Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Algèbre

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02648 ] [correction] Exercice 8 [ 02661 ] [correction] ?Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose Soit p un nombre premier. On note Z l’ensemble des a/b où (a,b)∈Z×N et pp ?AH ={ah/a∈A,h∈H}. Montrer que AH =H si, et seulement si, A⊂H. ne divise pas b. On note J l’ensemble des a/b où (a,b)∈Z×N , p divise a et pp ne pas b. a) Montrer que Z est un sous-anneau deQ.p b) Montrer que J est un idéal de Z et que tout idéal de Z autre que Z estp p p pExercice 2 [ 02649 ] [correction] inclus dans J .pSoit (G,.) un groupe fini tel que c) Déterminer les idéaux de Z .p 2 ∀g∈G,g =e où e est le neutre de G. On suppose G non réduit à{e}. Exercice 9 [ 02242 ] [correction]? nMontrer qu’il existe n∈N tel que G est isomorphe à ((Z/2Z) , +). ? 2Soient (n,p)∈ (N ) avec n>p, E et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, u∈L(E,F ) et v∈L(F,E) vérifiant u◦v = Id .F a) Montrer que v◦u est un projecteur. Exercice 3 [ 02654 ] [correction] b) Déterminer son rang, son image et son noyau. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3. Exercice 10 [ 02662 ] [correction]√ √ √Exercice 4 [ 02656 ] [correction] Soit K =Q + 2Q + 3Q + 6Q.√ √ √Soient des entiers a> 1 et n> 0. a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est uneQ-base duQ-espace vectoriel K.nMontrer que si a + 1 est premier alors n est une puissance de 2. b) Montrer que K est un sous-corps deR.
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Enoncés

Exercice 1[ 02648 ][correction]
SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG,Aune partie non vide deG. On pose
AH={aha∈A h∈H}. Montrer queAH=Hsi, et seulement si,A⊂H.

Exercice 2[ 02649 ][correction]
Soit(G )un groupe fini tel que

∀g∈G g2=e

oùeest le neutre deG. On supposeGnon réduit à{e}.
Montrer qu’il existen∈N?tel queGest isomorphe à((Z2Z)n+).

Exercice 3[ 02654 ][correction]
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme4n+ 3.

Exercice 4[ 02656 ][correction]
Soient des entiersa >1etn >0.
Montrer que sian+ 1est premier alorsnest une puissance de 2.

Exercice 5[ 02657 ][correction]
Soit, pourn∈N,Fn= 22n+ 1.
a) Montrer, si(n m)∈N2avecn6=m, queFn∧Fm= 1.
b) Retrouver à l’aide du a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.

Exercice 6[ 02658 ][correction]
a) Pour(a n)∈Z×N?aveca∧n= 1, montrer queaϕ(n) [= 1n].
b) Pourppremier etk∈ {1     p−1}, montrer quepdivisekp!.
c) Soit(a n)∈(N?)2. On suppose quean−1 [= 1n]. On suppose que pour toutx
divisantn−1et différent den−1, on aax6 [= 1n]. Montrer quenest premier.

Exercice 7[ 02660 ][correction]
Sipest un nombre premier, quel est le nombre de carrés dansZpZ?

Exercice 8[ 02661 ][correction]
Soitpun nombre premier. On noteZpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?etp
ne divise pasb. On noteJpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?,pdiviseaetp
ne divise pasb.
a) Montrer queZpest un sous-anneau deQ.
b) Montrer queJpest un idéal deZpet que tout idéal deZpautre queZpest
inclus dansJp.
c) Déterminer les idéaux deZp.

1

Exercice 9[ 02242 ][correction]
Soient(n p)∈(N?)2avecn > p,EetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions
respectivesnetp,u∈ L(E F)etv∈ L(F E)vérifiantu◦v=IdF.
a) Montrer quev◦uest un projecteur.
b) Déterminer son rang, son image et son noyau.

Exercice 10[ 02662 ][correction]
SoitK=Q+√2Q+√3Q+√6Q.
a) Montrer que(1√2√3√6)est uneQ-base duQ-espace vectorielK.
b) Montrer queKest un sous-corps deR.

Exercice 11[ 02677 ][correction]
SoitKun corps,Eun espace vectoriel de dimension finiensurKetLun
sous-corps deKtel queKest un espace vectoriel de dimension finiepsurL.
Montrer queEest un espace vectoriel de dimension finieqsurL. Reliern p q.

Exercice 12[ 02678 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetGun
sous-espace vectoriel deF. On suppose queGest de codimension finie dansE.
Montrer que
codimEG=codimEF+codimFG

Exercice 13[ 02680 ][correction]
SoitEetFdesK-espaces vectoriels. On se donnef∈ L(E F), une famille
(Ei)16i6nde sous-espaces vectoriels deEet une famille(Fj)16j6pde sous-espaces
vectoriels deF.

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Enoncés

a) Montrer
n n
f(XEi) =Xf(Ei)
i=1i=1
b) Montrer que sifest injective et si la somme desEiest directe alors la somme
desf(Ei)est directe.
c) Montrer
p p
f−1(XFj)⊃Xf−1(Fj)
j=1j=1
Montrer que cette inclusion peut tre stricte. Donner une condition suffisante
pour qu’il y ait égalité.

Exercice 14[ 02682 ][correction]
Soientf g∈ L(E)oùEest un espace vectoriel surKde dimension finie. Montrer
que
|rgf−rgg|6rg(f+g)6rgf+rgg

Exercice 15[ 02684 ][correction]
SoitEetFdes espaces vectoriels surKde dimensions finies ou non. Montrer que,
(E×F)?etE?×F?sont isomorphes.

Exercice 16[ 02685 ][correction]
Soita0 a1     andes réels non nuls deux à deux distincts. On noteFj
l’application deRn[X]dansRdéfinie par
aj
Fj(P) =Z0
P
?
Montrer que(F0 F1     Fn)est une base de(Rn[X]).

Exercice 17[ 03148 ][correction]
Soientϕ1     ϕpdes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde dimension
finien>2.
Montrer que la famille(ϕ1     ϕp)est libre si, et seulement si,

∀(λ1     λp)∈Kp∃x∈E∀16j6p ϕj(x) =λj

Exercice 18[ 03286 ][correction]
Caractériser les sous-espacesFd’un espace vectorielEtels que

h−1(h(F)) =h(h−1(F))

Exercice 19[ 00734 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie etGun sous-groupe de GL(E)
d’ordre finin. Montrer
dimg∈\Gker(g−IdE)= 1Xtrg
n
g∈G

Exercice 20[ 02650 ][correction]
On noteVl’ensemble des matrices à coefficients entiers du type
bcabcdda
cdabbcad

etGl’ensemble desM∈Vinversibles dansM4(R)et dont l’inverse est dansV.
a) Quelle est la structure deG?
b) SoitM∈V. Montrer queM∈Gsi, et seulement si,detM=±1.
c) Donner un groupe standard isomorphe àGmuni du produit.

2

Exercice 21[ 02651 ][correction]
a) SoitGun sous-groupe de GLn(R)tel quePtrg= 0. Montrer quePg= 0.
g∈G g∈G
b) SoitGun sous-groupe fini de GLn(R),Vun sous-espace vectoriel deRnstable
par les éléments deG. Montrer qu’il existe un supplémentaire deVdansRn
stable par tous les éléments deG.

Exercice 22[ 02659 ][correction]
Soient des matricesA B∈ Mn(Z)telles quedetAetdetBsont premiers entre
eux.
Montrer l’existence deU V∈ Mn(Z)telles que

U A+V B=In

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Exercice 23[ 02679 ][correction]
Soientf g∈ L(R2)tel quef2=g2= 0etf◦g=g◦f. Calculerf◦g.

Exercice 24[ 02686 ][correction]
a) Soitfune forme linéaire surMn(R)vérifiant

∀A B∈ Mn(R),f(AB) =f(BA)

Enoncés

montrer quefest proportionnelle à la trace.
b) Soitgun endomorphisme de l’espace vectorielMn(R)vérifiantg(AB) =g(BA)
pour toutesA B∈ Mn(R)etg(In) =In. Montrer quegconserve la trace.

Exercice 25[ 02687 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)oùBest nilpotente et commute avecA. Montrer queAet
A+Bsont simultanément inversibles.

Exercice 26[ 02688 ][correction]
Soitωune racine primitivenème de 1. On pose

Fω(P) =√1nnX−1P(ωk)Xk
k=0

pour toutP∈Cn−1[X].
Montrer queFωest un automorphisme deCn−1[X]et exprimer son inverse.

Exercice 27[ 02689 ][correction]
Soientn∈N?,α1     αndes complexes distincts,A=diag(α1     αn)et

C(A) ={M∈ Mn(C) AM=M A}

Montrer que(Ak)06k6n−1est une base deC(A).

Exercice 28[ 02691 ][correction]
SoitAetBdansMn(R)semblables surC. Montrer queAetBsont semblables
surR.

Exercice 29[ 02693 ][correction]
Calculer
a1+x

oùx a1     anréels.

(x)

.
.
.

(x)

an+x

Exercice 30[ 02694 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K)avecAC=CA. Montrer que
detDBAC= det(DA−BC)

Exercice 31[ 02695 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)vérifiant pour toutX∈ Mn(C),

det(A+X) = detA+ detX

Montrer quedetA= 0puisA= 0.

Exercice 32[ 00708 ][correction]
Soit(A B C)∈ Mn(R)3tel que

C=A+B,C2= 2A+ 3BetC3= 5A+ 6B

Les matricesAetBsont-elles diagonalisables.

Exercice 33[ 01948 ][correction]
Trouver les matricesMdeMn(R)vérifiant

trM= 0etM3−4M2+ 4M=On

Exercice 34[ 01956 ][correction]
Soientn>2etA= (aij)16ij6n∈ Mn(R)oùaii+1= 1pouri∈ {1     n−1},
les autres coefficients étant nuls.
a) La matriceAest-elle diagonalisable ?
b) Existe-t-ilB∈ Mn(R)vérifiantB2=A?

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Exercice 35[ 02667 ][correction]
Montrer qu’il existe(a0     an−1)∈Rntel que :

n−1
∀P∈Rn−1[X] P(X+n) +XakP(X+k) = 0
k=0

Enoncés

Exercice 36[ 02681 ][correction]
SoitEun espace vectoriel surKetaun élément non nul deK. Soitf∈ L(E)tel
3
quef−3af2+a2f= 0. Est-il vrai quekerfet Imfsont supplémentaires ?

Exercice 37[ 02690 ][correction]
SoitAetBdes matrices complexes carrées d’ordren. On supposeA+ 2kB
nilpotente pour tout entierktel que06k6n. Montrer queAetBsont
nilpotentes.

Exercice 38[ 02692 ][correction]
Les matrices
12313
3 1 2
2

sont-elles semblables ?

et

1
2
3

3
1
2

2
3
1



Exercice 39[ 02696 ][correction]
SoitA B∈ Mn(R). Montrer queABetBAont mme valeurs propres.

Exercice 40[ 02697 ][correction]
Soit(A B)∈ Mpq(R)× Mqp(R). Montrer que

XqχAB(X) =XpχBA(X)

Indice : Commencer par le cas où
Ir0
A=0 0

Exercice 41[ 02698 ][correction]
a) SiP∈Z[X]est unitaire de degrén, existe-t-ilA∈ Mn(Z)de polynôme
caractéristiqueP?
n
b) Soient(λ1     λn)∈Cn,P=Q(X−λi). On supposeP∈Z[X].
i=1
n
Montrer, siq∈N?, quePq=Q(X−λqi)appartient àZ[X].
i=1
c) SoitPdansZ[X]unitaire dont les racines complexes sont de modules61.
Montrer que les racines non nulles dePsont des racines de l’unité.

4

Exercice 42[ 02699 ][correction]
SoientAetBdansMn(K)(K=RouC).
a) Comparer SpBet SptB.
b) SoitC∈ Mn(K). Montrer que s’il existeλpour lequelAC=λC, alors
ImC⊂ker(A−λIn).
c) Soitλune valeur propre commune àAetB. Montrer qu’il existeC∈ Mn(K),
C6= 0, telle queAC=CB=λC.
d) On suppose l’existence deC∈ Mn(K)avec rgC=retAC=CB. Montrer que
le PGCD des polynômes caractéristiques deAetBest de degré>r.
e) Etudier la réciproque de d).

Exercice 43[ 02700 ][correction]
SoitE=C([01]R). Sif∈E, soit
Z10m t)f(t) dt
T(f) :x∈[01]7→in(x

a) Vérifier queTest dansL(E).
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deT.

Exercice 44[ 02701 ][correction]
Soienta∈R?et
A=10a0a
1a21a

a2
a
0

a) Calculer le polynôme minimal deA.
b) La matriceAest-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.
c) CalculereA.

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Exercice 45[ 02702 ][correction]
Soit(a1     an)∈Cn. La matrice(aiaj)16ij6n ?est-elle diagonalisable

Exercice 46[ 02703 ][correction]
Diagonaliser les matrices deMn(R)
0∙ ∙ ∙0 1
. . .et
01∙∙∙∙∙∙0111

1∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙1

.
.
.
1

0∙ ∙ ∙0
. .
0∙ ∙ ∙0
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

.
.
.
1

Exercice 47[ 02704 ][correction]
Déterminer les valeurs propres de la matrice deMn(R)suivante
1111∙ ∙ ∙)0(1
1.(0)...1

Exercice 48[ 02705 ][correction]
a b

Soita,bdeux réels,A=b a
..
.b∙ ∙.∙
Réduire ces deux matrices.

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
b

b 
.etB=
ab 

b
.
b
a



∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
b

b
a
.
.
.
∙ ∙ ∙

a

b
.
.b

Exercice 49[ 02706 ][correction]
On pose
a2ab ab b2
M(a b) =abbaba22ab22abab
b2ab ab a2
pour tousa bréels.
a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?
b) Etudier et représenter graphiquement l’ensemble des(a b)∈R2tel que
M(a b)ntend vers 0 quandntend vers∞.

Enoncés

5

Exercice 50[ 02707 ][correction]
Soienta b∈R,b6= 0etA∈ Mn(R)la matrice dont les éléments diagonaux
valentaet les autres valentb.A ? Quelles sont les valeursest-elle diagonalisable
propres deA? Quel est le polynôme minimal deA? Sous quelles conditions sura
etb,A ?est-elle inversiblec’est le cas trouver l’inverse de Lorsque A.

Exercice 51[ 02708 ][correction]
Soit
a.0∙.∙ ∙
.
0 .. .
.
.
..a
A=.0

.
.. .b
. .
. .
0. .
b0∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
.
.
.
0b

a+b0
0a
.
.
.
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Quels sont lesP∈C[X]tels queP(A) = 0?

Exercice 52[ 02710 ][correction]
On pose
A=0
01

1
0
1

0.b
.0
.
.
.
..
.∈M2n+1(C)
.
.
..
..0
.0a

00
1

Que dire de cette matrice ? Sans la diagonaliser, déterminer son polynôme
caractéristique, son polynôme minimal, calculerAkpourk∈Net évaluerexp(A).

Exercice 53[ 02711 ][correction]
Soit
0 0
A=000−0011

dansM3(R)polynôme caractéristique et le polynôme minimal de. Déterminer le
A. CalculerexpAetexp(A) exp(tA).

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Exercice 54[ 02712 ][correction]
Soit
1j j2
A=jj2j12j1

Enoncés

Etudier la diagonalisabilité deA, déterminer les polynômes minimal et
caractéristique deA, calculerexpA. Proposer une généralisation en dimensionn.

Exercice 55[ 02713 ][correction]
Trouver lesAdeMn(C)telles que

et trA= 8.

A3−4A2+ 4A= 0

Exercice 56[ 02714 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle que
A3+A2+A= 0

Montrer que rgAest pair.

Exercice 57[ 02715 ][correction]
Trouver lesMdeMn(R)telles quetM=M2et queMn’ait aucune valeur
propre réelle.

Exercice 58[ 02716 ][correction]
Résoudre dansMn(R)le système
(M2+M+In= 0
tM M=MtM

Exercice 59[ 02717 ][correction]
DansR3euclidien, on considère deux vecteursaetb, et on pose
f(x) =a∧(b∧x). A quelle condition,fest-elle diagonalisable ?

Exercice 60[ 02718 ][correction]
SoitA∈R[X],B∈R[X]scindé à racines simples de degrén+ 1. SoitΦ
l’endomorphisme deRn[X]qui àP∈R[X]associe le reste de la division
euclidienne deAPparB. Déterminer les éléments propres deΦ.
L’endomorphismeΦest-il diagonalisable ?

6

Exercice 61[ 02719 ][correction]
Soitfetgdeux endomorphismes d’unC-espace vectorielEde dimension finie
n>1tels quef◦g−g◦f=f.
a) Montrer quefest nilpotent.
b) On supposefn−16= 0. Montrer qu’il existe une baseedeEetλ∈Ctels que :
0 1 (0)
. .
. .
. .
Matef=
(0)...10

et

Mateg=diag(λ λ+ 1     λ+n−1)

Exercice 62[ 02720 ][correction]
Soitn∈N?,u∈ L(R2n+1). On supposeu3=u, tru= 0et tru2= 2n. On note
C(u) =v∈ L(R2n+1)uv=vu

a) Calculer la dimensionC(u).
b) Quels sont lesntels queC(u) =R[u]?

Exercice 63[ 02721 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). On posefA(M) =AM, pour toute matriceM∈ Mn(R).
a) Montrer que siA2=AalorsfAest diagonalisable.
b) Montrer quefAest diagonalisable si, et seulement si,Aest diagonalisable.

Exercice 64[ 02722 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie,f∈ L(E)tel quef2=f.
Etudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l’endomorphisme
u7→f u−ufdeL(E).

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Exercice 65[ 02723 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie etf∈ L(E). On définit
T∈ L(E)→ L(E)par
T(g) =f◦g−g◦f

Enoncés

Montrer que sifest diagonalisable, alorsT ; siest diagonalisablefest nilpotente,
alorsTest nilpotente.

Exercice 66[ 02724 ][correction]
SoitAune matrice carrée réelle d’ordren. Montrer queAest nilpotente si, et
seulement si, pour toutp∈[1 n], trAp= 0.

Exercice 67[ 02726 ][correction]
SoitEun espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E)tel que

u3=Id

Décrire les sous-espaces stables deu.

Exercice 68[ 02727 ][correction]
SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie etf∈ L(E)de polynôme minimal
Πf. Montrer l’existence dex∈Etel que{P∈C[X]P(f)(x) = 0}soit
l’ensemble des multiples deΠf.

Exercice 69[ 02729 ][correction]
Soit la matriceA∈ Mn(R)donnée parA= (min(i j))16ij6n.
a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unitéLet une matrice triangulaire
supérieureUtelle queA=LU.
b) ExprimerA−1à l’aide de
 (0)0 1
. .
. .
. .
N=
(0)...01

c) Montrer que SpA−1⊂[04].

Exercice 70[ 02897 ][correction]
On noteE=C(RR)et on pose, pour toutef∈Eet toutx∈R,
x
T f(x) =f(x) +Zf(t) dt

0
a) L’opérateurTest-il un automorphisme deE?
b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel deEde dimension finie impaire et stable
parT?

Exercice 71[ 03063 ][correction]
SoitEl’espace des fonctionsfde classeC1de[0+∞[versRvérifiantf(0) = 0.
Pour un élémentfdeEon poseT(f)la fonction définie par
x
T(f)(x) =Zf(ttd)t
0

Montrer queTest un endomorphisme deEet trouver ses valeurs propres.

Exercice 72[ 03291 ][correction]
aI) Montrer que, pourz1     zn∈Cavecz16= 0, on a l’égalité

n n
Xzk=X|zk|
k=1k=1

si, et seulement si, il existen−1réels positifsα2     αntels que

∀k>2 zk=αkz1

b) Déterminer toutes les matrices deMn(C)telles queMn=Inet trM=n

Exercice 73[ 03755 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice inversible.
Montrer queAest triangulaire supérieure si, et seulement si,Akl’est pour tout
k>2.
Donner un contre-exemple dans le cas où l’on ne suppose plus la matriceA
inversible.

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Exercice 74[ 03763 ][correction]
Pourn>2, on noteHun hyperplan deMn(K)ne contenant aucune matrice
inversible.
a) Montrer queHcontient toutes les matrices nilpotentes.
b) En déduire que tout hyperplan deMn(K)rencontre GLn(K).

Exercice 75[ 00520 ][correction]
Soientx1 x2  xn+2des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien de dimension
n∈N?.
Montrer qu’il est impossible que

∀i6=j(xi|xj)<0
On pourra commencer par les casn= 1etn= 2

Exercice 76[ 01332 ][correction]
Soientn∈N?,E=Rn[X]et

i=Z0+t)Q(t)e−tdt
hi: (P Q)∈E27→ h PP Q(
a) Justifier la définition dehiet montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
On poseF={P∈E P(0) = 0}. On cherche à déterminerd(1 F). On note
(P0     Pn)l’orthonormalisée de Schmidt de(1 X     Xn).
b) CalculerPk(0)2.
c) Déterminer une base deF⊥que l’on exprimera dans la base(P0     Pn). En
déduired(1 F⊥)etd(1 F).

Exercice 77[ 02666 ][correction]
Montrer l’existence et l’unicité deA∈Rn[X]tel que :
Z01
∀P∈Rn[X] P(0) =A(t)P(t) dt
Montrer queAest de degrén.

Enoncés

Exercice 78[ 02733 ][correction]
Soientc∈R,(Eh i)un espace euclidien de dimensionn>2,v1     vndes
vecteurs unitaires deEdeux à deux distincts tels que :
∀(i j)∈ {1     n}2 i6=j⇒ hvi vji=c
Déterminer une condition nécessaire et suffisante surcpour que(v1     vn)soit
nécessairement liée.

Exercice 79[ 02734 ][correction]
Calculer le minimum deR01(t3−at2−bt−c)2dtpoura b cparcourantR.

Exercice 80[ 02735 ][correction]
Calculer
infZ1t2(lnt−at−b)2dt(a b)∈R2
0

Exercice 81[ 02736 ][correction]
On munitMn(R)du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,
dont on notek kla norme associée. SoitJla matrice deMn(R)dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
SiM∈ Mn(R), calculer(aib)n∈fR2kM−aIn−bJk.

Exercice 82[ 03764 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6n∈ Mn(R). Calculer
M∈iSnfn(R)16iXj6n(aij−mij)2

Exercice 83[ 01330 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle quetAA=AtA. On suppose qu’il existep∈N?tel que
Ap= 0.
a) Montrer quetAA= 0.
b) En déduire queA= 0.

Exercice 84[ 02730 ][correction]
SoitEespace euclidien. Quels sont les endomorphismes deun Etels que pour
tout sous-espace vectorielVdeE

f(V⊥)⊂(f(V))⊥?

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Exercice 85[ 02731 ][correction]
Soitn∈N?. On noteMl’espace vectoriel réelMn(R). On pose

ϕ: (A B)∈ M27→trtAB

a) Montrer queϕest un produit scalaire.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante surΩ∈ Mpour queM7→ΩM
soitϕ-orthogonale.

Exercice 86[ 02738 ][correction]
SoitEun espace euclidien de normekk,udansL(E)etkkL(E)la norme sur
L(E)subordonnée àkk.
a) ComparerkukL(E)etku?kL(E).
b) SikukL(E)61, comparerker(u−Id)etker(u?−Id).
c) SikukL(E)61, montrerE= ker(u−Id)⊕Im(u−Id).

Exercice 87[ 02739 ][correction]
SoitEun espace euclidien etu∈ L(E)tel queu◦u= 0. Montrer

Imu= keru⇔u+u?∈GL(E)

Enoncés

Exercice 88[ 02740 ][correction]
Dans un espace euclidienE, soitf∈ L(E). Montrer que deux des trois propriétés
suivantes entraînent la troisième :
(i)fest une isométrie ;
(ii)f2=−Id ;
(iii)f(x)est orthogonal àxpour toutx.

Exercice 89[ 02741 ][correction]
SoitK∈ C[01]2Rnon nulle telle que∀(x y)∈[01]2 K(x y) =K(y x). On
noteE=C([01]R). Pourf∈E, soit

1
Φ(f) :x∈]→Z0
[01K(x y)f(y)dy∈R

a) Vérifier queΦ∈ L(E).
b) L’applicationΦest-elle continue pourkk∞? pourkk1?
c) Montrer queΦest autoadjoint pour le produit scalaire associé àkk2surE.

Soit
0m6x61Z01|K(x y)|dy−1
Ω = ax
d) Montrer
∀λ∈]−ΩΩ[∀h∈E∃!f∈E h=f−λΦ(f)
e) Siλ∈R?, montrer que :
dim ker(Φ−λId)6λ12Z Z[01]2K(x y)2dxdy

Exercice 90[ 02742 ][correction]
SoitAune matrice antisymétrique deMn(R).
Que peut-on dire deexpA?

Exercice 91[ 02743 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6nune matrice réelle orthogonale. Montrer que

Xaij6n
16ij6n

Exercice 92[ 02744 ][correction]
SoitA∈ On(R). On suppose que 1 n’est pas valeur propre deA.
a) Etudier la convergence de

p1(+1In+A+∙ ∙ ∙+Ap)

lorsquep→+∞.
b) La suite(Ap)p∈N ?est-elle convergente

Exercice 93[ 02745 ][correction]
Soient(a b c)∈R3,σ=ab+bc+ca,S=a+b+cet
a b
M=cbabacc

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a) Montrer :

M∈ O3(R)⇔σ= 0etS∈ {−11}

b) Montrer :
M∈SO3(R)⇔σ= 0etS= 1
c) Montrer queMest dans SO3(R)si, et seulement si, il existek∈[0427]tel
quea betcsont les racines du polynômeX3−X2+k.

Exercice 94[ 02746 ][correction]
SoitJla matrice deMn(R)dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Quelles sont lesAdeOn(R)telles queJ+A ?soit inversible

Exercice 95[ 02747 ][correction]
Soit
M=ACBD∈ On(R)
oùA∈ Mp(R)etD∈ Mn−p(R).
Montrer que
(detA)2= (detD)2

Exercice 96[ 02748 ][correction]
On note(|)le produit scalaire canonique deRn. Pour toute famille
u= (u1     up)∈(Rn)pon pose

Mu= ((ui|uj))16ij6p

Enoncés

a) Montrer que(u1    up)est libre si, et seulement si,Muest inversible.
b) On suppose qu’il existeu= (u1     up)etv= (v1     vp)telles queMu=Mv.
Montrer qu’il existef∈ O(Rn)telle quef(ui) =f(vi)pour touti.

Exercice 97[ 02749 ][correction]
[Transformation de Cayley]
a) SiAest une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres
complexes deA?
b) Soit
ϕ:A∈ An(R)7→(In−A)(In+A)−1
Montrer queϕréalise une bijection deAn(R)sur

{Ω∈ On(R)−1∈Sp(Ω)}

Exercice 98[ 02750 ][correction]
SiM∈ Sn(R)vérifieMp=Inavecp∈N?, que vautM2?

Exercice 99[ 02751 ][correction]
Montrer que le rang deA∈ Mn(R)est égal au nombre de valeurs propres non
nulles (comptées avec leur ordre de multiplicité) detAA.

Exercice 100[ 02757 ][correction]
SoitJla matrice deMn(R)dont tous les coefficient sont égaux à 1. Trouver
P∈ On(R)etD∈ Mn(R)diagonale telles quetP J P=D.

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Exercice 101[ 02758 ][correction]
a) SoitEunR-espace vectoriel,ϕune forme bilinéaire symétrique non dégénérée
surEetfdansL(E)telle que

∀x y∈E,ϕ(f(x) y) =−ϕ(x f(y))

Montrer quefest de rang pair.
b) SiA∈ Mn(R), montrer que le commutant deAdansMn(R)est de
codimension paire.

Exercice 102[ 02926 ][correction]
Soientp q rdes réels et
A=prrpqqrpq
Montrer queAest une matrice de rotation si, et seulement si,p q rsont les trois
racines d’un polynôme de la formeX3−X2+aoùaest à préciser. Indiquer les
éléments de la rotation.

Exercice 103[ 02927 ][correction]
On considère des réelsa b c. On pose
2ab−c ac+b
A=caa−b bc+a c2
ab+c b2bc−a

a)Aquelle conditionAest-elle orthogonale ?
b) Cette condition étant réalisée, reconnaître l’endomorphisme deR3de matrice
canoniqueA.

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