TIPE Les mathematiques derriere la compression du son

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Niveau: Supérieur
TIPE : Les mathematiques derriere la compression du son Yoann Potiron (L2 Mathematiques) 15/06/2009

  • codage de huffmann

  • principe de l'algorithme de transformation

  • retour sur la transformation de fourier discrete

  • signal analogique

  • frontiere des mathematiques appliquees

  • transformee de fourier

  • transformee de fourier rapide

  • proprietes de l'ouıe et du cerveau pour reduire


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Publié le 01 juin 2009
Nombre de lectures 145
Langue Français
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TIPE
:
Les
math´ematiques
Yoann
derrie`re
la
compression
Potiron(L2Math´ematiques)
15/06/2009
du
son
Tabledesmati`eres
Introduction 2 1Transforme´edeFourier4 1.1S´eriesdeFourier.....................................4 1.2 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ´ 1.3Transform´eedeFourierDiscre`te.............................6 2 Echantillonage du son 7 2.1Crit`eredeNyquistetThe´or`emedeShannon......................7 2.2 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1Leproce´de´....................................10 2.2.2Erreurdue`alaquantication..........................10 2.2.3 Quantification non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Et le cerveau dans tout ca ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ¸ 3 Compression 13 3.1 Compression psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.2Lesdie´rentese´tapes..............................14 3.1.3 Le masking : le principe du codage psychoacoustique . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.4Quesepasse-t-ilmath´ematiquement?.....................14 3.1.5Stockerlesdonn´ees:Commentcelafonctionne?...............16 3.2 Compression entropique et codage de Huffmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.3Application`alaudio...............................19 4Transforme´edeFourierRapide20 4.1 Introduction ` ontrons-nous la FFT ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 : ou renc 4.2RetoursurlaTransformationdeFourierdiscr`ete...................21 4.3 Principe de l’algorithme de transformation de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . 22 4.4AlgorithmedeTFR:entrelacementfr´equentiel....................24 4.4.1S´eparationentrelesmodespairsetlesmodesimpairs............24 4.4.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4.3Nombredop´erations...............................29 4.5 Un exemple d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5.1Approchemathe´matique.............................29 4.5.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Conclusion 33
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Introduction
Nous allons commencer par une petite introduction au son numerique. ´ Toutdabord,quest-cequeleson(d´enitionunpeubrute)? Lesonestunevibrationdelair,cest-a`-direunesuitedesurpressionsetded´epressionsdelair parrapporta`unemoyenne,quiestlapressionatmosph´erique.Dailleurs,poursenconvaincre,il sutdeplacerunobjetbruyant(unre´veilparexemple)dansuneclochea`videpoursapercevoir quelobjetinitialementbruyantn´emetplusunseulsonde`squilnestplusentoure´dair! Lafac¸onlaplussimpledereproduireunsonactuellementestdefairevibrerunobjet.Decette fac¸onunviolon´emetunsonlorsquelarchetfaitvibrersescordes,unpianoe´metunenotelorsque l’on frappe une touche, car un marteau vient frapper une corde et la faire vibrer. Etalors,cestquoilesonnume´rique? Dunemani`erege´n´erale,onappellesignalanalogiqueunsignalproduitparundispositif me´caniqueoue´lectronique.Dansuntelsignal,lavariableestletempsquise´couledemani`erecon-tinue.Ilyaa`peinequelquesdizainesdanne´es,toutechaıˆnedeproductionsonoree´taitentie`rement analogique:parexemple,lesonproduitparlesmusiciens,lesignale´lectriqued´elivr´eparlesmi-cros,lesignaltransmisparondeshertziennesougrav´esurundisquedevinyle,lesignalre¸cu etamplie´parvotrechaˆıneHi-Fietnalementlesonfourniparlehaut-parleur,sonttousdes signaux analogiques. Avec la formidable augmentation de la puissance des ordinateurs est apparu un nouveau maillon danscettechaˆıne:lesonnume´rique.Unefoiscapte´parlemicro,lesonesttransforme´enunesuite denombresbinaires(forme´sde0etde1),quisonttransmis,stocke´sougrav´essouscetteforme. Gr`ace`acettedernie`re,lessonsmusicauxpeuventˆetrestocke´ssurvotreordinateur,transforme´s parlesinge´nieursduson(ouparvous-meˆme,quandvousvoulezentendrelesaigusoualorsmettre plusdebasse),´ecoute´ssurvotret´ele´phoneportableousurvotrebaladeur,e´chang´essurInternet... Oncomprendtr`esvitepourquoilamusiqueestaujourdhuidavantagepre´sentesousformede signaux´electriquesnum´erise´s,circulantdansdescaˆblesettraite´spardesordinateurs,quesoussa forme acoustique originelle. Alafrontie`redesmathe´matiquesapplique´es,delaphysique(plusparticulie`rementdelapsy-choacoustique)etdelinformatique,ceTIPEvatraiterdelanum´erisationetdelacompression du son. Dansunpremiertemps,nousallonsparlerdeJosephFourieretdedeuxdesesde´couvertesqui portentsonnom,lesse´riesdeFourieretlatransform´eedeFourier. Dansunsecondtemps,nousallonsnousinte´resserauxdeuxop´erationsessentiellesquasubi unsignalnum´erique.Cederniera´ete´eno´nitllhcnae´urs`ateisnscolace:elavselrevele´rpsn= s(tn) dusignalanalogique`adesinstantsr´egulie`rementespace´stn=τ no,u`τlaeel´pedeioerp´patse de´chantillonnage.Parailleurs,lese´chantillonssnntot´´eee´suaqint`aapprocheret:ecalocsnsiet remplacercesnombresre´elssnvuepiuq,elisicamdee´´tdenniuneivoirentases,lerdpatonsabck nombresrnpris dans un ensemble fini comportant L = 2bvaleurs possibles. Ces nombresrnsont alorscode´ssurbbitspourˆetrestocke´soutransmis.Enqualit´eaudio,onutilisege´ne´ralementun codage sur 16 bits, soit 2 octets.
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