TIPE Les mathematiques derriere la compression du son

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01 juin 2009

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TIPE : Les mathematiques derriere la compression du son Yoann Potiron (L2 Mathematiques) 15/06/2009

codage de huffmann

principe de l'algorithme de transformation

retour sur la transformation de fourier discrete

signal analogique

frontiere des mathematiques appliquees

transformee de fourier

transformee de fourier rapide

proprietes de l'ouıe et du cerveau pour reduire

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TIPE

Les

math´ematiques

Yoann

derrie`re

compression

Potiron(L2Math´ematiques)

15/06/2009

son

Tabledesmati`eres

Introduction 2 1Transforme´edeFourier4 1.1S´eriesdeFourier.....................................4 1.2 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ´ 1.3Transform´eedeFourierDiscre`te.............................6 2 Echantillonage du son 7 2.1Crit`eredeNyquistetThe´or`emedeShannon......................7 2.2 Quantiﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1Leproce´de´....................................10 2.2.2Erreurdue`alaquantiﬁcation..........................10 2.2.3 Quantiﬁcation non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Et le cerveau dans tout ca ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ¸ 3 Compression 13 3.1 Compression psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.2Lesdiﬀe´rentese´tapes..............................14 3.1.3 Le masking : le principe du codage psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.4Quesepasse-t-ilmath´ematiquement?.....................14 3.1.5Stockerlesdonn´ees:Commentcelafonctionne?...............16 3.2 Compression entropique et codage de Huﬀmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.3Application`al’audio...............................19 4Transforme´edeFourierRapide20 4.1 Introduction ` ontrons-nous la FFT ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 : ou renc 4.2RetoursurlaTransformationdeFourierdiscr`ete...................21 4.3 Principe de l’algorithme de transformation de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . 22 4.4AlgorithmedeTFR:entrelacementfr´equentiel....................24 4.4.1S´eparationentrelesmodespairsetlesmodesimpairs............24 4.4.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4.3Nombred’op´erations...............................29 4.5 Un exemple d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5.1Approchemathe´matique.............................29 4.5.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Conclusion 33

Introduction

Nous allons commencer par une petite introduction au son numerique. ´ Toutd’abord,qu’est-cequeleson(d´eﬁnitionunpeubrute)? Lesonestunevibrationdel’air,c’est-a`-direunesuitedesurpressionsetded´epressionsdel’air parrapporta`unemoyenne,quiestlapressionatmosph´erique.D’ailleurs,pours’enconvaincre,il suﬃtdeplacerunobjetbruyant(unre´veilparexemple)dansuneclochea`videpours’apercevoir quel’objetinitialementbruyantn’´emetplusunseulsonde`squ’iln’estplusentoure´d’air! Lafac¸onlaplussimpledereproduireunsonactuellementestdefairevibrerunobjet.Decette fac¸onunviolon´emetunsonlorsquel’archetfaitvibrersescordes,unpianoe´metunenotelorsque l’on frappe une touche, car un marteau vient frapper une corde et la faire vibrer. Etalors,c’estquoilesonnume´rique? D’unemani`erege´n´erale,onappellesignalanalogiqueunsignalproduitparundispositif me´caniqueoue´lectronique.Dansuntelsignal,lavariableestletempsquis’e´couledemani`erecon-tinue.Ilyaa`peinequelquesdizainesd’anne´es,toutechaıˆnedeproductionsonoree´taitentie`rement analogique:parexemple,lesonproduitparlesmusiciens,lesignale´lectriqued´elivr´eparlesmi-cros,lesignaltransmisparondeshertziennesougrav´esurundisquedevinyle,lesignalre¸cu etampliﬁe´parvotrechaˆıneHi-Fietﬁnalementlesonfourniparlehaut-parleur,sonttousdes signaux analogiques. Avec la formidable augmentation de la puissance des ordinateurs est apparu un nouveau maillon danscettechaˆıne:lesonnume´rique.Unefoiscapte´parlemicro,lesonesttransforme´enunesuite denombresbinaires(forme´sde0etde1),quisonttransmis,stocke´sougrav´essouscetteforme. Gr`ace`acettedernie`re,lessonsmusicauxpeuventˆetrestocke´ssurvotreordinateur,transforme´s parlesinge´nieursduson(ouparvous-meˆme,quandvousvoulezentendrelesaigusoualorsmettre plusdebasse),´ecoute´ssurvotret´ele´phoneportableousurvotrebaladeur,e´chang´essurInternet... Oncomprendtr`esvitepourquoilamusiqueestaujourd’huidavantagepre´sentesousformede signaux´electriquesnum´erise´s,circulantdansdescaˆblesettraite´spardesordinateurs,quesoussa forme acoustique originelle. Alafrontie`redesmathe´matiquesapplique´es,delaphysique(plusparticulie`rementdelapsy-choacoustique)etdel’informatique,ceTIPEvatraiterdelanum´erisationetdelacompression du son. Dansunpremiertemps,nousallonsparlerdeJosephFourieretdedeuxdesesde´couvertesqui portentsonnom,lesse´riesdeFourieretlatransform´eedeFourier. Dansunsecondtemps,nousallonsnousinte´resserauxdeuxop´erationsessentiellesqu’asubi unsignalnum´erique.Cederniera´ete´eno´nitllhcnae´urs`ateisnscolace:elavselrevele´rpsn= s(tn) dusignalanalogique`adesinstantsr´egulie`rementespace´stn=τ no,u`τlaeel´pedeioerp´patse d’e´chantillonnage.Parailleurs,lese´chantillonssnntot´´eee´suaqiﬁnt`aapprocheret:ecalocsnsiet remplacercesnombresre´elssnvuepiuq,elisicamdee´´tdenﬁniuneivoirentases,lerdpatonsabck nombresrnpris dans un ensemble ﬁni comportant L = 2bvaleurs possibles. Ces nombresrnsont alorscode´ssurbbitspourˆetrestocke´soutransmis.Enqualit´eaudio,onutilisege´ne´ralementun codage sur 16 bits, soit 2 octets.

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