Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Changement de référentiel

Damien Decout

Description

Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Mécanique I"; il est composé de 6 chapitres : (1) Oscillateur harmonique - Régime forcé (2) Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite) (3) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (4) Changements de référentiel (5) Dynamique en référentiel non galiléen (6) Système formé de deux points matériels

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 176
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel page 1/4
Peut-ˆetre consid´er´e comme solide, tout syst`eme dont les distances mutuelles des
Changements de r´ef´erentiel
´el´ements restent invariables au cours du temps.
Table des mati`eres
Le solide de r´ef´erence est immobile pour l’observateur comme si l’observa-
teur faisait partie du solide.
1 R´ef´erentiel 1
L’origine et les vecteurs de base restent donc immobiles dans la description du
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
mouvement, ind´ependants du temps.
1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Vecteur rotation 1
2.1 D´eriv´ee d’un vecteur par rapport au temps . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exemple
2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . 2 Pourunobservateur immobilesurle quai, le solideder´ef´erence estle quai, notons
le r´ef´erentiel correspondantR .
2.3 Composition des vecteurs rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
Pour un observateur immobile dans un train, le solide de r´ef´erence est le train,
3 Composition des vitesses et des acc´el´erations 3 notons le r´ef´erentiel correspondantR .
2
Quelle est la vitesse d’un passager (rep´er´e par M) qui se d´eplace dans le train?
3.1 Vitesse d’entraˆınement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
La r´eponse sera diff´erente selon l’observateur.
3.2 Acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dans un probl`eme ou` interviennent plusieurs r´ef´erentiels, il faudra toujours pr´e-
3.3.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . 4
ciser par rapport `a quel r´ef´erentiel on travaille.
1 R´ef´erentiel

dO M
1
v(M) = est la vitesse du passager par rapport au quai.
1.1 D´efinitions
R
1
dt
R
1

dO M
La description d’un mouvement est relative : elle d´epend de celui qui observe le 2
v(M) = est la vitesse du passager par rapport au train.
R
2
dt
mouvement.
R
2
Quand on d´erive par rapport `a R , O et les vecteurs de la base de R sont
1 1 1
consid´er´es comme ind´ependants du temps puisque immobiles par rapport `a R
Pour d´ecrire un mouvement, il faut donc pr´eciser l’observateur ou encore
1
par d´efinition.
le r´ef´erentiel.
Quand on d´erive par rapport a` R , O et les vecteurs de la base de R sont
2 2 2
consid´er´es comme ind´ependants du temps puisque immobiles par rapport a` R
2
Un r´ef´erentiel est l’ensemble d’un rep`ere (spatial) li´e `a un solide de r´ef´erence et par d´efinition.
d’une chronologie dans ce rep`ere.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel page 2/4
2 Vecteur rotation Finalement, trois param`etres p, q, r suffisent a` caract´eriser le mouvement
deR par rapport `aR ; ces trois param`etres d´efinissent le vecteur rotation :
2 1
Soit R un r´ef´erentiel de base (e ,e ,e ) et R un r´ef´erentiel de base
1 x y z 2
1 1 1
(e ,e ,e ) en mouvement quelconque par rapport `aR .
ω = pe +qe +re
x y z 1
2 2 2 x y z
R /R 2 2 2
2 1

de
2.1 D´eriv´ee d’un vecteur par rapport au temps
x
2
= re −qe =ω∧e
y z x
2 2 2
dt
R
1
Soit A(t) un vecteur quelconque.

Exprimons A(t) dans la base deR et d´erivons par rapport `aR :
2 1
de
y
2
=−re +pe =ω∧e
x z y
2 2 2
dt
R
1
A(t) = A e +A e +A e
x x y y z z
2 2 2 2 2 2


de
z
2
dA = qe −pe =ω∧e
x y z
2 2 2
˙ ˙ ˙
dt
= A e +A e +A e +A e˙ +A e˙ +A e˙
x x y y z z x x y y z z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R
1
dt
R
1
Finalement

dA dA
dA dA
= +A e˙ +A e˙ +A e˙
x x y y z z
2 2 2 2 2 2
dt dt = +ω ∧A
R /R
2 1
R R
1 2
dt dt
R R
1 2
Exprimons les vecteurs e˙ , e˙ , e˙ , qui caract´erisent le mouvement deR par
x y z 2
2 2 2
rapport a`R , dans la base deR :
1 2
2.2 Cas particuliers

de
x
2
= a e +a e +a e 2.2.1 Translation
11 x 12 y 13 z
2 2 2
dt
R
1
SiR est en translation par rapport `aR , les axes deR gardent une direction
2 1 2

de
y
2 fixe par rapport `a ceux deR
1
= a e +a e +a e
21 x 22 y 23 z
2 2 2
dt

R
1
de de de
x y z
2 2 2
= = =0 ⇒ p = q = r = 0 ⇒ ω =0
de R /R
2 1
z
2
dt dt dt
= a e +a e +a e
31 x 32 y 33 z R R R
2 2 2 1 1 1
dt
R
1

La base ´etant orthonorm´ee :
dA dA dA
= =
dt dt dt
de R R
1 2
x
2 2 2
e =ke k = 1 ⇒ 2e . = 0 ⇒ a = 0
x x 11
x 2 2
2
dt
2.2.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe
de mˆeme a = a = 0
22 33
Si R est en rotation uniforme `a la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe de
2
de de
x y
2 2
e .e = 0 ⇒ .e +e . = 0 ⇒ a +a = 0 ⇒ a =−a = r
x y y x 12 21 12 21 R par exemple e =e =e
2 2 2 2
1 z z z
1 2
dt dt

de
de mˆeme a =−a = p et a =−a = q
x
23 32 31 13 2
= ωe
y
2
dt
R
1
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel page 3/4

de
y
2
v(M) =v(M) +v
R R e
1 2
=−ωe
x
2
dt
R
1
avec v appel´e vitesse d’entraˆınement :
e
ce qui implique r = ω et p = q = 0
v =v(O ) +ω ∧O M
e 2 R R /R 2
1 2 1
ω = ωe
z
∗
Pour calculer v on peut aussi immobiliser M dans R en notant M la
e 2
position correspondante :
Dans le cas d’une rotation uniforme autour d’un axe fixe, le vecteur rotation est
∗ ∗
v(M ) =v(M ) +v =v
port´e par l’axe et a pour norme la vitesse angulaire. R R e e
1 2
2.3 Composition des vecteurs rotation
Lavitessed’entraˆınementpeutaussisecalculercommelavitesseparrapport
∗
`aR de M appel´e point co¨ıncident.
1
SoientR ,R etR
1 2 3

dA dA dA
3.2 Acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis
= +ω ∧A = +ω ∧A+ω ∧A
R /R R /R R /R
2 1 3 2 2 1
dt dt dt
R R R
1 2 3


dv(M)
R
1
dA a(M) =
R
1
= +(ω +ω )∧A dt
R /R R /R
3 2 2 1 R
1
dt
R
3

dv(O ) dv(M) d
2 R R
1 2
= + + ω ∧O M
2
R /R
ω =ω +ω 2 1
R
R /R R /R R /R 1
3 1 3 2 2 1
dt dt dt
R R
1 1

Calculons les trois termes s´epar´ement
dA dA
remarque : = −ω ∧A
R /R
2 1
dt dt
R R
2 1
dv(O )
2 R
1
=a(O )
2 R
1
dt
R
ω =−ω 1
R /R R /R
1 2 2 1
dv(M) dv(M)
R R
2 2
= +ω ∧v(M)
R
R /R 2
2 1
dt dt
R R
1 2
3 Composition des vitesses et des acc´el´erations
=a(M) +ω ∧v(M)
R R
R /R
2 2 1 2
3.1 Vitesse d’entraˆınement


dω
d dO M
R /R 2
2 1
ω ∧O M = ∧O M+ω ∧
R /R 2 2 R /R
2 1 2 1

R
1
dt dt dt
R
dO M dO O dO M 1
1 1 2 2
v(M) = = +
R
1
" #
dt dt dt
R R R
1 1 1
dω
dO M
R /R
2 1 2

= ∧O M+ω ∧ +ω ∧O M
2 2
R /R R /R
2 1 2 1
dO O dO M
1 2 2 dt dt
R
2
= + +ω ∧O M
R /R 2
2 1
dt dt
R R
1 2

dω
R /R
2 1
= ∧O M+ω ∧ v(M) +ω ∧O M
=v(O ) +v(M) +ω ∧O M 2 R 2
R /R 2 R /R
2 R R 2 2 1 2 1
1 2 R /R
2 1
dt
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007
MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef