Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Algèbre

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02357 ] [correction] Exercice 8 [ 02365 ] [correction] Soit E un ensemble de cardinal n,R une relation d’équivalence sur E ayant k Soit p un nombre premier; on pose 2 n oclasses d’équivalence et G = (x,y)∈E /xRy le graphe deR supposé de kp 2 G = z∈C;∃k∈N,z = 1pcardinal p. Prouver qu’on a n 6kp. ?a) Montrer que G est un sous-groupe de (C ,×).p b) Montrer que les sous-groupes propres de G sont cycliques et qu’aucun d’euxp Exercice 2 [ 02358 ] [correction] n’est maximal pour l’inclusion. ?Pour n∈N , on désigne par N le nombre de diviseurs positifs de n et par P leur c) Montrer que G n’est pas engendré par un système fini d’éléments.p produit. Quelle relation existe-t-il entre n, N et P ? Exercice 9 [ 02366 ] [correction] Montrer que n oExercice 3 [ 02359 ] [correction] √ 2 2 4444 x +y 3/x∈N,y∈Z,x − 3y = 1Soit A la somme des chiffres de 4444 , B celle de A et enfin C celle de B. Que vaut C? ?est un sous-groupe de (R ,×).+ Exercice 10 [ 02367 ] [correction] Exercice 4 [ 02361 ] [correction] √ Soit A un sous-anneau deQ. Soit P∈Z [X] et a,b deux entiers relatifs avec b> 0 et b irrationnel.√ a) Soit p un entier et q un entier strictement positif premier avec p. Montrer que a) Exemple : montrer que 6 est irrationnel.√ si p/q∈A alors 1/q∈A.nb) Quelle est la forme de (a + b) ?√ √ ?b) Soit I un idéal de A autre que{0}. Montrer qu’il existe n∈N tel que c) Montrer que si a + b est racine de P alors a− b aussi.
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 31
Voir plus Voir moins

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 02357 ][correction]
SoitEun ensemble de cardinaln,Rune relation d’équivalence surEayantk
classes d’équivalence etG=(x y)∈E2xRyle graphe deRsupposé de
cardinalp. Prouver qu’on an26kp.

Enoncés

Exercice 2[ 02358 ][correction]
Pourn∈N?, on désigne parNle nombre de diviseurs positifs denet parPleur
produit. Quelle relation existe-t-il entren,NetP?

Exercice 3[ 02359 ][correction]
SoitAla somme des chiffres de44444444,Bcelle deAet enfinCcelle deB. Que
vautC?

Exercice 4[ 02361 ][correction]
SoitP∈Z[X]eta bdeux entiers relatifs avecb >0et√birrationnel.
a) Exemple : montrer que√6est irrationnel.
b) Quelle est la forme de(a+√b)n?
c) Montrer que sia+√best racine dePalorsa√−baussi.
d) On suppose quea+√best racine double deP. Montrer queP=RQ2avecR
etQdansZ[X].

Exercice 5[ 02362 ][correction]
SoitEun ensemble fini de cardinaln. Calculer :
XCardX,XCard(X∩Y)etXCard(X∪Y)
X⊂E XY⊂E XY⊂E

Exercice 6[ 02363 ][correction]
Quel est le plus petit entierntel qu’il existe un groupe non commutatif de
cardinaln?

Exercice 7[ 02364 ][correction]
Soit un entiern>2. CombienZnZadmet-il de sous-groupes ?

Exercice 8[ 02365 ][correction]
Soitpun nombre premier on pose ;
Gp=nz∈C;∃k∈N zpk= 1o

a) Montrer queGpest un sous-groupe de(C?×).
b) Montrer que les sous-groupes propres deGpsont cycliques et qu’aucun d’eux
n’est maximal pour l’inclusion.
c) Montrer queGpn’est pas engendré par un système fini d’éléments.

Exercice 9[ 02366 ][correction]
Montrer que
nx+y√3x∈N y∈Z x2−3y2= 1o
est un sous-groupe de(R?+×).

Exercice 10[ 02367 ][correction]
SoitAun sous-anneau deQ.
a) Soitpun entier etqun entier strictement positif premier avecp. Montrer que
sipq∈Aalors1q∈A.
b) SoitIun idéal deAautre que{0}. Montrer qu’il existen∈N?tel que
I∩Z=nZet qu’alorsI=nA.
c) Soitpun nombre premier. On pose

Zp={ab;a∈Z b∈N? p∧b= 1}
Montrer que six∈Q?alorsxou1xappartient àZp.
d) On suppose ici quexou1xappartient àApour toutx∈Q?. On noteI
l’ensemble des éléments non inversibles deA.
Montrer queIinclut tous les idéaux stricts deA. En déduire queA=Qou
A=Zppour un certain nombre premierp.

Exercice 11[ 02368 ][correction]
Soitnun entier naturel non nul,(e1     en)la base canonique deE=Rn.
SoitSnl’ensemble des permutations de{12     n}. Soitti= (1 i).
Pours∈Sn, on définitus(ei) =es(i).
a) Montrer que(t2 t3     tn)engendreSn.
b) Interpréter géométriquementuslorsquesest une transposition.
c) Soits= (1 2 n  −1n). On suppose quesest la composée dep
transpositions. Montrer quep>n−1.
d) Quelle est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de
Sn?

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 12[ 02369 ][correction]
On suppose quenest un entier>2tel que2n−1est premier.
Montrer quenest nombre premier.

Exercice 13[ 02370 ][correction]
On notePl’ensemble des nombres premiers. Pour tout entiern >0, on note
vp(n)l’exposant depdans la décomposition denen facteurs premiers. On note
bxcla partie entière dex. On noteπ(x)le nombre de nombres premiers au plus
égaux àx.
a) Montrer quevp(n!) =k=P∞1jpnkk.
dilnp
b) Montrer que2n!visep∈P;Qp62npln(2n)
.
n
c) Montrer que2nn!6(2n).
π(2n)
d) Montrer quelnxx=O(π(x))quandx→+∞

Exercice 14[ 03199 ][correction]
SoientA(10)etB(01). Les pointsM0(x0 y0)etM1(x1 y1)sont donnés.
On construit le pointP0par les conditions :
- les droites(P0M0)et(Ox)sont parallèles ;
-P0∈(AB).
On construit le pointQ0par les conditions :
- les droites(P0Q0)et(M1B)sont parallèles ;
-Q0∈(AM1).
Soit le pointM2(x2 y2)tel que le quadrilatère(M0P0Q0M2)soit un
parallélogramme.
On pose
M2=M0? M1

a) Démontrer
x22!=x0y+0yx11y0!
y
b) Démontrer que la loi?associative, admet un élément neutre et que, siest
y06= 0, le pointM0admet un inverse.
c) On définit une suite de points(Mn)n∈Npar la donnée deM0, deM1et de la
relation de récurrence valable pour tout entiern>2

Mn=Mn−1? Mn−2

Enoncés

Déterminerynen fonction dey0et dey1.

2

Exercice 15[ 00164 ][correction]
Soientp qdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
˜
a) Montrer quep+qest un projecteur si, et seulement si,p◦q=q◦p= 0.
b) Préciser alors Im(p+q)etker(p+q).
Exercice 16[ 00181 ][correction]
SoientKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension finie,F1etF2
deux sous-espaces vectoriels deE.
a) On supposedimF1= dimF2. Montrer qu’il existeGsous-espace vectoriel deE
tel queF1⊕G=F2⊕G=E.
b) On suppose quedimF16dimF2. Montrer qu’il existeG1etG2sous-espaces
vectoriels deEtels queF1⊕G1=F2⊕G2=EetG2⊂G1.

Exercice 17[ 02379 ][correction]
Soitf∈ L(R6)tel que rgf2= 3. Quels sont les rangs possibles pourf?

Exercice 18[ 00198 ][correction]
SoientB∈ Mn(R)et
A=BInBIn∈ M2n(R)
a) A quelle condition la matriceAest-elle inversible ?
b) Donner son inverse quand cela est possible.

Exercice 19[ 00730 ][correction]
SoitMune matrice carrée de taillenà coefficients dansKsous-corps deC.
Montrer que si trM= 0, il existe deux matricesAetBtelles que

M=AB−BA

Exercice 20[ 01322 ][correction]
SoitA∈ M3(R)non nulle vérifiantA2=O3.
Déterminer la dimension de l’espace

C={M∈ M3(R)AM−M A=O3}

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 21[ 02380 ][correction]
Quels sont lesf∈ L(Rn)telles quef(Zn) =Zn?

Exercice 22[ 02382 ][correction]
Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordrenqui commutent avec
diag(12     n)et lui sont semblables ?

Exercice 23[ 02385 ][correction]
Calculer
1a1∙ ∙ ∙
1a2∙ ∙ ∙
Dk=
. .
1an∙ ∙ ∙

ak1−1
a2k−1
.
ank−1

ak+1
1
a2k+1
.
1
ank+

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

a1n
n
a2
.
ann

Exercice 24[ 02386 ][correction]
n
Soitλ1     λn∈Cdistincts etP(X) =Q(X−λi). Calculer :
i=1

P(X)P(X)
X−λ1X−λ2
1 1
Δ(X) =
. .
λ1n−2λ2n−2

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

Exercice 25[ 02387 ][correction]
a) SoientA B∈ Mn(R). Montrer que
det−BABA>0

P(X)
X−λn
1

.
λn−2
n

b) SoientA B∈ Mn(R)telles queAB=BA. Montrer quedet(A2+B2)
c) Trouver un contre-exemple à b) siAetBne commutent pas.
d) SoientA B C D∈ Mn(R)telles queAC=CA. Montrer que
detABCD= det(AD−CB)

>0.

Enoncés

Exercice 26[ 02388 ][correction]
SoitKun corps de caractéristique nulle etHune partie non vide et finie de
GLn(K)stable par multiplication.
a) SoitM∈H. Montrer quek∈N?7→Mk∈Hn’est pas injective.
En déduire queHest un sous-groupe de GLn(K).
Soient
q=|H|etP= 1qMX∈HM
b) Montrer, siM∈H, queM P=P M=P. En déduireP2=P.
c) Trouver un supplémentaire, dansMn1(K), stable par tous les éléments deH,
de
\ker(M−In)
M∈H
d) Montrer que
X

trM∈qN
M∈H
Que dire si cette somme est nulle ?

3

Exercice 27[ 02390 ][correction]
Soitnun entier>2etAun hyperplan deMn(C)stable pour le produit matriciel.
a) On suppose queIn∈A. Montrer, siM2∈ A, queM∈ A. En déduire que pour
touti∈ {1     n}que la matriceEiiest dansA. En déduire une absurdité.
b) On prendn= 2. Montrer queAest isomorphe à l’algèbre des matrices
triangulaires supérieures.

Exercice 28[ 03164 ][correction]
SoitT∈ Mn(R)une matrice triangulaire supérieure.
Montrer queTcommute avec sa transposée si, et seulement si, la matriceT
diagonale.

Exercice 29[ 00760 ][correction]
SoitE=E1⊕E2unK-espace vectoriel. On considère

Γ ={u∈ L(E)keru=E1et Imu=E2}

a) Montrer, pour toutudeΓque˜u=uE2est un automorphisme deE2.
Soitφ: Γ→GL(E2)définie parφ(u) =u˜.
b) Montrer que◦est une loi interne dansΓ.

est

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

c) Montrer queφest un morphisme injectif de(Γ◦)dans(GL(E2)◦).
d) Montrer queφest surjectif.
e) En déduire que(Γ◦)est un groupe. Quel est son élément neutre ?

Exercice 30[ 00853 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). On posef(M) =AMpour touteM∈ Mn(C).
a) L’applicationfest-elle un endomorphisme deMn(C)?
b) Etudier l’équivalence entre les inversibilités deAet def.
c) Etudier l’équivalence entre les diagonalisabilités deAet def.

Exercice 31[ 00867 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). On suppose qu’il existep∈N?tel queAp= 0.
a) Montrer queAn= 0.
b) Calculerdet(A+In).
SoitM∈ Mn(C)tel queAM=M A.
c) Calculerdet(A+M)(on pourra commencer par le cas oùM∈GLn(C)).
d) Le résultat est-il vrai siMne commute pas avecA?

Exercice 32[ 01324 ][correction]
SoientE=S2(R),
A=dcba∈ M2(R)

etΦ :S2(R)→ S2(R)définie par

Φ(S) =AS+tAS

a) Déterminer la matrice deΦdans une base deE.
b) Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiquesχΦetχA?
c) SiΦest diagonalisable, la matriceAl’est-elle ?
d) SiAest diagonalisable, l’endomorphismeΦl’est-il ?

Exercice 33[ 02389 ][correction]
a) SoientAetBdansM2(K)telles queAB=BA. Montrer queB∈K[A]ou
A∈K[B].
b) Le résultat subsiste-t-il dansM3(K)?

Enoncés

Exercice 34[ 02391 ][correction]
SoientKun sous-corps deCet
J=1∙ ∙ ∙1∈ Mn(K)
.
1.∙ ∙ ∙1

Montrer queJest diagonalisable.

Exercice 35[ 02393 ][correction]
Existe-t-il dansMn(R)une matrice de polynôme minimalX2+ 1?

4

Exercice 36[ 02395 ][correction]
SoitEun espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soientuetv
des endomorphismes deE; on pose[u v] =uv−vu.
a) On suppose[u v] = 0. Montrer queuetvsont cotrigonalisables.
b) On suppose[u v] =λuavecλ∈C?. Montrer queuest nilpotent et queuetv
sont cotrigonalisables.
c) On suppose l’existence de complexesαetβtels que[u v] =αu+βv. Montrer
queuetvsont cotrigonalisables.

Exercice 37[ 02441 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,u vdansL(E)eta b
dansC. On suppose
u◦v−v◦u=au+bv

a) On étudie le casa=b= 0.
Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.
b) On étudie le casa6= 0,b= 0.
Montrer queuest non inversible.
Calculerun◦v−v◦unet montrer queuest nilpotent.
Conclure queuetvont un vecteur propre en commun.
c) On étudie le casa b6= 0.
Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.

Exercice 38[ 03616 ][correction]
Soientn∈NetE=Mn(C). On noteE?=L(EC)leC-espace vectoriel des
formes linéaires surE.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

a) Montrer queL:E→E?,A7→LAoùLAest la forme linéaireM7→tr(AM)
est un isomorphisme
d’espaces vectoriels. En déduire une description des hyperplans deE.
b) SoitT∈ Mn(C)une matrice triangulaire supérieure non nulle etH= kerLT.
On noteTn+(respectivementTn−) le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires
supérieures (respectivement inférieures) à diagonales nulles.
DéterminerH∩Tn+.
En discutant selon queTun coefficient non nul (au moins) horspossède ou non
de la diagonale, déterminer la dimension deH∩Tn−.
c) Une matriceA∈ Mn(C)est dite nilpotente s’il existek∈Ntel queAk= 0.
Prouver que les éléments deTn+∪Tn−sont des matrices nilpotentes.
En déduire queHcontient au moinsn2−n−1matrices nilpotentes linéairement
indépendantes.
d) Montrer que tout hyperplan deEcontient au moinsn2−n−1matrices
nilpotentes linéairement indépendantes.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 39[ 03113 ][correction]
a) SoitD∈ Mn(C). Déterminer l’inverse de
IOnnDIn

b) SoientA B∈ Mn(C)diagonalisables telles que SpA∩SpB=∅.
Montrer que pour tout matriceC∈ Mn(C), les matrices suivantes sont semblables
OAnBCetOAnBOn

Exercice 40[ 03185 ][correction]
a) Soituun endomorphisme inversible d’unK-espace vectorielEde dimension
finie.
Montrer qu’il existe un polynômeQ∈K[X]vérifiant

u−1=Q(u)

b) Soitul’endomorphisme deK[X]qui envoie le polynômeP(X)surP(2X).
Montrer queuest un automorphisme et déterminer ses éléments propres.
Existe-t-ilQ∈K[X]tel que
u−1=Q(u)?

Exercice 41[ 03213 ][correction]
Soientn>2etf∈ L(Cn)endomorphisme de rang 2.
Déterminer le polynôme caractéristique defen fonction de trfet trf2.

5

Exercice 42[ 03745 ][correction]
Soientfune endomorphisme deRnetAsa matrice dans la base canonique de
Rn. On suppose queλest une valeur propre non réelle deAet queZ∈Cnest un
vecteur propre associé.
On noteXetYles vecteurs deRndont les composantes sont respectivement les
parties réelles et imaginaires des composantes deZ.
a) Montrer queXetYsont non colinéaires.
b) Montrer que Vect(X Y)est stable parf.
c) On suppose que la matrice defest donnée par
−10100112
A 0= 0−1 0
1 0 0 1

Déterminer tous les plans stables parf.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 43[ 03645 ][correction]
SoitM∈ Mn(C)telle que
M2+tM=In

a) Montrer
Minversible si, et seulement si,1∈SpM
b) Montrer que la matriceMest diagonalisable.

Exercice 44[ 03744 ][correction]
Soientn∈N?etE=Mn(R). PourA B∈Efixées non nulles, on définit
f∈ L(E)par
∀M∈E f(M) =M+tr(AM)B
a) Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 defet en déduire une
condition nécessaire et suffisante sur(A B)pour quefsoit diagonalisable. Quels
sont alors les éléments propres def?
b) DéterminerdimCoù

C={g∈ L(E)f◦g=g◦f}

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

Exercice 45[ 02396 ][correction]
Soit(Eh | i)un espace euclidien non nul etu∈ L(E)tel que tr(u) = 0.
a) Montrer qu’il existex∈E\ {0}tel quehu(x)|xi= 0.
b) Montrer qu’il existe une base orthonormée deEdans laquelle la matrice deu
est à diagonale nulle.

Exercice 46[ 03743 ][correction]
p qsont deux entiers strictement positifs.A Bdeux matrices deMpq(R)telles
quetAA=tBB.
a) ComparerkerAetkerB.
b) Soitf(respectivementg) l’application linéaire deRqdansRpde matriceA
(respectivementB) dans les bases canoniques deRqetRp. On munitRpde sa
structure euclidienne canonique. Montrer que

∀x∈Rqhf(x) f(y)i=hg(x) g(y)i

c) Soient(ε1     εr)et(ε01     ε0r)deux bases d’un espace euclidienF
dimensionrvérifiant
∀(i j)∈ {1     r}2hεi εji=ε0i ε0j
Montrer qu’il existe une application orthogonalesdeFtelle que

∀i∈ {1     r} s(εi) =εi0

de

d) Montrer qu’il existeU∈ Op(R)tel queA=U B.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 47[ 02397 ][correction]
SoitEun espace euclidien orienté de dimension 3 etuun endomorphisme deE.
a) Réduire l’expression

ϕ(x y z) = [u(x) y z] + [x u(y) z] + [x y u(z)]

b) Montrer qu’il existev∈ L(E)tel que pour tout(x y)∈E2,

v(x∧y) =u(x)∧y−u(y)∧x

Exercice 48[ 02401 ][correction]
SoientAetBdansMn(R). Montrer, siAtA=BtB, qu’il existeQ∈ On(R)tel
queB=AQ.

Exercice 49[ 02403 ][correction]
a) Trouver les matrices deOn(R)diagonalisables surR.
b) Montrer qu’une matrice deOn(R)est diagonalisable surC.

Exercice 50[ 02404 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6n∈ On(R).
a) Montrer
X|aij|6n√n
16ij6n

b) Montrer

Xaij6n
16ij6n

c) Peut-on avoir simultanément :

X|aij|=n√netXaij=n?
16ij6n16ij6n

Exercice 51[ 02408 ][correction]
On se place dans l’espace euclidienE.
1) Soitpun projecteur deE.
Etablir l’équivalence des conditions suivantes :
(i)p ;est un projecteur orthogonal
(ii)∀x∈Ekp(x)k6kxk;
(iii)pest autoadjoint.
2) Soientpetqdeux projecteurs orthogonaux.
a) Montrer quep◦q◦pest autoadjoint.
b) Montrer que
(Imp+ kerq)⊥=Imq∩kerp

c) Montrer quep◦qest diagonalisable.

6

Exercice 52[ 03084 ][correction]
Montrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique réelle est positif ou nul.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

Exercice 53[ 03189 ][correction]
SoientEun espace euclidien etf∈GL(E).
a) Démontrer l’existence d’une base orthonormée deEtransformée parfen une
base orthogonale.
b) SoitM∈GLn(R). Démontrer l’existence de deux matrices orthogonalesUet
Vtelles queU M Vsoit diagonale.
Mme question avecMnon inversible.
c) Application
M=2121

Exercice 54[ 03610 ][correction]
Soitn∈N?. SiM∈ Mn(R), on dira queMa la propriété(P)si, et seulement si,
il existe une matriceU∈ Mn+1(R)telle queMsoit la sous-matrice deUobtenue
en supprimant les dernières ligne et colonne deUet queUsoit une matrice
orthogonale, soit encore si, et seulement si, il existeα1     α2n+1∈Rtels que
α2n+1

U=


M.∈ On+1(R)
αnn+21+
α1∙ ∙ ∙αnα

a) Ici
M=(λ01)...(λ0n)
est une matrice diagonale. Déterminer une condition nécessaire et suffisante
portant sur lesλipour queMait la propriété(P).
b) IciM∈ Sn(R). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM
ait la propriété(P).
c) SiM∈GLn(R), montrer qu’il existeU∈ On(R)etS∈ Sn(R)telles que
M=U S.
On admettra qu’une telle décomposition existe encore siMn’est pas inversible.
d) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM∈ Mn(R)
quelconque ait la propriété(P).
Cette condition portera surtM M.
e) Montrer le résultat admis dans la question c).
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

7

Exercice 55[ 03738 ][correction]
a)A=cbba∈ M2(R)etB=2211
A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura b cexiste-t-ilP∈ O2(R)telle
queA=P BtP?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb c∈Ret
P∈ O2(R)tels queA=P BtP?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes surcexiste-t-ila b∈Ret
P∈ O2(R)tels queA=P BtP?
b)A=abcd∈ M2(R)etB=1221
A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura b c dexiste-t-ilP∈GL2(R)
telle queA=P BP−1?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb c d∈Ret
P∈GL2(R)tels queA=P BP−1?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes surdexiste-t-ila b c∈Ret
P∈GL2(R)tels queA=P BP−1?
c) SiA B∈ Mn(R), justifier l’existence de
PQm∈aOxn(R)detP AtP+QBtQ
d) Calculer ce maximum siB=2112etA=−21−−12.
e) SiA B∈ Mn(R),

sup detP AP−1+QBQ−1
PQ∈GLn(R)

est-il fini en général ? (Si oui, le montrer, si non, donner un contre-exemple).
f) De manière générale, siA1     Ak∈ S2+(R)déterminer
max detP1A1tP1+∙ ∙ ∙+PkAk tPk
P1Pk∈O2(R)

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 56[ 03741 ][correction]
SoitEun espace euclidien ; on noteO(E)le groupe des endomorphismes
orthogonaux deEet on définit l’ensemble

Γ ={u∈ L(E)∀x∈Eku(x)k6kxk}

a) Montrer queΓest une partie convexe deL(E)qui contientO(E).

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

b) Soitu∈Γtel qu’il existe(f g)∈Γ2vérifiant

f6=getu(=21f+g)

Montrer queu ∈ O(E).
c) Soitvun automorphisme deE; montrer qu’il existeρ∈ O(E)etsun
endomorphisme autoadjoint positif deEtels quev=ρ◦s.
On admet que ce résultat reste valable si on ne suppose plusvbijectif.
d) Soitu∈Γqui n’est pas un endomorphisme orthogonal.
Montrer qu’il existe(f g)∈Γ2tels que

f6=getu=12(f+g)

e) Démontrer le résultat admis à la question c).
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Enoncés

Exercice 57[ 00006 ][correction]
Montrer que siqest une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive
ou négative.

Exercice 58[ 02398 ][correction]
SoientAetBdansSn++(R).
a) Montrer qu’il existeP∈GLn(R)etΔ∈ Mn(R)diagonale à coefficients
diagonaux>0telles que
A=tP PetB=tPΔP

b) Montrer que
det(A+B)>detA+ detB
c) Montrer que l’inégalité de b) subsiste siA B∈ Sn+(R).

Exercice 59[ 02399 ][correction]
Soit(Eh | i)un espace euclidien etAun endomorphisme symétrique défini positif
de(Eh | i). On pose
hx|yiA=A−1x|y
pour tousx y∈E.
a) Montrer queh | iAest un produit scalaire.
SoitBun endomorphisme autoadjoint de(Eh | i).
b) Montrer queABest diagonalisable

SiMest un endomorphisme diagonalisable deE, on noteλmin(M)(resp.
λmax(M)) sa plus petite (resp. grande) valeur propre.
c) Montrer que l’image deE\ {0}par

xi
x h7→ hAB−1xx||xi

n’est autre que le segment d’extrémitésλmin(AB)etλmax(AB).
d) Montrer que

λmin(A)λmin(B)6λmin(AB)6λmax(AB)6λmax(A)λmax(B)

Exercice 60[ 02400 ][correction]
Soituun automorphisme d’un espace euclidienE.
a) Montrer quev=u?uest autoadjoint défini positif.
b) Montrer qu’il existewautoadjoint positif tel quev=w2, etρorthogonal tel
queu=ρw.
c) Montrer que cette décomposition deuest unique.
d) Comment interpréter ces résultats de façon matricielle ?

Exercice 61[ 02402 ][correction]
SoientA∈ Sn++(R)etB∈ Sn(R).
Montrer queABest diagonalisable.

Exercice 62[ 02405 ][correction]
SoientA∈ Sn(R)etB∈ Sn++(R).
Montrer que le polynômedet(A−XB)est scindé surR.

Exercice 63[ 02406 ][correction]
SoitP={A∈ Mn(R) A+tA∈ Sn++(R)}.
a) SoitA∈ Mn(R). Montrer queA∈ Psi, et seulement si, :

∀X∈Rn\ {0}tXAX >0

8

b) SoientA∈ PetS∈ Sn++(R). Montrer, siλest valeur propre complexe deSA,
que Reλ >0.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 64[ 02407 ][correction]
SoientAetBdansSn++(R)telles que :

Montrer

∀X∈ Mn1(R)tXAX6tXBX

detA6detB

Exercice 65[ 03062 ][correction]
Soienta1    an>0et deux à deux distincts.
Pour(x1     xn)∈Rn, on pose

n
q(x) =Xxixj
ij=1ai+aj

Montrer queqest une forme quadratique définie positive.

Enoncés

9

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Notonsn1     nkles cardinaux respectifs deskclasses d’équivalence deR. D’une
partn=n1+∙ ∙ ∙+nk, d’autre partp=n12+∙ ∙ ∙+n2k. Par l’inégalité de
Cauchy-Schwarz :(n1+∙ ∙ ∙+nk)26k(n21+∙ ∙ ∙+nk2).

Exercice 2 :[énoncé]
En associant dansP2=P×Pchaque diviseurdavec celui qui lui est conjugué
nd, on obtient un produit deNtermes égaux àn. Ainsi

P2=nN

Exercice 3 :[énoncé]
Posonsx= 44444444, [9]4444 = 7,73 [9]= 1donc44444444= 7 [9].
x <105×4444doncA69×5×4444 = 199980,B69×5 + 1 = 46puis
C64 + 9 = 13.
OrC=B=A=x[9]doncC= 7

Exercice 4 :[énoncé]
a) Supposons√6 =pqavecp∧q= 1. On a6q2=p2doncppair,p= 2k. On
obtient alors3q2= 2k2et doncqest pair. Absurde carpetqsont premiers entre
eux.
b) Par développement selon la formule du binôme de Newton
(a+√b)n=αk+βk√bavecαk βk∈Z.
n
c)a+√bracine deP=nkPakXkdonnePakαk=Pnakβk√b.
=0k=0k=0
n n
L’irrationalité de√bentraînePakαk=Pakβk= 0ce qui permet de justifier
k=0k=0
P(a√−b) = 0.
d) PosonsQ= (X−a+√b)(X−a√−b) =X2−2aX+a2−b∈Z[X].
Par division euclidienneP=QS+TavecdegT <2. Or en posant cette division
euclidienne, on peut affirmer queS T∈Z[X]avecP Q∈Z[X]etQunitaire.
a+√b a−√bracine dePentraîneT= 0et doncP=QSavecQ S∈Z[X]. En
dérivantP0=Q0S+QS0eta+√bentraîne racine deP0donnea+√bracine de
S. On peut alors comme ci-dessus justifierS=QRavecR∈Z[X]et conclure.

Exercice 5 :[énoncé]
Pourk∈ {0     n}, il y akn!partiesXà unkéléments dansE. Par suite
n0kkn!
PCard(X)=P=n2n−1.
X⊂E k=
Pourk∈ {0     n}, il y akn!partiesZàkéléments dansE.
Pour une telle partieZ, les partiesXcontenantZont`∈ {k     n}éléments.
n−k
Il y a` k!partiesXà`éléments contenantZ.

Pour une telle partieX, une partieYtelle queX∩Y=Zest une partieY
déterminée parZ⊂Y⊂Z∪CEX.
Il y a2n−`partiesYpossibles.
Ainsi, il y a`=nPkn`−−kk!2n−`= (1 + 2)n−k= 3n−kcouples(X Y)tels que
X∩Y=Z.
nk=n0knk!3n−k.
PCard(X∩Y) = PP PCard(X∩Y) =P
XY⊂E k=0CardZ=k X∩Y=Z
Or((3 +x)n)0=n(3 +x)n nknk!3kxk−1donc
−1=Pn−
k=0
PCard(X∩Y) =n4n−1.
XY⊂E
Enfin Card(X∪Y) =CardX+CardY−Card(X∩Y)donne
PCard(X∪Y) = 2nn2n−1+ 2nn2n−1−n4n−1= 3n4n−1.
XY⊂E

Exercice 6 :[énoncé]
Notons, pourn= 6que(S3◦)est un groupe non commutatif à 6 éléments.
Un groupe àn= 1élément est évidemment commutatif.
Pourn= 23ou 5, les éléments d’un groupe ànéléments vérifientxn=e.
Puisquenest premier, un élément autre queede ce groupe est un élément
d’ordrenet le groupe est donc cyclique donc commutatif.
Pourn= 4, s’il y a un élément d’ordre 4 dans le groupe, celui-ci est cyclique.
Sinon, tous les éléments du groupe vérifientx2=e. Il est alors classique de
justifier que le groupe est commutatif.
Exercice 7 :[énoncé]
SoientHun sous-groupe deZnZeta= mink >0 k∈H.
¯

10

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.