Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 10-11 semestre 2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1 – Mettre sous la forme x+ iy avec x, y reels les nombres complexes : (2? 3i)2 ; (2? 3i)3 ; 1 2? 3i ; 1 (2? 3i)(1 + i) ; 2 + i (3 + i)(2? i) . Exercice 2 – Determiner sous la forme x+iy avec x, y reels les nombres complexes z solutions des equations : a) 3iz + 3? 4i = 0 b) (7 + 2i)z + 5? 8i = 0 c) (1 + i)z ? 5 + 4i = 0 Exercice 3 – Determiner les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (3 + 2i)z1 + iz2 = 1 + 2i 2z1 ? (1 + i)z2 = i? 3 En deduire les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (3? 2i)z1 ? iz2 = 1? 2i 2z1 ? (1? i)z2 = ?i? 3 Exercice 4 – (Equations du second degre a coefficients reels) Trouver les nombres reels ou complexes solutions des equations suivantes : 1a) x2 = 8 81 ; 1b) x2 = 0 ; 1c) x2 = ?19 2a)

• c? ?c


• couples de complexes solutions du systeme d'equations


• nature des similitudes directes


• loi de composition des applications


• solutions de l'equation z2


• z1 ?


• point fixe


• meme question avec ? ?

Sujets

• Point fixe

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge ´ bre 10-11 semestre2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1–Mettre sous la formex+iyavecx, yeeslelns´rmplexes:ombresco 1 12 +i 2 3 (2−3i) ;(2−3i; ;) ;. 2−3i(2−3i)(1 +i) (3+i)(2−i) Exercice 2–mrofalsuosrenimr´eteDex+iyavecx, yexelseleerl´somsnesbrmpcozsolutions des´equations: a) 3iz+ 3−4i= 0 b) (7+ 2i)z+ 5−8i= 0 c) (1+i)z−5 + 4i= 0 Exercice 3–uaeqontiemt`’´eddsnosysuosseitul:seldsocpulpxecemoeterD´rlesmine " (3 + 2i)z 1 +iz 2 = 1+ 2i 2z 1 −(1 +i)z 2 =i−3 Ende´duirelescouplesdecomplexessolutionsdusyst`emed’e´quations: " (3−2i)z 1 −iz 2 = 1−2i 2z 1 −(1−i)z 2 =−i−3 ´ Exercice 4–(noitauqEnocesudsesrlmbnosrreel´euosddegr´e`acoefficietnrse´le)srTuoev complexessolutionsdese´quationssuivantes: 8 2 22 1a)x1= ;b)x= 0; 1c)x=−19 81 √ 1 31 5 2 22 2a) (x−)−; 2= 0b5) (x−2) =20 ;c) (x−) += 0 3 43 4 √ 13 2 22 3a) 14x−9x; 3+ 1 = 0b) 8x2+ 12x+ 9 = 0; 3c)x−2x+ =0 9 ´ Exercice 5–`ecage´reitneocffionsduationddusecqE(enimrosrealsumrofomscexpl)Deste´e 2 x+iyavecx, ysleldsuenxmorbser´eenioatqu´el’densoitulossexelpmocz=cdans les cas : c= 3 + 8i;c=−11 + 4i;c= 1−i . 2 22 22 (Uneme´thodeconsiste`aremarquerque|z|=x+y=|c|, x−y= Recinerles,`ad´eterm 2 2 couples (yx ,), puis les couples (x, y) en tenant compte du signe de 2xy= Imc). ´ Exercice 6–Euq(dendcosedunsioatstneicffieoca`e´rgocpmelex)s´Dtereminersouslaforme x+iyavecx, yxeserlee´esslmbnoscreplomzslosnedtuoiuatis´eqons:

2 a)z+ (2 +i)z−i= 0 2 b)z−(1 + 2i)z+ 2 = 0 2 c) 4z+ (2−6i)z−8−6i= 0 D´eduiredea)lessolutionscomplexesdel’e´quation: 2 z+ (2−i)z+i= 0 . Exercice 7–elexocpm:sntdegumebressnommrnie´etDl’arleetmoduerle √ √ 1−i −21 ;−2i;−3 3+ 3i; (1−i+)( 3i) ; √ . 3 +i End´eduireparexemplelemoduleetl’argumentdescomplexesztels que √ 5 3 z= 2−2i;z= (1−i)( 3+i). Exercice 8–ntoieprlnemieret´D)etceridedutilsimi(:setdesdirecsimilitutarudesexfieeltna φ 1 :C→C;z→φ 1 (z) = 2iz+ 1−3i φ 2 :C→C;z7→φ 2 (z) = (1−i)z+ 1−3i √ φ 3 :C→C;z7→φ 3 (z) = (1 +i3)z+ 1−3i √ 3i φ 4 :C→C;z7→φ 4 (z) = (−)z+ 2 +i 2 2 Exercice 9–setceridsedutili:litudedirecte)Cosndie´orsnelssmi(imis φ:C→C;z7→φ(z) = (1 +i)z+ 2 + 3i √ 3i ψ:C→C;z7→ψ(z) = (+ )z+ 1 +i 2 2 1)De´terminerlepointfixeetlanaturedeφet deψ. 2)Pr´eciserl’applicationcompos´eeφ◦ψatetqr’u.oCsnerrmin´eteceriD.ettilideduund’imess’ilitag son point fixe et sa nature. 3)Meˆmequestionavecψ◦φ. −1−1 4) Nous savons queφetψjectives,pr´ecisreostnibφetψ. −1−1 5) Constater queφetψirecdesdPr´etes.dtsesnoilutisimeullcualrsevaresiccsnastec points fixes et leurs natures. Exercice 10–Donner une expression de cos3θet sin3θose`cedid’aalθet sinθcela,. Pour inθ iθn on utilisera que pour tout entier relatifnttertuolee´θ:e= (eeutsoianevc)Mˆ.eqem cos 5θ5et sinθ

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Exercice 11–Soitθleeenutbmon´rerz= cosθ+isinθque pour tout entier. Montrern:    n n 1 1 n n 2cosnθ=z2+ ;isinnθ=z− z z    5 5 1 1 5 5 End´eveloppantz+ etz−, donner une expression de cosθet sinθede’dliaa` z z cos 5θ5, sinθ, cos3θ3, sinθ, cosθet sinθ Exercice 12–)Mon1queptrertruortuolee´θ:  ! ! ! ! ! ! θ θθ θθ θ 2 22 2 cosθ= cos−2cossin =−1 = 1−2sin ;sinθ= 2cossin 2 22 22 2 θ 2)De´duirea`l’aidelemoduleetl’argumentdunombrecomplexe: 2 iθ e−1 = cosθ+isinθ−1. 3) Montrer que pour tout nombre complexezdistinct de 1 : n n +1 X z−1 k n z= 1 +z+∙ ∙ ∙+z= z−1 k=0 4) Soitθuel´estdiomnnerbrdo2edm0nitcπque pour tout entier. Montrern: n θ sin(n+ 1) X θ ikθ iθinθ in 2 2 e= 1 +e+∙ ∙ ∙+e=e θ sin k=0 2 5)End´eduirequepourtoutentiernetθ0modctde2e´ridlenitsπ: n n X X 1 1 |coskθ|≤et|sinkθ|≤ θ θ |sin| |sin| k=0 2k=0 2 z−i Exercice 13–1) Soitzntredeedex´eiffcnulpmo−i. Montrerque le nombre complexe z+i estdiffe´rentde1. z−i On note alorsf:C− {−i} →C− {1}iepa´efiniondicatparlp’lf(z.) = z+i −1 2) Montrer quefresejibtective.D´eterminf. 3) Montrer quefadmet deux points fixesz 1 etz 2 leuq´ete’ondera.rmin 4) Montrer qu’il existe un complexeaqsera´ecionpruel’tuotruopeuqletzdictinct de−iet z 2 : f(z)−z 1 z−z 1 =a f(z)−z 2 z−z 2 5)D´eterminerdeuxcomplexescetdtels que pour tout complexezdistinct de−i: d f(z) =c+ z+i

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+ Exercice 14–.sirsdteeclimidetudelbissee’lmesnd`ereSim)Onconsiidertsc(smeilitiduse Pouraun nombre complexe non nul etbun nombre complexe, on noteφ a,b la similitude directe : φ a,b :C→C;z7→φ a,b (z) =az+b 0 0 1) Soita, ades complexes non nuls etb, bee´sopicplapl’omncioatseP.lpxesire´rcescomde φ a,b ◦φ a ,b . 0 0 −1 2) Montrer queφest bijective et. Montre a,b enr´dtereimφ b r que Id C :C→Crapeinfie´d a, Id C (z) =zest une similitude directe. + 3)MontrerqueSimpourlaloidecompositiondesapplicationsestungrouped’´ele´mentneutre Id C . 4)De´terminerenfonctiondeaetbles points fixes deφ a,b . 0 0 0 , M, M Soitz 0 , z 1 , z 2 les affixes de 3 pointsM 0 , M 1 , M 2 . NotonsM 0 1 2 les points dont les affixes sontφ a,b (z 0 ), φ a,b (z 1 ), φ a,b (z 2 ). 5) Montrer que −−−→ 0 0 −−−→ kM Mk= 0 1 |a|kM 0 M 1 k End´eduirequesiMd’affixeza’dΩertnde´exfficeunitcrcedelercωet de rayonR, les points d’affixesφ a,b (z).´adleuqpno’ce´rresiriecntveceunlerc 6)Montrerl’e´galit´edesanglesdevecteurs: −−−→ d −−−→ d 0 00 0 −−−→−−−→ (M MM M ,= (M, M) 0 10 2 )M 0 M 21 0 End´eduirequesiMd’affixezpoes,lteaffid’tsinsextunedroid´ecriφ a,b (zunedvente.roitirce´d) ∗ Onconside´rel’ensembleC×Csquermfode´euocsselpb,a(let)aest un nombre complexe non ∗ nul etbnnubromomecexplnO.esnoce`dialerloiinterne?surC×C´dfieinpera: 0 00 0 (a, b)?(a , b) = (aa , ab+b). ∗ 7) Montrer que muni de cette loiC×Citatnodfcnonummoerisanptoecr´etsuoepnurg l’´ele´mentneutre. 8) Montrer que l’application : ∗ + C×C→(Sim :a, b)7→φ a,b est un morphisme de groupe. 9)Montrerquecemorphismedegroupesestbijectifetd´eterminersoninverse.

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