Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Géométrie

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00591 ] [correction] Exercice 7 [ 02921 ] [correction] a) Etudier la courbe SoitC la courbe d’équation polaire( 2 px = 3t r = cos(2θ) 3y = 2t a) TracerC. b) Donner une équation de la tangente et de la normale en M(t). b) Calculer la courbure aux points où elle est définie. c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe. c) l’aire délimitée par la courbeC. Exercice 2 [ 00630 ] [correction] Exercice 8 [ 02930 ] [correction] Donner la nature de la conique d’équation Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par 2 2 2 216x − 24xy + 9y + 25x− 50y = 0 x + 3xy + 2y −x− 2y + 1 = 0 Préciser les sommet, foyer et directrice. Exercice 9 [ 02932 ] [correction] 0 0Soient des réels a,b,a,b . Montrer que les courbes d’équation respectives Exercice 3 [ 01326 ] [correction] 2 0 0 2 0 2 0 233 (ax +by) + (ax +by) = 1 et (ax +ay) + (bx +by) = 1Soient a,b> 0 et Φ l’arc défini par x(t) =a cos t et y(t) =b sin t pour t∈R. a) Tracer Φ. sont isométriques. b) Quelle est la longueur de l’arc? c) Donner le rayon de courbure de Φ et lieu des centres de courbures. Exercice 10 [ 02933 ] [correction] Reconnaître et tracer la courbe d’équation Exercice 4 [ 01562 ] [correction] 2 213x − 32xy + 37y = 5Soient A(1, 0) et B(0, 2) dans un repère orthonormé (Oxy). Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant par A et B, et tangente respectivement à (Ox) et (Oy) en ces points.
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Exercice 1[ 00591 ][correction]
a) Etudier la courbe

(xy=32=tt32

Enoncés

b) Donner une équation de la tangente et de la normale enM(t).
c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.

Exercice 2[ 00630 ][correction]
Donner la nature de la conique d’équation

16x2−24xy+ 9y2+ 25x−50y= 0

Préciser les sommet, foyer et directrice.

Exercice 3[ 01326 ][correction]
Soient >a b0etΦl’arc défini parx(t) =acos3tety(t) =bsin3tpourt∈R.
a) TracerΦ.
b) Quelle est la longueur de l’arc ?
c) Donner le rayon de courbure deΦet lieu des centres de courbures.

Exercice 4[ 01562 ][correction]
SoientA(10)etB(02)dans un repère orthonormé(Oxy).
Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant parAetB, et
tangente respectivement à(Ox)et(Oy)en ces points.

Exercice 5[ 02918 ][correction]
Soitf∈ C1(R+R). Six∈R+, on notePxle point intersection de la tangente au
graphe defau point d’abscissexavecOx.
a) Montrer, si−O−P→xa une limite quandx→+∞que le graphe defa une
asymptote.
b) Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque de a) est fausse.

Exercice 6[ 02920 ][correction]
Calculer la longueur de la courbe d’équation polaire (a >0)

r=a(1 + cosθ)

Exercice 7[ 02921 ][correction]
SoitCla courbe d’équation polaire
r=pcos(2θ)

a) TracerC.
b) Calculer la courbure aux points où elle est définie.
c) Calculer l’aire délimitée par la courbeC.

Exercice 8[ 02930 ][correction]
Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par

x2+ 3xy+ 2y2−x−2y+ 1 = 0

Exercice 9[ 02932 ][correction]
Soient des réelsa b a0 b0Montrer que les courbes d’équation respectives.

2
(ax+by)2+ (a0x+b0y) = 1et(ax+a0y)2+ (bx+b0y)2= 1
sont isométriques.

Exercice 10[ 02933 ][correction]
Reconnaître et tracer la courbe d’équation

13x2−32xy+ 37y25
=

Exercice 11[ 03064 ][correction]
[Astroïde]
a) Etudier et représenter la courbe définie par
(x= cos3t
y= sin3t

b) Trouver le lieu des pointsHtels queHest le projeté orthogonal deOsur la
normale à la courbe en un point donné

Exercice 12[ 02935 ][correction]
Reconnaître la surface d’équation

2
z=x2−y

1

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Exercice 13[ 02936 ][correction]
Soitaun réel. Déterminer la surface balayée par les droites parallèles au plan
y+z= 0qui coupent les droites

{x+y=a;z= 0}et{z=a;x= 0}

Exercice 14[ 02937 ][correction]
Reconnaître et réduire la quadrique d’équation :

2x2+ 2y2+z2+ 2xz−2yz+ 4x−2y−z+ 3 = 0

Exercice 15[ 02938 ][correction]
Reconnaître, siα∈R, la quadrique d’équation :

x2+ 3y2−3z2−4xy+ 2xz−8yz+αx+ 2y−z= 1

Exercice 16[ 03202 ][correction]
Montrer que la surface d’équation

13x2+ 10y2+ 5z2−4xy−6xz−12yz−14 = 0

est un cylindre dont on précisera l’axe et le rayon.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(−t)etM(t)sont symétriques par rapport à(Ox).
Etude limitée à[0+∞[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe
(Ox)

(xy00((tt6=)6=)tt2

(xy00((tt)0=)=0⇔⇔tt0==0

t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)

0
0
0
0
0
?

+
%
%
+
+

+∞

+∞
+∞

Etude ent= 0
(yx((tt=)3)0=tt222+0+tt33
3 0
~
p= 2,q= 3,u~,v2
0
M(0)est point de rebroussement de première espèce avec tangente horizontale.
Etude quandt→+∞
xy((tt))→+∞etx(t)→+∞
Il y a une branche parabolique verticale.
plot([3*tˆ2, 2*tˆ3, t=-5..5], view=[-1..4 -4 .4]);
, .

La courbex= 3t2 y= 2t3

3

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b) Pourt6= 0, la tangenteDtenM(t)a pour équation

soit

−t2(x−3t2) +t(y−2t3) = 0

tx−y=t3

Pourt6= 0, la normaleNtenM(t)a pour équation

soit

t(x−3t2)−t2(y−2t3) = 0

tx−t2y= 3t3−2t5

Ces équations sont encore valables pourt= 0.
c) La tangenteDtnormale à la courbe au pointest M(τ)si, et seulement si,
(3tτ2−2τ3=t3
tτ+t2τ2= 0

ce qui traduitM(τ)∈ Dtet l’orthogonalité des tangentes enM(t)etM(τ).
Sit= 0alorsτ= 0mais le couple(00)n’est pas solution.
Sit6= 0alorsτ6= 0etτ=−1tpuis3t+t23=t3d’où(t2+ 1)2(t2−2) = 0
ce qui donnet=√2√−2.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
La matrice−2161−912a pour valeurs propres0et25.
Posons~u=53~i+54j~etv~=−54i~+35~jvecteurs propres unitaires associées à ces
valeurs propres.
Dans le repère orthonorméR= (O;~u~v)l’équation deΓest

soit encore

25y2−50y−25x= 0

(y−1)2=x+ 1

−1
Γest la parabole de sommetSd’axe f~ramètrep= 12.
1, ocal(S;u)et de pa
e parv.
Le foyer estF=S+12~uet la directrice passe parK=S−21~uet est dirigé~

Exercice 3 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR
.
M(t+ 2π)etM(t)sont confondus.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox)
M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy)
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π2]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries d’axe(Oy)puis(Ox).
Tableau des variations simultanées
(x0(t) =−3asintcos2t
y0(t) = 3bcostsin2t

t0π2
x0(t) 0−0
x(t)a&0
y(t) 0%b
y0(t) 0 + 0
m(t) ?− −1

Etude ent= 0
Quandt→0
3
yx((tt)=0=)at−2+attb230++o(tt33)+o(t3)
2

−1 0
p= 2,q= 3,~uetv.
~
01
La tangente est horizontale et il y a point de rebroussement de première espèce.
Etude ent=π2.
On obtient une tangente verticale et un point de rebroussement de première
espèce.
L’allure deΦest celle d’une astroïde transformée par affinité.
b) On a
ddts= 3|costsint|pa2cos2t+b2sin2t

donc

Zπ2
L cos= 12tsintpa2cos2t+b2sin2tdt
0

Sia=balorsL= 6a.
Sia6=balors pour fixer les idées, supposonsa > b.

4

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Puisque√a2cos2t+b2sint2=p(a2−b2) cos2t+b2et puisque
(cost)20=−2 sintcost, on a

L=a2−4b2h(a2−b2) cos2t+b232i0π2= 4aa32−−bb23

et cette relation est encore valable sia < b.
c) Calculons la courbure en un point régulier de paramètret∈]0 π2[. La
courbure en les autres points se déduira par symétrie.
~ ~
Les vecteursTetNde la base de Frént sont

asint bcost

T~pacbcso2ostt+b2sin2tetNpa2cosa2stni+bt2sin2t
2~
pa2cos2t+b2sin2tpa2cos2t+b2sin2t

~
La relationdT=γN~permet de calculerγ. On obtient
ds

−ab
γ=a2cos2t+b2sin2t

Les centres de courbures sont donnés par

~
I(t) =M(t) +γ(1t)N(t)

Exercice 4 :[énoncé]
SoitPune parabole solution. Une équation cartésienne dePest de la forme

ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey=k

Corrections

avecac−b2= 0carPest une conique dégénérée.
Puisque les tangentes(Ox)et(Oy)sont sécantes enO, la parabolePne passe pas
Oet donck6= 0. En divisant les coefficients inconnusa b c d epark, on peut
supposerk= 1.
PuisqueA∈ P, on a
a+ 2d= 1

Par dédoublement, la tangente enAàPa pour équation

ax+by+d(x+ 1) +ey= 1

Cette droite correspond à l’axe(Ox)si, et seulement si,
d= 1
ba++ed6=0=0

On en déduita=−1etd= 1.
L’étude similaire enBdonne
4c+ 4e= 1
2ce+=e1=02
2b+d6= 0
On en déduitc=−14ete= 12.
Enfin la conditionac−b2= 0donneb=±12.
Orb+e6= 0(ou2b+d6= 0) imposeb6=−12et il resteb= 12.
Au final
P:−x2+xy−41y2+ 2x+y= 1
Inversement, cette parabole est solution.

Exercice 5 :[énoncé]
a) L’abscisse dePxestx−f(x)f0(x). L’hypothèse posée signifie donc
−−→`∈R
x−f(x)f0(x)x−→−+∞

Ainsi, on peut écrire
f(x)f0(x) =x−`+o(1)
Pourx→+∞,x−`+o(1)→+∞et donc, il existea∈R+, tel quef(x)6= 0
pour toutx>a.
On peut alors passer à l’inverse et écrire
1
f(x)x`x2+ox12
f0(x) = +

puis en intégrant deaàxon obtient
ln|f(x)| −ln|f(a)|= lnx−lna−`x+`+Zaxot12dt
a

Or

Zxaot12dt=Za+∞ot12dt−Zx+∞ot12dt

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Corrections

et
Zx+∞ot12dt=oZx+∞td2t=o1x
donc la relation précédente donneln|f(x)|= lnx+Cte−`x+ox1
puis|f(x)|= eCxe−`x+o(1e=)Cx1−x`+ox1.
x
Enfin puisquefest de signe constant sur[a+∞[(car continue et ne s’annulant
pas), on obtient une relation de la formef(x) =αx+β+o(1)qui donne la droite
d’équationy=αx+βasymptote à graphe defen+∞.
b) Considéronsf(x) =x+sinx x. La droite d’équationy=xest asymptote au
x x2cosx−2xsinx
graphe defen+∞etx−ff0((xx))=x−x2+xx3c+oxs sxin−sinx=x2+xcosx−sinx.
−−→−1.
Pourx= 2nπ,x−ff0((xx))−n−∞→1et pourx= (2n+ 1)π,x−ff0((xx))n∞
Ceci fournit un contre-exemple.

Exercice 6 :[énoncé]
On ar0(θ) =−asinθdonc

puis

ds θ
cos
dθ= 2a2

L= 2Z−ππacos2θdθ=Z−ππaoc2sθdθ= 8a

Exercice 7 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) =√cos 2θest définie et continue sur les intervalles
[−π4 π4] +kπaveck∈Z.
La fonctionrest de classeC∞sur les intervalles]−π4 π4[ +kπaveck∈Z.
r(θ+π) =r(θ)doncM(θ+π)est l’image du pointM(θ)par la symétrie de
centreO.
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est l’image du pointM(θ)par la symétrie d’axe(Ox)
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries de centreOet d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

Etude enθ= 0.
r(0) = 1etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.

0
1

&

π4
0

Etude enθ=π4.
r(π4) = 0il s’agit d’un passage par l’origine.,

θ π4
r(θ 0) +

||

Il y a une demi-tangente enM(π4) =Oqui est la droite d’équation polaire
θ=π4.
plot([sqrt(cos(2*t)), t, t=0..2*Pi], coords=polar, numpoints=200,
xtickmarks=3, ytickmarks=3);

Lemniscate de Bernoulli b) On a

ds1
=
dθ√cos 2θ

Une détermination angulaireαs’obtient parα=θ+V
(cosV=−sin 2θ
sinV 2= cosθ

avec

6

π
V=2π+ 2θconvient puisα= + 3θ.
2
On en déduit
dαdαdθ
γ=dsdθds= 3√cos 2θ
=
c) L’aire délimitée parCpeut-tre calculée par une intégrale curviligne en prenant
soin de considérer un parcours en sens direct de la courbe.

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Corrections

Pourθallant de−π4àπ4, la boucle de droite est parcourue en sens direct et
par considération de symétrie
π4
A=IΓ21r2dθ= 2Zπ4cos 2θdθ= 1

Exercice 8 :[énoncé]
La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres3±2√10. C’est une
conique à centre.
2
Par annulation des dérivées partielles, le centre estΩ1.

On obtient l’équation réduite
√10−3x2−3 +√1021
2 2y=
La conique étudiée est une hyperbole.

Exercice 9 :[énoncé]
Les deux courbes sont des coniques.
Pour réduire la première, on étudie la matrice
aba2++aa00b20bab2++ba002b0

Son polynôme caractéristique est
X2−2X(a2+a02+b2+b02) + (ab0−a0b)2

La réduction de la deuxième conique conduit au mme polynôme caractéristique.
Il existe donc deux repères orthonormés d’origineOdans lesquels ces deux courbes
sont définies par la mme équation réduite. Ces courbes sont donc isométriques.

Exercice 10 :[énoncé]
On réduit la matrice−3116−6137de valeurs propres 5 et 45.
C’est une conique à centre
~
~
Pouru=√51(2i+j~)etv~=√51(i~−2~j), dans le repère(O;~uv~)la courbe a pour
équation :
x2+ 9y2= 1
On reconnaît une ellipse d’axe focal(O;u)déterminée para= 1etb= 13.

Exercice 11 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(t+ 2π)etM(t)sont confondus.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox)
M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy)
M(π2−t)est le symétrique deM(t)par rapport à la droitΔ :y=x.
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries d’axeΔ,(Oy)puis(Ox).
Tableau des variations simultanées

Etude ent= 0
Quandt→0

(x0(t) =−3 sintcos2t
y0(t) = 3 costsin2t

t0
x0(t) 0
x(t) 1
y(t) 0
y0(t) 0
m(t) ?

π4
− −3√8
&2−32
%2−32
+ 3√8
− −1

1−3
x(t 2) =t2+ 0t3+o(t3)
y(t) = 0t2+t3+o(t3)

2 0
p= 2,q= 3,u~0−3et~v
.
1
La tangente est horizontale et il y a point de rebroussement de première espèce.
plot([cos(t)ˆ3, sin(t)ˆ3, t=0..2*Pi]);

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Corrections
C’est le point de coordonnées
cos(t)
(xy00=c=−((2soosct2)t) sin(t)
Le lieu des pointsHapparaît alors comme étant la courbe d’équation polaire

L’astroïde b) En un point régulierM(t)la normale étant la droite perpendiculaire
enM(t)à la tangente en ce point qui est dirigée par le vecteur vitesse, cette
droite à pour équation
x0(t) (x−x(t)) +y0(t) (y−y(t)) = 0

Après simplification, on obtient l’équation

−cos(t)x+ sin(t)y+ cos(2t) = 0

et cette équation est encore valable lorsque le pointM(t)n’est par régulier.
Le projeté orthogonal du pointOsur cette droite est un pointHde coordonnées
(x0 y0)vérifiant
−cos(t)x0+ sin(t)y0+ cos(2t0) = 0
∃λ∈Rxy00!=−csosintt!
λ

r= cos(2t)

r(t+π) =r(t),r(−t) =r(t)etr(π2−t) =−r(t).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]et l’on complète la courbe par :
- la symétrie orthogonale par rapport à la perpendiculaire à la droite d’équation
θ=π4;
- la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses ;
- la symétrie de centreO.
Le tableau de variation de la fonctionrest

t
r(t)

0
1

&

π4
0

8

Enθ= 0
r(0) = 1 r0(0) = 0, il y a une tangente orthoradiale.
Enθ=π4
r(π4) = 0, il y a passage par l’origine, la tangente est la droite d’équation polaire
θ=π4.

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La courbe d’équation polairer= cos(2θ)

Exercice 12 :[énoncé]
C’est un paraboloïde hyperbolique.

Corrections
La droite(AB)est alors déterminée par le paramétrage
x=−λt
zy==a−t+−aλaλavecλ∈R
Par élimination, la surface balayée par les droites(AB)est celle d’équation
(z−a)(y+z−a)−ax= 0
C’est l’équation d’un paraboloïde hyperbolique.
Exercice 14 :[énoncé]
Soit
0 1
0 2−1
A=12−1 1
SpA={023}.
Soientu=√21(i+j),v=√31(i−j+k)etw=√16(−i+j+ 2k).
Dans le repère orthonormé(O;u v w), l’équation de la quadrique est :
+√2x+ 5
2x2+ 3y2√3y+√86z+ 3 = 0
Après translation d’origine, c’est un paraboloïde elliptique.

Exercice 13 :[énoncé]
SoientAetBdeux points parcourant les droites proposées :A(t a−t0)et
BO(n0at0A−a→B).(−t t+t0−a a). La droite(AB)est parallèle au plany+z= 0si, et
seulement si,t+t0= 0.

Exercice 15 :[énoncé]
Soit
−121−−432−−413
A=
SpA={−506}
Soientu=√16(i−2j+k),v=√15(j+ 2k),w=√103(5i+ 2j−k).
Dans le repère orthonormé(O;u v w), l’équation de la quadrique est :
5−α
6x2−5y2√6x+√6+1(03α)z= 1

Siα6=−1, on obtient un paraboloïde hyperbolique.
Siα=−1, on obtient un cylindre de base la conique d’équation
6x25y2√−6x= 1

qui après réduction est une hyperbole.

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Exercice 16 :[énoncé]
La surface étudiée est une quadrique et la forme quadratique associée a pour
matrice dans la base canonique
2−3
−2 10−6
A=−313−−6 5

Après réduction, on obtient

SpA={014}

et la forme quadratique a pour matrice
0 0
0 14
0 0

0
0
14

dans la base orthonormée(u~v~w~)avec
u~=√141i~+ 2~j+ 3~k,~v=√1(26i~−j)etw~=√13(06~~k~)
i+ 6j−5

Dans le repère(O;w~v~~u), la surface a pour équation

y2+z2= 1

et c’est donc un cylindre d’axe(O;~u)et de rayon 1.

Corrections

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