Correction : Algèbre générale, Loi de groupe sur une hyperbole

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Coniques. Strucures algébriques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 33
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

4.a

4.b

4.c

Correction

2 2
2−32=1⇔−=1 avec=1 et=1 3 .
2 2

(1, 0) et′(− .1, 0)

2 2+2= ,4 3= puis2 3= = .2 3
=
Soit(,) ,′(′,′) ,′′(′′,′′) :
(⊻′)⊻′′(′′++3′′))′′++′′3((++′′′)′)′′′′et⊻(′⊻′′)((′′′′′′++3′′′′′)′)++(3′(′′′+′′3+′′′′′)′)
( 3
donc (⊻′)⊻′′=⊻(′⊻′′) ainsi⊻est associative.
Sans difficulté :⊻=′′⊻et donc⊻est commutative.
Sans difficulté :⊻=⊻=et doncest élément neutre pour⊻.

L’ensemble des pointstels que()= la réunion de deux asymptotes de l’hyperbole0 estH.
L’ensemble des pointstels que()= l’hyperbole1 estH.
Soit(,) ,′(′,′) .(⊻′)=(′+3′)2−3(+′′)2donc en développant puis en
factorisant(⊻′)=2′2−32′2−32′2+9 2′2=(2−3)2(′2−3′)2=()(′) .
Si,′∈Halors()=(′)=1 donc(⊻′)=1 d’où⊻′∈H.
Hest stable pour⊻,⊻est associative,⊻est commutative et∈Hdonc (H,⊻) est un monoïde
commutatif.
Soit ∈H à ort.
et′− (son symétrique par rapp )
Par calculs⊻= =⊻doncest symétrisable et′est son symétrique.
 ′ ′
Finalement (H,⊻) est un groupe abélien.
H+est inclus dansH, contient, et on vérifie aisément queH+est stable par passage à l’inverse. Soit
(,) ,′(′,′ points de) deuxH+et=′′+′3′l’abscisse de⊻′. Puisque
2−32=1 , on a 3<et de même 3′<′donc 3<′′d’où>′′0 . AinsiH+est
aussi stable par composition. FinalementH+est un sous-groupe de (H,⊻) .
H−n’est pas un sous-groupe deHcar, entre autres, cet ensemble ne contient pas.
′ + ′
−
′−−′′,+′3′1 .

Det(′,)=(′−)(′+′)−(′−)(+′3−′1)= −2′+′2−3′2+32−′′ +=0
car2−32=′2−3′2=1 donc (′) et ( parallèles.) sont
2
2+32−1 et la tangente enest dirigée par3(car la tangente en0(0,0 pour) a
.
équation0−30=1 )
Det 23 2àHsont parallèles.
(,)=+3−−6=0 donc () et la tangente en
Soit,′∈Het=⊻′.
Si=′on obtienten considérant l’intersection autre quedeHavec la parallèle à la tangente
àenHpassant par.
Siet′ (sont symétriques par rapport à) alors=.
Dans les autres cas, on obtienten considérant l’intersection autre quedeHavec la parallèle à
(′) passant par.