PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Annexe 1. Fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes 1 Généralités Soit I un intervalle de R et f : I ? C. On note Re f (partie réelle de f) et Im f (partie imaginaire de f) les fonctions définies par : Re f : I ? R x 7? Re(f(x)) et Im f : I ? R x 7? Im(f(x)) On a donc ?x ? I, f(x) = Re(f(x)) + i Im(f(x)) L'étude de f se ramnène à celle de ses parties réelle et imaginaire. Exemple. Soit f : R? C définie par f(x) = eix = cos(x)+i sin(x). Alors Re(f) = cos et Im(f) = sin. Considérons deux fonctions f et g de I vers C. • f = g si et seulement si Re f = Re g et Im f = Im g. • La fonction conjuguée f¯ de la fonction f est définie par f¯ = Re f ? i Im f . • La fonction module |f | de la fonction f est définie par |f | = √ (Re f)2 + (Im f)2.

• règles de calcul des dérivées


• exposants complexes avec la notation


• notation ?z ?


• eat cos


• az ?

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Lycée Brizeux

Annexe 1. Fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes

1 Généralités

SoitIun intervalle deRetf:I→C. On noteRef(partie réelle def) etImf(partie imaginaire de f) les fonctions définies par : Ref:I→RImf:I→R et x7→Re(f(x))x7→Im(f(x)) On a donc ∀x∈I, f(x) = Re(f(x)) +iIm(f(x)) L’étude defse ramnène à celle de ses parties réelle et imaginaire.

ix Exemple.Soitf:R→Cdéfinie parf(x) =e= cos(x) +isin(x). AlorsRe(f) = cosetIm(f) = sin.

Considérons deux fonctionsfetgdeIversC. •f=gsi et seulement siRef= RegetImf= Img. ¯ ¯ •La fonction conjuguéefde la fonctionfest définie parf= Ref−iImf. p 2 2 •La fonction module|f|de la fonctionfest définie par|f|= (Ref(Im) +f).

2 Propriétésanalytiques 2.1 Limiteet continuité Soitf:I→Cetx 0 ∈I. On dit quelimf(x) =a∈Clorsque : x→x 0 lim Ref(x) = Re(a)etlim Imf(x) = Im(a). x→x 0 x→x 0 Nous avonslimf(x) =asi et seulement silim|f(x)−a|= 0. x→x 0 x→x 0 La fonctionfestcontinueenx 0 si et seulement si les fonctionsRefetImfle sont.

2.2 Dérivabilité Soitf:I→Cetx 0 ∈I. On dit quefest dérivable enx 0 lorsqueRefetImfle sont. On définit 0 00 alorsf(x 0 ) = Re(f(x 0 )) +iIm(f(x 0 )). Sifest dérivable surI, on a : 0 00 ∀x∈I, f(x) = (Ref) (x) +i(Imf) (x). ix Exemple.Soitf:R→Cdéfinie parf(x) =e. Alorsfest dérivable surRet 0 f(x) =−sin(x) +icos(x).

Remarque.Evidemment, il n’est pas question de monotonie pour les fonctions à valeurs complexes.

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