TIPE Les mathematiques derriere la compression du son

Yoann Potiron

Description

Niveau: Supérieur
TIPE : Les mathematiques derriere la compression du son Yoann Potiron (L2 Mathematiques) 15/06/2009

• codage de huffmann


• principe de l'algorithme de transformation


• retour sur la transformation de fourier discrete


• signal analogique


• frontiere des mathematiques appliquees


• transformee de fourier


• transformee de fourier rapide


• proprietes de l'ouıe et du cerveau pour reduire

Sujets

• Rapide
• Fourier
• Discrete
• Potiron
• Transform
• Transformée de Fourier
• Transformée de Fourier rapide

Informations

• Publié par: zauj
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 98
• Langue: Français

Extrait

TIPE

:

Les

math´ematiques

Yoann

derrie`re

la

compression

Potiron(L2Math´ematiques)

15/06/2009

du

son

Tabledesmati`eres

Introduction 2 1Transforme´edeFourier4 1.1S´eriesdeFourier.....................................4 1.2 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ´ 1.3Transform´eedeFourierDiscre`te.............................6 2 Echantillonage du son 7 2.1Crit`eredeNyquistetThe´or`emedeShannon......................7 2.2 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1Leproce´de´....................................10 2.2.2Erreurdue`alaquantification..........................10 2.2.3 Quantification non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Et le cerveau dans tout ca ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ¸ 3 Compression 13 3.1 Compression psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.2Lesdiffe´rentese´tapes..............................14 3.1.3 Le masking : le principe du codage psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.4Quesepasse-t-ilmath´ematiquement?.....................14 3.1.5Stockerlesdonn´ees:Commentcelafonctionne?...............16 3.2 Compression entropique et codage de Huffmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.3Application`al’audio...............................19 4Transforme´edeFourierRapide20 4.1 Introduction ` ontrons-nous la FFT ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 : ou renc 4.2RetoursurlaTransformationdeFourierdiscr`ete...................21 4.3 Principe de l’algorithme de transformation de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . 22 4.4AlgorithmedeTFR:entrelacementfr´equentiel....................24 4.4.1S´eparationentrelesmodespairsetlesmodesimpairs............24 4.4.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4.3Nombred’op´erations...............................29 4.5 Un exemple d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5.1Approchemathe´matique.............................29 4.5.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Conclusion 33

1

Introduction

Nous allons commencer par une petite introduction au son numerique. ´ Toutd’abord,qu’est-cequeleson(d´efinitionunpeubrute)? Lesonestunevibrationdel’air,c’est-a`-direunesuitedesurpressionsetded´epressionsdel’air parrapporta`unemoyenne,quiestlapressionatmosph´erique.D’ailleurs,pours’enconvaincre,il suffitdeplacerunobjetbruyant(unre´veilparexemple)dansuneclochea`videpours’apercevoir quel’objetinitialementbruyantn’´emetplusunseulsonde`squ’iln’estplusentoure´d’air! Lafac¸onlaplussimpledereproduireunsonactuellementestdefairevibrerunobjet.Decette fac¸onunviolon´emetunsonlorsquel’archetfaitvibrersescordes,unpianoe´metunenotelorsque l’on frappe une touche, car un marteau vient frapper une corde et la faire vibrer. Etalors,c’estquoilesonnume´rique? D’unemani`erege´n´erale,onappellesignalanalogiqueunsignalproduitparundispositif me´caniqueoue´lectronique.Dansuntelsignal,lavariableestletempsquis’e´couledemani`erecon- tinue.Ilyaa`peinequelquesdizainesd’anne´es,toutechaıˆnedeproductionsonoree´taitentie`rement analogique:parexemple,lesonproduitparlesmusiciens,lesignale´lectriqued´elivr´eparlesmi- cros,lesignaltransmisparondeshertziennesougrav´esurundisquedevinyle,lesignalre¸cu etamplifie´parvotrechaˆıneHi-Fietfinalementlesonfourniparlehaut-parleur,sonttousdes signaux analogiques. Avec la formidable augmentation de la puissance des ordinateurs est apparu un nouveau maillon danscettechaˆıne:lesonnume´rique.Unefoiscapte´parlemicro,lesonesttransforme´enunesuite denombresbinaires(forme´sde0etde1),quisonttransmis,stocke´sougrav´essouscetteforme. Gr`ace`acettedernie`re,lessonsmusicauxpeuventˆetrestocke´ssurvotreordinateur,transforme´s parlesinge´nieursduson(ouparvous-meˆme,quandvousvoulezentendrelesaigusoualorsmettre plusdebasse),´ecoute´ssurvotret´ele´phoneportableousurvotrebaladeur,e´chang´essurInternet... Oncomprendtr`esvitepourquoilamusiqueestaujourd’huidavantagepre´sentesousformede signaux´electriquesnum´erise´s,circulantdansdescaˆblesettraite´spardesordinateurs,quesoussa forme acoustique originelle. Alafrontie`redesmathe´matiquesapplique´es,delaphysique(plusparticulie`rementdelapsy- choacoustique)etdel’informatique,ceTIPEvatraiterdelanum´erisationetdelacompression du son. Dansunpremiertemps,nousallonsparlerdeJosephFourieretdedeuxdesesde´couvertesqui portentsonnom,lesse´riesdeFourieretlatransform´eedeFourier. Dansunsecondtemps,nousallonsnousinte´resserauxdeuxop´erationsessentiellesqu’asubi unsignalnum´erique.Cederniera´ete´eno´nitllhcnae´urs`ateisnscolace:elavselrevele´rps n = s(t n ) dusignalanalogique`adesinstantsr´egulie`rementespace´st n =τ no,u`τlaeel´pedeioerp´patse d’e´chantillonnage.Parailleurs,lese´chantillonss n ntot´´eee´suaqifint`aapprocheret:ecalocsnsiet remplacercesnombresre´elss n vuepiuq,elisicamdee´´tdenfiniuneivoirentases,lerdpatonsabck nombresr n pris dans un ensemble fini comportant L = 2 b valeurs possibles. Ces nombresr n sont alorscode´ssurbbitspourˆetrestocke´soutransmis.Enqualit´eaudio,onutilisege´ne´ralementun codage sur 16 bits, soit 2 octets.

2