Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Analyse

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 0Exercice 1 [ 00844 ] [correction] b) Exprimer g (x) en fonction de f(x) et de g(x) pour x> 0. Montrer que la suite réelle (x ) définie par x ∈ [a,b] et c) Pour 0 1 +xZ +∞ dx En déduire41 +x0 2 12 −t∀t∈R, 1−t 6 e 6 21 +t ?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes Exercice 9 [ 03794 ] [correction] Z Z ZConvergence et calcul de +∞ 1 +∞ 2 dtZ −t 2 n+∞ I = e dt, I = (1−t ) dt et J =1 n n 2 n(1 +t )ln 1 + dt 0 0 02t0 puis établir I I 6√ 6Jn n nExercice 10 [ 03375 ] [correction] a) Montrer que c) On pose x Z π/2∀x∈R, e > 1 +x nW = cos x dxn En déduire 0 2 12 −t Etablir∀t∈R, 1−t 6 e 6 21 +t I =W et J =Wn 2n+1 n+1 2n ?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes d) Trouver une relation de récurrence entre W et W .n n+2 Z Z Z+∞ 1 +∞ En déduire la constance de la suite de terme général 2 dt−t 2 nI = e dt, I = (1−t ) dt et J =n n 2 n(1 +t )0 0 0 u = (n + 1)W Wn n n+1 puis établir e) Donner un équivalent de W et en déduire la valeur de I.n I √I 6 6Jn n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 3 Exercice 12 [ 03385 ] [correction] Exercice 15 [ 02516 ] [correction] a) Etudier l’intégrabilité sur ]1, +∞[ de Soient nY1 1 √ u = (3k− 2) et v =n nn 3/4lnx 3 n! n k=1f(x) = √ (x− 1) x a) Montrer que pour n assez grand, b) Montrer u vn+1 n+1Z >3 ln 3 u vn nf(x) dx6 2 P2 unb) En déduire que u diverge.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1
0Exercice 1 [ 00844 ] [correction] b) Exprimer g (x) en fonction de f(x) et de g(x) pour x> 0.
Montrer que la suite réelle (x ) définie par x ∈ [a,b] et c) Pour 0<a<b, montrer quen 0
Z Z1 b b
2 2 2∀n∈N,x = (f(x ) +x )n+1 n n g (t) dt = 2 f(t)g(t) dt +ag (a)−bg (b)2
a a
où f est 1-lipschitzienne de [a,b] dans [a,b], converge vers un point fixe de f.
puis montrer que
s s s
Z Z Zb +∞ +∞
2 2 2 2Exercice 2 [ 03788 ] [correction] g (t) dt6 f (t) dt + ag (a) + f (t) dt
a 0 0a) Montrer que la fonction
Z 2x te
f :x7→ dt d) Etudier la nature de
t Z +∞x
2
? g (t) dtest définie et dérivable surR .
0
b) Déterminer la limite de f en 0.
Exercice 5 [ 02348 ] [correction]
Exercice 3 [ 02599 ] [correction]
a) Justifier que? ZSoient n∈N et l’équation y
t− [t]
G(x,y) = dt
n t(t +x)0(E ) :x +x− 1 = 0n
+? 2où [t] représente la partie entière de t, est définie sur (R ) .
a) Montrer qu’il existe une unique solution positive de (E ) notée x et quen n b) Montrer que G(x,y) tend vers une limite G(x) quand y tend vers +∞.
lim x = 1.n
n→+∞ c) Montrer que
b) On pose y = 1−x . Montrer que, pour n assez grand,n n Z Zn y+n1 t− [t] t− [t]?∀n∈N ,G(n,y) = dt− dtlnn lnn
n t t6y 6 2 0 yn
2n n
d) On note H(n) =nG(n); montrer que la série de terme général(on posera f (y) =n ln(1−y)− ln(y)).n
c) Montrer que ln(y )∼− lnn puis quen 1
H(n)−H(n− 1)− 2nlnn lnn
x = 1− +on
n n converge et en déduire un équivalent de G(n).
Exercice 4 [ 01770 ] [correction]
Exercice 6 [ 02417 ] [correction]+?Soit g définie surR par lntZ x Soit f :t7→ .2(1+t)1
g(x) = f(t) dt a) Prouver que f est intégrable sur ]0, 1] et sur [1, +∞[.
x R R0 1 +∞
b) Calculer f(t) dt puis f(t) dt.0 1+où f est continue, de carré intégrable surR .
a) Etudier le prolongement par continuité de g en 0.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2
Exercice 7 [ 02555 ] [correction] c) On pose
Z π/2On considère nW = cos x dxlnt n
f :t7→ 02(1 +t)
Etablir
a) Etudier l’intégrabilité de f sur ]0, 1] et [1, +∞[. I =W et J =Wn 2n+1 n+1 2n
b) Calculer
Z Z1 +∞ d) Trouver une relation de récurrence entre W et W .n n+2lnt lnt
dt et dt En déduire la constance de la suite de terme général2 2(1 +t) (1 +t)0 1
u = (n + 1)W Wn n n+1
e) Donner un équivalent de W et en déduire la valeur de I.Exercice 8 [ 02509 ] [correction] n
a) Calculer
Z +∞ 21 +x
dx
4 Exercice 11 [ 03376 ] [correction]1 +x0
[Calcul de l’intégrale de Gauss]
ten effectuant notamment le changement de variable x = e . a) Montrer que
b) En déduire la valeur de x∀x∈R, e > 1 +xZ +∞
dx
En déduire41 +x0 2 12 −t∀t∈R, 1−t 6 e 6
21 +t
?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes
Exercice 9 [ 03794 ] [correction]
Z Z ZConvergence et calcul de +∞ 1 +∞
2 dtZ −t 2 n+∞ I = e dt, I = (1−t ) dt et J =1 n n 2 n(1 +t )ln 1 + dt 0 0 02t0
puis établir
I
I 6√ 6Jn n
nExercice 10 [ 03375 ] [correction]
a) Montrer que c) On pose
x Z π/2∀x∈R, e > 1 +x
nW = cos x dxn
En déduire 0
2 12 −t Etablir∀t∈R, 1−t 6 e 6
21 +t I =W et J =Wn 2n+1 n+1 2n
?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes
d) Trouver une relation de récurrence entre W et W .n n+2
Z Z Z+∞ 1 +∞ En déduire la constance de la suite de terme général
2 dt−t 2 nI = e dt, I = (1−t ) dt et J =n n 2 n(1 +t )0 0 0 u = (n + 1)W Wn n n+1
puis établir e) Donner un équivalent de W et en déduire la valeur de I.n
I
√I 6 6Jn n
n
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Exercice 12 [ 03385 ] [correction] Exercice 15 [ 02516 ] [correction]
a) Etudier l’intégrabilité sur ]1, +∞[ de Soient
nY1 1
√ u = (3k− 2) et v =n nn 3/4lnx 3 n! n
k=1f(x) = √
(x− 1) x
a) Montrer que pour n assez grand,
b) Montrer u vn+1 n+1Z >3 ln 3 u vn nf(x) dx6
2 P2 unb) En déduire que u diverge. (on pourra utiliser )n vn
Exercice 13 [ 03705 ] [correction] Exercice 16 [ 02538 ] [correction]
2 00a) En posant x = tant, montrer Soit f de classeC sur [0, +∞[ telle que f est intégrable sur [0, +∞[ et telle que
R +∞
l’intégrale f(t)dt soit convergente.Z π/2 0
dt π a) Montrer que√=2 01 +a sin (t) 2 1 +a lim f (x) = 0 et lim f(x) = 00
x→+∞ x→+∞
b) Donner en fonction de α> 0 la nature de la série b) Etudier les séries
X X
0Z f(n) et f (n)πX dt
2α1 + (nπ) sin (t)0
Exercice 17 [ 02582 ] [correction]c) Même question pour
a) Montrer l’existence, pour θ∈ ]0,π[, d’un majorant M de la valeur absolue deZ θ(n+1)πX dt
2 nα X1 +t sin (t)nπ
S = cos(kθ)n
d) Donner la nature de l’intégrale k=1
√Z x+∞ dt b) Montrer que x7→ est décroissante sur [2, +∞[.
x−1
2α c) En remarquant de cos(nθ) =S −S , étudier la convergence de la série de1 +t sin (t) n n−10
terme général √
n
u = cos(nθ)n
n− 1
Exercice 14 [ 02515 ] [correction] P
2d) En utilisant|cos(kθ)|> cos (kθ), étudier la convergence de |u |.nEtudier la nature de la série de terme général

n(−1)
u = ln 1 + sinn α Exercice 18 [ 03371 ] [correction]n
a) Déterminer la limite de la suite définie par :
pour α> 0.
−une
u > 0 et∀n∈N,u =0 n+1
n + 1
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b) Déterminer la limite de la suite définie par Exercice 22 [ 00933 ] [correction]
Etablir
Z +∞v =nu 1n n n−1X (−1)xx dx =P P nn n0c) Donner la nature de la série u et celle de la série (−1) un n n=1
Exercice 19 [ 03796 ] [correction]
P Exercice 23 [ 01102 ] [correction]1Convergence et somme de la série .2k −1 a) Donner les limites éventuelles en +∞ des suites de termes générauxk>2
Convergence et somme de Z Z1 +∞
dt dt√√ U = et V =X n n3 n 3 nE( k + 1)−E( k) (1 +t ) (1 +t )0 1
k
k>2
b) Quelle est la nature des séries
où E désigne la fonction partie entière. X X
U et V ?n n
n>1 n>1
Exercice 20 [ 03715 ] [correction]
nP
Soient (a ) une suite de réels strictement positifs et S = a .n n k
k=0P P Exercice 24 [ 01771 ] [correction]
a) On suppose que la série a converge, donner la nature de a /S .n n nP Vérifier que la suite de terme général
b) On suppose que la série a diverge, montrern
Z +∞ sin(nt)a 1 1n? u = dtn∀n∈N , 6 − 22 nt +t0S S Sn−1 nn
P
2 est bien définie et étudier sa convergence.En déduire la nature de a /S .n n P
c) On suppose toujours la divergence de la série a .nP
Qu’elle est la nature de a /S ?n n
Exercice 25 [ 02360 ] [correction]
?Pour n∈N , soit f l’application définie parn
Exercice 21 [ 03716 ] [correction]
n P 2sh(x) si x∈ ]0, +∞[Soient (a ) une suite de réels strictement positifs et S = a . nxn n k e −1f (x) =nk=0P P α si x = 0
a) On suppose que la série a converge, donner la nature de a /S .n n nP
b) On suppose que la série a diverge, montrern a) Pour quelle valeurs de α la fonction f est-elle continue?n
Dans la suite, on prendra cette valeur de α.a 1 1n?∀n∈N , 6 − b) Montrer que f est bornée.2 nS S S Rn−1 nn +∞
c) Montrer que f (x) dx existe pour n> 2.nP 0R2 +∞En déduire la nature de a /S .n n d) Exprimer f (x) dx comme la somme d’une série.P n0
c) On suppose toujours la divergence de la série a .nP
Qu’elle est la nature de a /S ?n n
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Exercice 26 [ 02392 ] [correction] Exercice 30 [ 02527 ] [correction]
1Soit f une application réelle de classeC sur [a,b] avec 0<a< 1<b et f(1) = 0. Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de terme général
nSoit (f ) la suite de fonctions telle que f (x) = sin x cosx pour x∈R.n n
f(x)
f (x) =n n1 +x
Exercice 31 [ 02532 ] [correction]
α −nx +a) Montrer que la suite de fonctions f (x) =x(1 +n e ) définies surR poura) Déterminer la limite simple de (f ). nn
?α∈R et n∈N converge simplement vers une fonction f à déterminer.b) Etablir l’égalité suivante :
b) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles il y a convergence uniforme.
Z Zb 1 c) Calculer
Zlim f (t) dt = f(t) dtn 1 √n→+∞ a a −nxlim x(1 + ne )dx
n→+∞ 0c) Montrer que
Z 1
ln 2n−1
t f (t) dt∼ f(1)n
na Exercice 32 [ 02558 ] [correction]
Ensemble de définition et continuité de
+∞Exercice 27 [ 02529 ] [correction] X √
−x nf(x) = eMontrer que
+∞X n=01
f(x) = arctan(nx)
2 +n En trouver un équivalent en 0 et la limite en +∞.n=1
1 ?est continue surR et de classeC surR .
Exercice 33 [ 02570 ] [correction]
p kSoient p et k 2 entiers naturels, non nul. Soit f :x7→x (lnx) .p,kExercice 28 [ 02517 ] [correction]
? a) Montrer que f est intégrable sur ]0, 1]. Soitp,kPour n∈N et x∈R, on pose
Z4 1 2n2 p kn x K = x (lnx) dxp,kf (x) =√ 1−n 2 0π 2n
b) Exprimer K en fonction de K .p,k p,k−1Soit g une fonction continue surR et nulle en dehors d’un segment [a,b]. R 1 nc) J = (x lnx) dx en fonction de n.Montrer que n 0Z R 1 xd) On pose I = x dx. Montrerlim f (x)g(x)dx =g(0) 0n
n→+∞ R
+∞ nX (−1)
I =
n+1(n + 1)
n=0Exercice 29 [ 02518 ] [correction]
Etudier la suite de fonctions (f ) définie parn
2 −nxnx e Exercice 34 [ 02583 ] [correction]f (x) =n 2−x ?1− e Soit n∈N .
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6[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 6
a) Ensemble de définition de a) Montrer que f est intégrable sur ]0, 1[. On posen
ZZ 1+∞
dt J = f (x)dxI (x) = n nn x n(1 +t ) 00
P b) Montrer que la suite (J ) est convergente et déterminer sa limite.n n∈Nb) Montrer que si x> 1, I (x) diverge.n
c) Montrer que
c) Calculer I (2) pour n> 1.n +∞X1 1
J =n 24 k
k=n+1
Exercice 35 [ 02597 ] [correction]
+∞P n n(−1) t ∞Montrer que g :t7→ est de classeC surR.2n 2 Exercice 40 [ 03800 ] [correction]2 (n!)
n=0
Etudier la limite éventuelle, quand n tend vers +∞, de la suite−t ∞En déduire que h :t7→g(t)e est de classeC surR.
R +∞ Z +∞ nMontrer que h(t) dt existe et calculer son intégrale. x0
I = dxn n+21 +x0
Exercice 36 [ 03194 ] [correction]
1 Exercice 41 [ 03807 ] [correction]Définition, continuité et classeC de
Montrer que la fonction f donnée parn
∞ nX (−1) x ln(1 +x/n)x7→ sin f (x) =nn n 2x(1 +x )n=1
?est intégrable surR .+ R +∞
Montrer que la suite de terme général u =n f (x) dx converge vers unen n0Exercice 37 [ 03294 ] [correction]
limite à préciser.
Montrer Z Z+∞ +∞ −x
n e−xlim n e dx = dx
n→+∞ x1 1 Exercice 42 [ 03770 ] [correction]
On considère la série des fonctions

2 −x nf (x) =nx enExercice 38 [ 03295 ] [correction]
Montrer +Z Z définie surR .+∞ +∞ −x
n e−x Etudier sa convergence simple, sa convergence normale et sa convergencelim n e dx = dx
n→+∞ x1 1 uniforme.
Exercice 43 [ 03781 ] [correction]Exercice 39 [ 03362 ] [correction]
Prouver l’égalitéPour n∈N et x∈ ]0, 1[, on pose
Z +∞1 2 nX(lnx) (−1)
2n+1 dx = 2x lnx 2 31 +x (2n + 1)0f (x) =n n=02x − 1
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Exercice 44 [ 03785 ] [correction] Exercice 47 [ 03266 ] [correction]
On introduit l’application sur [0, +∞[ Soit E l’espace des fonctions continues de carré intégrable sur R normé par
n −x Z 1/2+∞x e
2f :x7→n N (f) = f2n!
−∞
a) Etudier les convergences de la suite de fonctions (f ).nP a) Soit φ une fonction continue bornée. Montrer que l’application
b) les conv de la série de f .n
u :f7→φf
définit un endomorphisme continue de E.Exercice 45 [ 00039 ] [correction]
b) Soient x fixé dansR et f la fonction continue valant 1 en x , affine sura) Montrer que 0 n 0
[x − 1/n,x ] et [x ,x + 1/n] et nulle ailleurs.0 0 0 0
N (u) = sup|u | et N(u) = sup|u −u | Montrer que pour g fonction continue surR,∞ n n+1 n
n∈N n∈N
R
2f gnRRdéfinissent des normes sur l’espace E des suites réelles bornées u = (u ) telles lim =g(x )n n∈N 02n→+∞ fnRque u = 0.0
b) Montrer que
c) Calculer la norme subordonnée de l’endomorphisme u définit à la première
∀u∈E,N(u)6 2N (u)∞ question.
Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
Exercice 48 [ 03300 ] [correction]
On note E l’espace des fonctions réelles définies et continues sur [0, 1].
On note E cet espace muni de la norme∞Exercice 46 [ 03786 ] [correction]
On munit E =M (C) de la normep
k.k :f7→ sup |f(t)|∞
t∈[0,1]
kMk = max |m |i,j
16i,j6p
et E cet espace muni de la norme1
pa) Soient X fixé dansC et P fixé dans GL (C); montrer que Zp 1
k.k :f7→ |f(t)| dt−1 1φ(M) =MX et ψ(M) =P MP 0
Soit u l’endomorphisme de E défini pardéfinissent des applications continues.
Zb) Montrer que x
f(M,N) =MN u(f)(x) = tf(t) dt
0
définit une application continue.
n a) Montrer que l’application v de E vers E qui à f associe u(f) est continue et∞ 1c) Soit A∈M (C) telle que la suite (kA k) soit bornée; montrer que les valeursp
déterminer sa norme.propres de A sont de module inférieur à 1.
n b) Montrer que w de E vers E qui à f associe u(f) est continue et1 ∞d) Soit B∈M (C) telle que la suite (B ) tende vers une matrice C. Montrer quep
2 déterminer sa norme.C =C; que conclure à propos du spectre de C?
Montrer que les valeurs propres de B sont de module au plus égal à 1
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Exercice 49 [ 03696 ] [correction] Exercice 53 [ 02394 ] [correction]P
na) Montrer que Soit a x une série entière de rayon de convergence R = 1.n
Pour x∈ ]−1, 1[, on définit
N (u) = sup|u | et N(u) = sup|u −u |∞ n n+1 n +∞X
n∈N n∈N nS(x) = a xn
définissent des normes sur l’espace E des suites réelles bornées u = (u ) telles n=0n n∈N
que u = 0.0 On suppose que :
b) Montrer que -∀n∈N,a > 0;n
∀u∈E,N(u)6 2N (u)∞ - S est bornée sur [0, 1[
P
a) Montrer que a est une série convergente.Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité. n
b) Montrer quec) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
!
+∞ +∞X X
n
lim a x = an n
−x→1
n=0 n=0Exercice 50 [ 00038 ] [correction]
a) Etudier la convergence et préciser la limite éventuelle de (a ) définie parn
a = ln(1 +a ) et a > 0n+1 n 0
Exercice 54 [ 02414 ] [correction]P PP n n 0n Soient a x et b x deux séries entières de rayons de convergence R et R .b) Rayon de convergence de a x n nn PP nn a) Déterminer le rayon de convergence et la somme de c x avecc) Etudier la convergence de ( a x ) sur le bord de l’intervalle de convergence nn
nP(on pourra étudier la limite de 1/a − 1/a et utiliser le théorème de Cesaro)n+1 n c = a b .n k n−k
k=0
b) Déterminer le rayon de convergence et la somme de
Exercice 51 [ 00075 ] [correction]
X 1 1 1Calculer n1 + + +··· + x+∞ 3nX 2 3 nx
n>1S (x) =0
(3n)!
n=0
+∞P 3n+kx(on pourra calculer S (x) = pour k∈{0, 1, 2})k (3n+k)! Exercice 55 [ 02500 ] [correction]n=0
Soient k> 0 et
Z 1
k
f(x) = t sin(xt)dtExercice 52 [ 00078 ] [correction]
0
Soient x∈R et θ∈ ]0,π/2[.
a) Montrer que f est continue surR.a) Calculer la partie imaginaire du complexe
b) Montrer que f est dérivable surR et vérifie
iθsinθe
0iθ ∀x∈R,xf (x) + (k + 1)f(x) = sinx1−x sinθe
b) En déduire le développement en série entière de c) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de
0xy + (k + 1)y = sinx en précisant le rayon de convergence.1
f(x) = arctan x−
tanθ
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Exercice 56 [ 02506 ] [correction] Exercice 60 [ 02534 ] [correction]
Soit a∈ ]−1, 1[. On pose On pose
+∞X ∀θ∈R,∀n∈N, a = cos(nθ)n
nf(x) = sin(a x)
+∞P
n=0 na) Calculer a x pour tout x∈ ]−1, 1[.n
n=0 Pa) Montrer que f est définie surR. anb) Montrer que pour tout θ =kπ, converge et exprimer sa somme à l’aide∞ n+1b) Montrer que f est de classeC et que pour tout k∈N et tout x∈R,
d’une intégrale.

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