dans le premier cas, sachanta6=b, on parvient aux polynômes
X(X−1) X(X+ 1)et(X−1)(X+ 1).
Puisque(ab33==ba⇔(ab9==a3a, dans le second cas, on parvient à
(X−eiπ4)(X−e3iπ4),X2+ 1et(X−e−iπ4)(X−e−3iπ4).

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Corrections

Ainsi quanda6=beta36=b3, on parvient à 6 polynômes dont 4 réels.
Enfin, sia6=beta3=b3alors(X−a)(X−b)divise(X3−a)(X3−b)si, et
seulement si,a3=aoua3=b. Quitte à échangeraetb, on peut supposera3=a
et on parvient alors aux polynômes(X−1)(X−j),(X−1)(X−j2),
(X+ 1)(X+j)et(X+ 1)(X+j2)selon quea= 1oua=−1(le casa= 0étant
à exclure car entraînantb=a).
Au final on obtient3 + 6 + 4 = 13polynômes solutions dont3 + 4 + 0 = 7réels.

Exercice 14 :[énoncé]
a) Sif: [a b]→R(aveca < b) est continue, dérivable sur]a b[et sif(a) =f(b)
alors il existec∈]a b[tel quef0(c) = 0.
b) Six0est racine de multiplicitémdePalorsx0est racine de multiplicitém−1
deP0(en convenant qu’une racine de multiplicité 0 n’est en fait pas racine).
c) Notonsx1 < x<   ples racines dePetm1     mpleurs multiplicités
respectives. Puisque le polynômePest supposé scindé, on a

m1+∙ ∙ ∙+mp= degP

Les élémentsx1     xpsont racines de multiplicitésm1−1     mp−1deP0.
En appliquant le théorème de Rolle àPentrexketxk+1, on détermine
yk∈]xk xk+1[racine deP0. Cesyksont distincts entre eux et distincts des
x1     xpOn a ainsi obtenu au moins.

(p−1) + (m1−1) +∙ ∙ ∙+ (mp−1) = degP−1

racines deP0. OrdegP0= degP−1doncP0est scindé.

Exercice 15 :[énoncé]
a22xxx+2++a2ybybyb+++a22zzz=1==b1⇔b(a(a−2−2x)2y+)x2++b(y2(2+−−zaa)za=)z=1=b0−1
Sia= 2, on parvient au système
+ 2z= 1
(2x2+0b=yb−1

Dans le casb6= 1, le système est incompatible.
Dans le casb= 1, on parvient à l’équation2x+ 2y+ 2z= 1.

Sia6= 2, on parvient au système
2x+ 2by+az= 1
=ba−−12
by−z
x−z= 0

puis

(a+ 4)z=aa−−22b
by=z+b−1
a−2
x=z

Dans le casa=−4, le système n’est compatible que sib=−2et on parvient au
système
(x4=zy= 2z+ 1

Dans le casb= 0, le système est incompatible.
Dans le cas général restant, on parvient à

a−2b ab+ 2b−4
x=z=(a−2)(a+ 4),y=b(a−2)(a+ 4)

Exercice 16 :[énoncé]
On aA2= 3I+ 2Adonc

A−1
=31(A−2I)

Exercice 17 :[énoncé]
Le déterminant de ce système carré est(a−1)3(a+ 3).
Casa= 1:
Le système est compatible si, et seulement si,b= 1et ses solutions sont les
quadruplets(x y z t)vérifiant

x+y+z+t= 1

Casa=−3:
En sommant les quatre équations, on obtient l’équation de compatibilité
0 = 1 +b+b2+b3.

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Sib ∈ {i−1−i}alors le système est incompatible.
Sib∈ {i−1−i}alors le système équivaut à
xx−3+yy−+3z+t=b
z+t=b2
x+y+z−3t=b3
x−
44yy3−−y44z+tz=+=bb23t−−=bbb
1b1
x=y2+4+1b24+b3
z=y41+(b−b2)
t=y(+14b−b3)
ce qui permet d’exprimer la droite des solutions.
Casa∈{1−3}:
C’est un système de Cramer. . .
Sa solution est
2 +a−b−b2−b3ab−1 + 2b−b2−b3
x=2a−3 +a2 y=2a−3 +a2
ab2−1−b+ 2b2−b3ab3−1−b−b2+ 2b3
z2=a−3 +a2 t2=a−3 +a2

Corrections

Exercice 18 :[énoncé]
a)Pest la matrice de l’application IdEdans les basesBau départ etbà l’arrivée.
La relationx=IdE(x)donne matriciellementv=P V.
b) La relationf=IdE−1◦f◦IdEdonne matriciellementM=P−1mP
.
c) Dans une base de vecteurs propres, la matrice defest diagonale et ses
puissances sont alors faciles à calculer. Par changement de base, on en déduitmn.

Exercice 19 :[énoncé]
a) En retirant la première colonne à la suivante

λ1+x a−λ1∙ ∙ ∙
b+x λ2−b
Δn(x) =.
.
..
b+x(0)

a−λ1
(a−b)

λn−b

[n]

Puis en développant selon la première colonne

b) Par déterminant triangulaire

Δn(x) =αx+β

n n
Δn(−a) =Y(λi−a)etΔn(−b) =Y(λi−b)
i=1i=1

On en déduit
n n n n
Q(λi−a)−Q(λi−b)bQ(λi−a)−aQ(λi−b)
i=1
=
α=i=1b−ai=1etβi=1b−a

Exercice 20 :[énoncé]
a) En factorisant les colonnes

a b c1
a2b2c2=abc a
a3b3c3 a2

En retranchant à chaque ligneafois la précédente

a b c1
a2b2c2=abc0
 
a3b3c30

et enfin en développant

1
b
b2

1
b−a
b(b−a)

1
c
c2

1
c−a
c(c−a)

a b c
a2b2c2=abc(b−a)(c−a)(c−b)
a3b3c3

b) En séparant la première colonne en deux

8

a+b b+c c+a a b+c c+a b b+c c+a
a2+b2b2+c2c2+a2=a2b2+c2c2+a2+b2b2+c2c2+a2
3
a+b3b3+c3c3+a3 a3b3+c3c3+a3 b3b3+c3c3+a3

Puis en procédant à des combinaisons judicieuses sur les colonnes

a+b b+c c+ b b c c aa a
a2+b2b2+c2c2+a2=a2b2c2+b2c2a2
a3+b3b3+c3c3+a3 a3b3c3 b3c3a3

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enfin, par permutation des colonnes dans le deuxième déterminant

Corrections

a+b b+c c+ b ca a
a2+b2b2+c2c2+a2= 2a2b2c2= 2abc(b−a)(c−a)(c−b)
a3+b3b3+c3c3+a3 a3b3c3

Exercice 21 :[énoncé]
a) On saitAB=BA= det(A)In.
Si rgA=nalorsAest inversible doncBaussi et rgB=n.
Si rgA=n−1alorsdim kerA= 1et puisqueAB=On, ImB⊂kerApuis
rgB61.
De plus, la matriceAétant de rang exactementn−1, elle possède un mineur non
nul et doncB6=On. Finalement rgB= 1.
Si rgA6n−2alors tous les mineurs deAsont nuls et doncB=Onpuis rgB= 0.
b) Puisque rgA=n−1,dim kerA= 1etdim kertA= 1.
Il existe donc deux colonnesXetYnon nulles telles que

kerA=VectXetkertA=VectY

SoitM∈ Mn(K)vérifiantAM=M A=On.
PuisqueAM=On, ImM⊂kerA=VectXet donc on peut écrire par blocs

M= (λ1X|  |λnX) =XL

avecL= (λ1 λ  n).
La relationM A=Ondonne alorsXLA=Onet puisqueX6= 0, on obtient
LA= 0puistAtL= 0. Ceci permet alors d’écrireLsous la formeL=λtYpuis
Msous la forme
M=λXtY

Inversement une telle matrice vérifieAM=M A=Onet donc

{M∈ Mn(K)AM=M A=On}=Vect(XtY)

Cet espace de solution étant une droite et la matriceBétant un élément non nul
de celle-ci, il est dès lors immédiat d’affirmer que toute matriceC∈ Mn(K)
vérifiantAC=CA=Onest nécessairement colinéaire àB.

Exercice 22 :[énoncé]
Posons

R1=Rotkπ2etR2=Rotcosθi+sinθjπ

La composée de deux rotations est une rotation, doncR1◦R2est une rotation.
Puisque les vecteurskestu= cosθi+ sinθjsont orthogonaux

R2(k) =−k

et donc
R1◦R2(k) =−k
On en déduit queR1◦R2retournement dont l’axe est orthogonal àest un ki.e.
inclus dans Vect(i j).
Puisque
R2(u) =uetR1(u) =−sinθi+ cosθj
on a
R2◦R1(u) =−sinθi+ cosθj

et donc
u+R2◦R1(u) = (cosθ−sinθ)i+ (cosθ+ sinθ)j6= 0
dirige l’axe du retournement.

Exercice 23 :[énoncé]
Les colonnes deMet deux à deux orthogonales, c’est donc unesont unitaires
matrice orthogonale.
En développant selon une rangéedetM=−1.
Puisque la matriceMest de surcroît symétrique, c’est une matrice de réflexion
par rapport à un plan. Ce plan est celui de vecteur normalt(111).

Exercice 24 :[énoncé]
a)~γ2paramètre le quart d’une ellipse partant du sommetA(a0)jusqu’au
sommetB(0 b).
γ~1paramètre le segment[A B]deAversB.
~
b) Le champ de vecteursVdérive du potentielUsi, et seulement si,

∂∂Ux(x y) =yetU∂y∂(x y) = 2x

Un tel potentiel est alors de classeC2et l’égalité de Schwarz

∂2U ∂2U
=
∂x∂y ∂y∂x

n’étant pas vérifiée, on peut conclure à l’inexistence deU.

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~
c) La circulation deV

le long deγ~1est
Z1

−abt+ 2ab(1−t) dt=ab
02

et celle le long de~γ2est
Z0π2−absin

2(s) + 2abcos2(s) ds abπ
=
4

~
Par la différence des deux valeurs obtenues, on retrouve queV
potentiel.

Corrections

ne dérive pas d’un

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