TD n°1 Macro dynamique

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TD n°1 Macro-dynamique Place des modèles à générations imbriquées dans la dynamique économique Le modèle de Solow dans lequel est développé l'offre via la fonction de production. Le côté demande, c'est-à-dire le comportement de l'agent, est donné par un taux d'épargne exogène. Si l'on suppose pour simplifier qu'il n'y a pas de dépréciation du capital, l'équation dynamique fondamentale de l'évolution du capital est donnée par : ? ?. .t t tDk s f k n k? ? A l'état régulier on sait que 0tDk ? . La solution est telle que : * *. .t ts f k n k? ? ?? ? En prenant une fonction de production Cobb-Douglas ? ?t tf k Ak?? (0.1) on obtient : 1 1*. . d'où kt t Ass Ak n k n ?? ?? ?? ? ? ?? ? Ici le taux d'épargne est bien exogène. Le modèle de Ramsey reprend le modèle de Solow en développant le comportement de demande de l'agent. Il s'agit d'un agent représentatif à durée de vie infinie. L'agent possède une fonction d'utilité inter-temporelle qui est une somme des utilités (critère utilitariste) On va supposer que l'agent a une fonction d'utilité logarithmique.

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  • générations imbriquées dans la dynamique économique

  • expression de l'épargne

  • ?? ?

  • contrainte budgétaire

  • hausse des taux d'intérêt

  • revenu

  • ?? ?


Publié le : mardi 19 juin 2012
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TD n°1 Macro-dynamique
Place des modèles à générations imbriquées dans la dynamique économique
Le modèle deSolowdans lequel est développé l’offre via la fonction de production. Le côté demande, c'est-à-dire le comportement de l’agent, est donné par un taux d’épargne exogène.Si l’on suppose pour simplifier qu’il n’ya pas de dépréciation du capital, l’équation dynamique fondamentale de l’évolution du capital est donnée par:
A l’état régulier on sait que
La solution est telle que :
.
En prenant une fonction de production Cobb-Douglas
on obtient :
Ici le taux d’épargne est bien exogène.
(0.1)
Le modèle deRamseyreprend le modèle de Solow en développant le comportement de demande de l’agent.Il s’agit d’un agent représentatif à durée de vie infinie. L’agent possède une fonction d’utilité inter-temporelle qui est une somme des utilités (critère utilitariste)On va supposer que l’agent a une fonction d’utilité logarithmique. Il va donc chercher à maximiser:
Sous la contrainted’accumulation d’un actif :
Les actifs par tête augmente avec le revenu par tête (revenu du travailwet revenu du capitalr.a) et baisse avec la consommation par têtecet l’augmentation de la populationn.a.
Le Hamiltonien est :
Les conditions d’optimalité sont:
De (0.2) on en tire que :
De (0.3) on tire que :
Finalement :
(0.2)
(0.3)
(0.4)
(0.5)
(0.6)
(0.7)
A l’état régulier (puisqu’il n’y a pas de progrès technique).  (0.8) Sans dépréciation du capital et avec la fonction de production (0.1), on obtient :
Le modèle àgénérations imbriquées supposel’existence d’une demande (comme chez Ramsey et contrairement à Solow) des agents ayant une durée de vie finie, (contrairement au modèle de Ramsey). Deux grands types de modèles peuvent être développés.
Le modèle àgénérations imbriquées égoïstes: les agents maximisent leur utilité dans laquelle n’intervient que l’utilité qu’ils retirent de leur consommation lors de leurs différentes périodes de vie. Le modèle àgénérations imbriquées altruistes: les agents intègrent dans leur fonction d’utilité une partie de l’utilité de leurs descendants. Dans le cas où les agents sont parfaitement altruistes le modèle à générations imbriquées est équivalent au modèle de Ramsey.
Les agents dans le modèle à générations imbriquées égoïstes
Les Consommateurs :
Un agent vit 2 périodestett + 1. Il est `"jeune"' entet vieux ent + 1. Lorsqu'il est jeune, il travaille et obtient le revenu qu'il choisit de partager entre consommationet épargne . Lorsqu'il est vieux ent + 1il consomme uniquement le revenu issue de son épargne de la période précédente augmentée des intérêts dont le taux est .
Ainsi ses contraintes budgétaires sont :
A la périodet:
A la périodet+1:
(0.9)
(0.10)
Dans l’expression des contraintes budgétaires on a: i) à gauche le revenu de l’agent (les ressources), ii) à droite l’utilisation du revenu (les emplois).
La contrainte budgétaire inter-temporelle :
De ces contraintes à chaque période, il est possible d’extraire une contrainte budgétaire inter-temporelle. Il suffit de déterminer l’expression de l’épargne à partir de(0.9) puis de remplacer dans (0.10). Puis en divisant chaque terme de l’égalité paron obtient alors :
(0.11)
A droite de l’égalité on a lasomme des consommations actualisé à la périodet. A gauche on a le revenu de la périodet. On aurait pu écrire également :
 (0.12) Dans ce cas on a à gauche le revenu actualisé à la périodet+1à droite la somme des et consommations actualisées à la périodet+1.
Représentation graphique de la contrainte budgétaire inter-temporelle :
Fig.1. Contrainte budgétaire inter-temporelle
Quelques remarques sur la contrainte budgétaire inter-temporelle :
Le revenu de l’agent peut évoluer ainsi que le taux d’intérêt:
Une hausse du revenu du travail déplace parallèlement la contrainte budgétaire vers le nord est. On comprend bien que toute augmentation du revenu permet d’accroître la consommation présente et la consommation future .
Fig.2. Effetd’une augmentation dusalairede l’agent
Une hausse du taux d’intérêt va faire pivoter la contrainte budgétaire de l’agenteffet, lorsque le. En taux d’intérêt augmente (toutes choses étant égales par ailleurs) l’agent voit augmenter son revenu de la deuxième période (à épargne inchangée).Ainsi, il peut avoir un même niveau de consommation future en épargnant moins. Il peut augmenter sa consommation présente et sa consommation future dès lors que son épargne est positive.
Fig.3. Effet d’une hausse du taux d’intérêt
La fonction d’utilitéde l’agent :
On suppose que la fonction d’utilité est logarithmique. L’utilité d’une période issue de la consommation est donc. Comme l’agent vit deux périodesson utilité est donc la somme
des utilités pondérées par la préférence pour le présent. Ainsi la fonction d’utilité sur deux périodes sera :
Le terme
est la préférence pour le présent.
(0.13)
Comme la fonction d’utilité représente l’utilité des agents durant toute une vie, chaque période représente une durée de l’ordre de 35 ans. 35 ans de travail quand on est jeune, 35 de retraite lorsqu’on est vieux.
Quel choix pour le paramètre la préférence pour le présent ?
Pour passer d’une préférence pour le présent annuel à une préférence pour le présent surTpériodes on utilise la relation suivante :
Si la préférence pour le présent est de 2% et que le modèle considère des périodes de 37 ans alors la calibration de du modèle sera :
Le programme d’optimisation de l’agentégoïste :
Nous sommes dans un modèle à information parfaite. Les agents connaissent non seulement le salaire de la périodetmais égalementla valeur du taux d’intérêt futur( ) !
L’agent va choisir le montant de son épargnede façon à maximiser (0.13) sous la contrainte (0.11). En pratique, on va remplacer les expressions des consommations par leur expression en fonction de l’épargne. Le programme est alors:
La condition du premier ordre est :
On en tire :
(0.14)
(0.15)
Représentation graphique :
(0.16)
On a donc un lien entre le rapport des consommations et le taux d’intérêt et la préférence pour le présent. En remplaçant l’expression deon obtient :par ,
En remplaçant l’expression de la consommation des jeunes en fonction de l’épargne dans la contrainte de la périodet, on obtient :
Remarque :
L’épargne dépend du revenu de la périodetmais pas du taux d’intérêt.Pourquoi ?
(0.17)
(0.18)
On a utilisé une fonction d’utilité logarithmique dont on sait que les effets de substitution et de revenu se compensent exactement. L’effet de revenu fait que l’agent se sent plus riche lorsque le taux d’intérêt augmente. Il va donc chercher à augmenter sa consommation présente et sa consommation future; En revanche l’effet de substitution fait que l’agent va consommer plus de biens dont le « prix » est moins cher et moins de bien donc le prix est « élevé ». Comme une augmentation du taux d’intérêt fait pivoter la contrainte budgétaire inter-temporelle, on peut voir fig.3 que le prix relatif de la consommation future est moins élevé (il peut en avoir plus avec un même revenu). Ainsi, il va y avoir une diminution de la consommation présente au profit de la consommation future.
Avec la fonction d’utilité logarithmique, lorsqu’on combine additionne l’effet de revenu et l’effet de substitution, la consommation future augmente et la consommation présente ne change pas. Donc l’épargne (qui est la part non consommée du revenu) ne change pas.
En remplaçant (0.18) dans (0.9) on trouve la consommation des jeunes :
Et en remplaçant (0.18) dans (0.10) on obtient :
Les agents dans le modèle à générations imbriquées altruistes
(0.19)
(0.20)
Les agents altruistes tiennent compte de lutilité de leurs descendants. Ainsi, on leur offre la possibilité de transmettre sous forme dhéritage des actifs pour leur permettre de consommer plus.
Les contraintes budgétaires d'un agent né en t sont :
- quand il est jeune :
- quand il est vieux :
Sa fonction d'utilité est :
(0.21)
(0.22)
(0.23)
, les conditions du premier ordre sont
(0.26)
 et les conditions du premier ordre sont
De façon équivalente, en substituant les contraintes dans la fonction objectif :
Ce programme comportant une contrainte inégalitaire celles de Khun-Tucker :
Ces conditions permettent de tirer les trois propriétés suivantes :
simplement :
est une fonction log
(0.25)
Pour résoudre explicitement le problème nous allons supposer par la suite que la fonction d’utilité
(0.24)
soit
, alors
(0.27)
De (0.26)
De (0.27)
De (0.26) et (0.27)
(0.28)
(0.29)
(0.30)
En introduisant ces conditions du premier ordre (à l’égalité) dans lescontraintes (0.21) et (0.22) on trouve facilement lépargne de lagent :
(0.31)
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