Exercice N°1

Description

′′′6′⋆⋆′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Nombres complexes `emes Notations alg´ebrique et exponentielle Racines n Exercice 1 : Parmi les assrtions suivantes, lesquelles sont vraies?? Exercice 11 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 5 ! ! 1. z = 1. n n n n Y Y X X √ 7 1. Re a = Re(a ) 1. Im a = Im(a ) 2. z = 1+i 3. i i i i i=1 i=1 6 i=1 i=1 3. z z¯= 1. 1 z¯ 2. si z = 0, alors = 2. Re(i z) =−Im(z) 2 z |z| Exercice 12 : D´eterminez les racines carr´ees de 9+40i et les racines quatri`emes de−7−24i. “ ” z Imz 3. si λ∈ R, Im(λz) = λImz 3. Im = w Imw Exercice 13 : 1. Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes Exercice 2 : Mettez sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : √ „ « 2 1+i 3 1−i 3+6i 1+i 1−7i 2+5i 2−5i u = √ , v = √ z = , z = + , z = + . 1 2 3 1−i 3 1+i 3 3−4i 2−i 4+3i 1−i 1+i 6 4 2. R´esoudre dans C les ´equations z = u et z = v. Exercice 3 : Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : √ √ 3 4 n−1 Y 3 (1+i) (1−i) ( 6−i 2)(1+i) 2iπ/n k n−1 z = , z = + , z = . 1 2 3 Exercice 14 : Soit n≥ 2. On note ω = e . Montrez que ω = (−1) . 2 1−i 1−i (1−i) 1−i k=0 Exercice 4 : Soient θ,θ deux nombres r´eels. ´ Equations polynomiales θ+θ iθ iθ i iθ 2 1. Transformez e +e en factorisant par e sous la forme ρe ou` ρ et θ sont des r´eels. Exercice 15 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes 2 1. z −(2+3i)z+3i−1 = 0. iπ/3 4iπ/3 z = 1+e , z = e −1 1 2 6 3 2.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc ´ eeRabelias

Nombres complexes

´ebrsalgetexiquetneiopenlleatoNnoit Exercice 1 : ? ?Parmi les assrtions suivantes, lesquelles sont vraies n 1.Re X =Re(a i )   a i ! i= X n 1.Im   i= n Y 1 a i ! = n i= Y 1 Im(a i ) i=1 1 1z ¯

` aRicensn emes Exercice 11 :se´RrduonadesCtnseeleqs´tiuassonvaui 1.z 5 = 1. 2.z 7 = 1 +i √ 3. 3.z 6 z¯ = 1.

Semainedu12aoˆut2011

2.Re(i z) =−Im(z  si) 2.z6= 0, alors z = |z| 2 Exercice 12 :+4e90r´arsdeerete´Deszlnemiscneciraiuqseirtarselnicaet`emesde−7−24i. 3. siλ∈R,Im(λz) =λImz 3.Im “ z ” = Im mIw z Exercice 13 : w Exercice 2 : erbmonse e l M ell z e e i t t t nnepoexmeorsfouzs qieuelnsmorbseocsous e f s orm p e l a e l x g´ s e c b o r m ssxelemps:ntvaui 1M.teet 3 + 6i z 1 3−4  zi  2 = „ 1 2− + i i « 2 4+ + 1− 3 7  i z i 3 2 = + 1− 5i i 2 + 1 − + 5 u i i  1 = 1− +i i √ √ 3 3  v +1 1 = − i √ i 3 = 2.Re´soudredansCeslqu´eioatnsz 6 =uetz 4 =v. Exercice 3 :Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : z 1  3 = 1 − i  z 2 +1( = 1− i i ) 3 (1 (1 + − − i i ) ) 2 4  z 3 = ( √ 6− 1 i √ − 2 i )(1 +i)  Exercice 14 :Soitn≥2. On noteω=e 2iπn . Montrez que n− Y 1 ω k = (−1) n−1 . k=0 Exercice 4 :Soientθ θ ′ xnomdeu´reerbsesl. ´ 1. Transformeze iθ +e iθ ′ en factorisant pare i θ+ 2 θ ′ sous la formeρe iθ `ouρetθestdeer´.lssno E  xer E cic q e u 1 a 5 t : io R n ´es s ou p dr o e l d y a n ns o C m l i e a s l e´ e q s uations suivantes 2.Ende´duirelaformeexponentielledesnombrescomplexes z 1 = 1 +e iπ3  z 2 =e 4iπ3 − 1 1.z 2 −(2 + 3i)z+ 3i−1 = 0. 2.z 6 −(1 + 2i)z 3 + 3(1 +i) = 0. Exercice 5 :Soitn∈N ⋆ . Simplifiez 1.z 1 =   1 +i √ 3 ! n 16x I E n r d eicec ionicat: : r r e eu ´v dn s s uo d v a uq R ze s r o e ´ fi e ie Cn ´ o e i t t eetc ´’l a a t u q q u ez io 3 n − so`sd +( e 3 e 4 p i) u z n 2 e − osu ( l 3 it 1− on 4i r´e )z.+9 e = l 0 le. 1−i 2.z 2 = ` “ √ 3−1 ´ +i ` 1 + √ 3 ´” n + ` “ √ 3−1 ´ −i ` 1 + √ 3 ´” n  Exercice 17 :e´R n solvez dansCl´esestaetaqnuinvssiuo = 1. Exercice 6 :utersranslmbleensentiedeseete´D’lzenimrn∈Npour lesquels (1 +i) n ∈R. .1 (.2 „ z z+ − z i 1 ) n « = (z−i) n . Observez qu’elle admetn−osul1ll.esuteer´ontitos, es

Exercice 7 :deseopnisterminezl’ensemblte´DM(z) tels quez+z¯ =|z| rteiigonom´ens`alatrcilpoitapA Exercice 8 : Exercice 18 :Soitω=e 2iπ5 . On poseS=ω+ω 4 etT=ω 2 +ω 3 . CalculezSetTisez´edu-enD. 1.D´eterminezlelieudespointsMd’affixeszquisase´cevatnongilId’affixeietM ′ d’affixe cos( 5 π ). iz. 2.Quellieude´criventlespointsM ′ correspondants ? Exercice 19 : 1.Pr´esentezsousformetrigonom´etriquelesnombrescomplexes Exercice 9 :ouepourttronquez´DmesuetvdansC, |u+v| 2 +|u−v| 2 = 2 (|u| 2 +|v| 2 )  u= 1 2 ( √ 6−i √ 2) etv= 1−i 2.End´eduireunepr´esentationtrigonome´triquedeuv, puis les valeurs exactes de cosπ12 Exercice 10 :Soita∈C ⋆ olesR´.snadzevCotiaunqe´’le z =a et sinπ12.

1

Exercice 20 : 1.Lin´earisezcos 2 xsin 2 x, et cos 5 xsinx. 2. Exprimez cos 5xen fonction de cosx.

Exercice 21 :

Montrez que X n cos(kθ) = cos ` n 2 θ ´ sin „ (n+ 2 θ 1)θ « k=0 sin 2

Exercice 22 :Soient (a x)∈R 2 etn∈N ⋆ . n−1 1. CalculezS 1 = X cos(a+kx) k=0 n−1 2.Ende´duireS 2 = X cos 3 kx k=0

2

Exercice 1 .—

Exercice 2 .—

1. VRAI 2. VRAI 3. VRAI

1. TROPA 2. VRAI 3. TROPA 3 z 1 =−5 +i 5 6 z 2 =−1−i z 3 =−3

N

•Montrer quez”autoconest”e´ugujz=z; ¯ •Montrer qu’un argument dezlomodu`u0anorgsectπ(pourz6= 0). n Ici, (1 +i) n = „ √ 2e iπ4 « = ( √ n) n e inπ4 . En particulier, comme son module est strictement positif,nouspouvonsutiliserlatroisiemecaracte´risation,ilvient: ` (1 +i) n ∈R⇐⇒arg(1 +i) n ≡0 [π]⇐⇒n 4 π ≡0 [π] ⇐⇒n≡0 [4] Ainsi, (1 +i) n est reelsi et seulement siil existe un entierk∈Ztel quen= 4k. En conclusion, ´ N (1 +i) n e´leestrsi et seulement sinest multiple de 4. N

Exercice 3 .—  Exercice 7 .—Soitz∈C. √ 2 z 1  2 = 3e iπ4 z+z¯ =|z⇒|⇐  z 2x= =x p +yi x 2  + ( y x 2 y)∈R 2 z 2 = 2 √ 2e 5iπ4 8 < x z= ≥ x+iy(x y)∈R 2 z 3 = 2 √ 2e −iπ6 ⇐⇒ : 4x 2 = 0 x 2 +y 2 Exercice 4 .— ⇐⇒ < 8 z y 2 = =x 3 + 0 2 iy(x y)∈R 2 e iθ +e iθ ′  cos= 2 θ− 2 θ ′ e i 1 2 (θ+θ ′ ): x≥ x 1 +e iπ3 √ 3e iπ6 8 z=x+iy(x y)∈R 2 = ⇐ : < y= √ 3xouy= −√ 3x e 4iπ3 −1 = √ 3e i7π6 ⇒ x≥0 N Ainsi, le lieu d´ it r les pointsM(z-dmideuxesitroiondesdetlar´eun)se  x y ≥0 = √ 3x et ecr pa Exercice 5 .— 1. 1 +i √ 3 = 2e pi3 , 1−i= √ 2e −iπ4 1 .’Du 1 o` + − i √ i = 3 √ 2e 7iπ12 . Par laformule de Moivre,  x y= ≥0 −√ 3x . N z 1 = ( √ 2) n il s’ensuit que e 7inπ12 Exer 1 c . ic I e l 8 es . t — clair que sizest 1 oui, les pointsI MetM ′ oslatne’tneruexign´esvuquedeuxd 2. On remarque que ` √ 3−1 ´ +i ` 1 + √ 3 ´ et ` √ 3−1 ´ −i ` 1 + √ 3 ´ d´esormaissqnuoectnoofdnsuS.puopossn onsontcgujue´.saPlrse ziffedre´edenttd1ennutrbmomocexelpese propri´t´esdelaconjugaison,ilenre´sultequeleurspuissancesn mei`e se.uge´noujsscintauso i. En ce cas, les pointsI MetM ′ se´ngilontassi et seulement siles vecteursI − M → etI −− M → ′ e Ainsi, sontcoline´aires,cequisetraduitenaffixespar z 2 = “ ` √ 3−1 ´ +i ` 1 + √ 3 ´” n + ` “ √ 3−1 ´ −i ` 1 + √ 3 ´” n I MetM ′ eossign´ntal⇐⇒les vecteursI − M → etI −− M → ′ seriean´licontso = 2Re » ` “ √ 3−1 ´ +i ` 1 + √ 3 ´” n – ⇐⇒ ⇒⇐ i i ( z z − − − i i 1) ∈ (z¯ R +i)∈R z Or ⇐⇒Re(z−1)(z¯ +i) = 0 ` √ 3−1 ´ +i ` 1 + √ 3 ´ = √ 3 +i−1 +i √ 3 = 2(e iπ6 +e iπ3 Ecrivonsz=x+iynenotationalg´ebriivlI.euqtne = 4 cos(−π4)e i5π12 = 2 √ 2e i5π12 (z−1)(z¯ +i) = ` (x−1) +iy ´` x−i(y−1) ´ = ˆ x(x−1) +y(y−1) ˜ +i ˆ y(x−1) +x(y−1) ˜ D’apr`eslesformulesdeMoivre,ils’ensuitque Parcons´equent,lespointsIl,MetM ′ sontlagi´nsesi et seulement siiertpaesltesellee´rs z 2 = 2Re ` » 2 √ 2 ´ n e i5nπ12 – = 2 ` 2 √ 2 ´ n so 5 1 c n 2 π igamiesnairxetydezv´etnirefi x 2 +y 2 −x−y= 0 N Onreconnaiticil’´equationducercledecentreΩ( 2 1 radeet 2 ) 1 nyo √ . 2 2 Exercice 6 .—onosipsdesdparmeelsnombilesmolpercsn,uoxesePrcouacarert´resinselrbmo´rse Conclusion :le lieu des pointsMd’affixeszvesacuqnosiilate´ngId’affixeietM ′ d’affixe plusieursstrate´gies. iz(Ω 2 1 tneredeccrelleceestnyoradeet 2 ) 1 √ 2 2 . •Montrer que la partie imaginaire dez ;est nulle

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