Exercice N°135: Développements Limités

Description

⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´eveloppements limit´es et applications D´eveloppements limit´es 1. Justifiez que f r´ealise une bijection de R sur lui-mˆeme. On note g : R→ R sa bijection r´eciproque. Exercice 1 : En utilisant les d´eveloppements limit´es usuels, d´eterminez les 2. Montrez que g admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 en 0 de la forme d´eveloppements limit´es suivants √ 3 5 5 1+x g(u) = a u+a u +a u +o(u ) 1 3 5 5. DL (0) de x →Arctan( 3cosx) 5 1. DL (0) de x →ln 3 1−x x ln(1+x) 3. D´eterminez ce d´eveloppement en exploitant la relation g◦f = id . R sinx 6. DL (0) de x → 3 cosx 2. DL (0) de x →ln 4 x 1/x √ 7. DL (0) de x →(1+x) Calculs de limites 2 1+x q 3. DL (0) de x →e 3 √ Exercice 7 : D´eterminez les limites suivantes : 8. DL (0) de x → 1+ 1+x 2 4. DL (0) de x →ln(2+sinx) 3 1 1 sinx x e −e 1. lim − 2 2 4. lim x→0 x Exercice 2 : D´eterminez les d´eveloppements limit´es suivants : sin x x→0 sinx−tanx p 1 1 1. DL (∞) de x → 1+sin(1/x)−cos(1/x); cosx 1 3 2. lim − 5. lim − s x→0 x ln(1+x) x→0 sinx x 2 x +x+1 3 1/x 1/x (1+x) −e 2. DL (∞) de x → . 2 6. lim ln(e+x) . 2 3. lim x +1 x→0 x→0 x p p 3 3 3 2 3 2 3. DL (∞) de x → x +x − x −x . 2 p Exercice 8 : D´eterminez les limites suivantes : 2 4. DL (∞) de x →ln(x+ x +1)−lnx. 4 2 1. lim(2x −3x+1)tan(πx). 1 1 x 1 4. lim sin +cos . x→ 2 x→+∞ x x Exercice 3 : D´eterminez les d´eveloppements limit´es suivants : 2 x x −2 xlnx ln(1+x) 2. lim . x x→2 sin(x−2) 5. lim . 1.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: exercice-mpsi
• Nombre de lectures: 51
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

est´D´eppmeevolilimnest

D´eveloppementslimit´esetapplications

Exercice 1 :tnlsmitilepoepems,d´eter´esusuelenimselzEnnasilituve´dselt
d´eloppementslimit´essuivants
ev
1.DL3(0) dex7→1ln1−+xx5.DL5(0) dex7→→Ax+(1lnrctan(√xso)3cx)
2.DLdex7→ln sinx
4(0)x6.DL3(0) dex7cosx
3.DL3(0) dex7→e√1+x7.DL2(0) dex7→(1 +x)1x
4.DL3(0) dex7→ln(2 + sinx) 8.DL2(0) dex7→q1 +√1 +x

Exercice 2 :ntmeimslelevpeoplzen´dsete´Dimreavtn:stie´ssiu
1.DL3(∞) dex7→p1 + sin(1x)−cos(1x) ;
2.DL2(∞) dex7→3sx2x2++x.11+
3.DL2(∞) dex7→3px3+x2−3px3−x2.
4.DL4(∞) dex7→ln(x+px2+ 1)−lnx.

Exercice 3 :D´enimreteve´dselzeloppementslimite´ssiuavtn:s
1.DL3(π4) dex7→sinx. 5.DL3(2) dex7→xx.
2.DL4(1) dex7→lnx2x. 6.DL3(π6) dex7→l
3.DL3(π4) dex7→(tanx)cos 2x..7DL3(1) dex7→x−1
4.DL2(π6) dex7→Arcsin (√23sinx) 8.DL2(π4) dex7→(

n(2 sinx).

1
+ln(x).
tanx)tan(2x).

Exercice 4 :evoldee´neltppmeD´etnezlermiitim`a´eorl’edrn au voisinage de 0+ 1
de
xn
x7→ln1 +x+x22! +  +!
n

Exercice 5 :reo’dr`slatie´lsmintmepeopelevd´eslzenimrete´Dn∈N⋆de la fonction
Arcsinx:Arcsincessives´veesscueddse´iralsvrseuz-seleen´D.iude(n)(0).

Exercice6:D´eveloppementlimit´ed’uneapplicationre´ciproque
Soitf:R→Ronctlafreiape´nfioidnf(x) =xch (x).

1

Semainedu12aoˆut2011

1. Justifiez quefenibejtcoidneuesilae´rReusrlui-mˆeme.Onnotg:R→Rsa
bijectionr´eciproque.
2. Montrez quegemutdavelond´eentlppema`e´timi5erdro’lafel0denmeor

g(u) =a1u+a3u3+a5u5+o(u5)

3.De´terminezced´eveloppementenexploitantlarelationg◦f=idR.

Calculs de limites

Exercice 7 :aviusetn:etssilimlzseimeneterD´
x
1. lxi→m0si1n2x−x124.xli→m0siensixnx−−taenx
2. lxi→m01x−l1(n+1x li) 5.→m0sisocnxx−x1
x
3. lxi→m0(1 +x)1x−e6.xli→mln(e+x)1x
.
x0

Exercice 8 ::esntvauissD´etimetseilenlzreim
1.xli→m21(2x2−3x+ 1) tan(πx l). 4.→im+∞sinx cos 11 +xx.
x
2. lim sixn2(x−−2x 5.2) .xl→i+m∞n+lln(1xx)xlnx.
x→2
ex2+x−e2x
m
3.xli→1cos(2πx) . 6.xl→i+m∞x2ex1−ex1+1

Exercice 9 :Calculez les limites suivantes
1.un=cos3nnπ+1+ sin6nn+π1n
2.un=e−(1 + 1n)n√n2+2−√n2+1
.

aCtnsvaleequisd’´lcul

Exercice 10 :cnitnose0,desfoisinagedelpmovuaelavistnn´zuuieqeretnemi´D
suivantes :
1.4xx7.→ex−e−x+2 sin(x)+sin(2x)−4.x7→x(2 + cosx)−3 sinx
2.x7→xx−(sinx)x5.x7→cratns(Ainx)−Arctan (sinx).
)6.x7→sin(ln(1 +x))−ln(1 + sinx)
3.x7→(e+x)e−e(e+x.

Exercice 11 :e´Dezinrmteivqu´eunoisinagealentauv
Arctan (xx+ 1 )

de

+∞de

Exercice 12 :nimrnuzeDete´s:teimplentsival´equvinaseusustidese
1.un=x(n√2−1).
2.un=4(natπ+ 1n)n.
3.un=ne−(1 + 1n)n
4.un=nn+n1−(n−1)nn−1.

x

→

π
−
4

veloppementsasymDe´euqitotps
Exercice 13 :Au voisinage de +∞velond´eentlppem´dte,enuzreime´s´eenliraitimg´´e
des fonctions suivantes :
3
1.x7→sxparcesi1+`,laniox12
´
x
2.x7→(x+ 1)e1xsice´rpala`,ionx12
2
3.x7→1x−x e1xcesiopai´nr`,lax1

Exercice 14 :
F(x) =Zxx2√1d+tt4.
1.De´terminezleDL10(0) de
2.Donnezlede´veloppementasymptotique`al’ordre5auvoisinagede+∞de
Zx2x√1d+tt4.
G(x) =
Indication :commencez par le changement de variableu=t.1

Exercice 15 :consid`eOntaoiner’le´uq

(1)

(x2+ 1) sinx= 1

1. Soitn∈Ntdenemctinacxreu)3(euqzeaxetemda´teeseonsM.e´rtnoxfian
etbndans l’intervalle [2nπ; (2n+ 1)π].
2.D´eterminezunde´veloppementasymptotiquede(an) et (bnonsici´eprla`a)n14.

´
Etudes de fonctions
parf=x√x2+ 1
Exercice 16 :Soitfla fonctio
nd´efiniesurR {1}(x)x−1

2

1.Donnezund´eveloppementlimite´a`l’ordre2defitaunoe0nirel’´eq.End´edu
de la tangenteT0Γ`afen 0 et leurs positions relatives au voisinage de 0.
2.iMfionniteredzequΓeffau(xiso)i=vxaned3e2g1++x++∞o+.∞1xeEnd´eduirelaanuteredalrbnahc
n
Exercice 17 :Soitf:R+⋆→Rnfieide´aprf(x) =xln(2x+ 1)−lnx.
1.Donnezunde´veloppementlimite´a`l’ordre2def(x) en +∞.
x
2.De´duisez-enqueΓfadmet une asymptote oblique en +∞leezisecr´.P-ipsso
tions relatives de Γfet de son asymptote.

Exercice 18 :Soitf:]−π2;π2[{0} →Rtcoidne´nfieiapr,lafonf(x) =
1+
e√sinx−e. Etudiez la fonctionfau voisinage de 0 :
tanx
1.fraeoclbpelglnpaeeotrsoel-?een0uit´ntin
2. Γf ?admet-elle une tangente en 0
3. Quelles sont les positions relatives de Γfnegne´etedteatase?ntvellue

Correction des exercices

Exercice 1 .—1.f(x) = 2x23+x3+ o(x3)
121
2.f(x) =−6x−0x4+ o(x4)
18
3.f(x) =e12+e x84+1e x3+ o(x3)
4.f(x(2)+)=ln12x−18x2−421x3+ o(x3)
5.f(x) =π3√−38x2−917√23x4+ o(x5)
6.f(x) =x2−12x3+ o(x3)
1 11
7.f(x) =e−2e x24+e x2+ o(x2)
8.f(x) =√2 +√28x−251√82x2+ o(x2)
Exercice 2 .—1.f(x+1238)=x2−841x3+ o(x13)
x
2.f(x)=1+13−19x2+ o(x12)
x
1
3.f(x=)321+801x2+ o(x2)
4.f(x) = ln(2) + 4 1x2−332x4+ o(x15)
Exercice 3 .—1.f(x) =√2+2√2(2x−4π)−√(42x−π4)2−√2(21x−π4)3+
o((x−4π)3)
2.f(x) =x−1−(52x−1)23+31(x−1)3−7712(x−1)4+ o((x−1)4)
3.f(x) = 1−4 (x−π4 )2+ o((x−4π)3)
4.f(x) = arcsin(√4313)+√3(13x−π6)−2√69311√(3x−6π)2+ o((x−6π)2)
5.f(x) = 4 ( + (4 + 4 ln(2))x−2) + (3 + 4 ln(2) + 2 ln(2)2) (x−2)2+2+3(
3 ln(2) + 2 ln(2)2+23ln(2)3) (x−2)3+ o(x−2)3
6.f(x) =√3 (x−π6 )−2 (x−6π)234+√(3x−π6 )3+ o((x−π6 )3)
7.f(x) = 1−(x−1) + o((x−1)3)
8.x=e−1+ 2e1x−π2+ ox−π2
−

3

Exercice 4 .—
ln1 +x+x2nx!n(=nxn++11)! +o(xn+
2! +  +x−1)

Exercice 5 .—

2n+1
Arctan (x) =x−x33+x77−   + (−1)n2xn+ 1 +o(x2n+1)

Exercice 6 .—1. use the bijection thm
2.f(x) =x+x23+x5(
24 +o x5).
3.g(x) =x−x23+712x45+o(x5).

1
=
Exercice 7 .—1. lxi→m0f(x3)
−1
2.xli→m0f(x 2) =
3. limf e
x→0(x 2) =
4.xlim0f(x) 1
=
→3
5. lxi→m0f(x) = 0
6. lime1e
x→0f(x) =

x→12f(x) = 1π
Exercice 8 .—1. lim
2. lim
x→2f(x) =−4 ln(2) + 4
3. limf(x 2) =e2

x→1π
4.xl→i+m∞f(x) =e

5.xl→i+m∞f(x) =e
6. limx= 1

Exercice 9 .—

1.

2.nl→im+un= 1
∞

limu
n→+∞n

=e(π2√4 3)

Exercice 10 .—1.f(x)∼2x
2.f(x)∼16x3
3.f(x)∼ −21e(−1+e)x2
1
4.f(x)∼60x5
5.f(x)∼310x7
6.f(x)∼211x4

Exercice 11 .—

Exercice 12 .—1.un∼ln(2)
2.un∼e2
3.un∼(−1 +e)n
4.un∼1

f(x)∼21x

Exercice 13 .—1.f(x) =x−12+83−156x2+ o(x12)
x
2.f(x) =x+ 2 +23x+3 2x2+ o(x12)
3.f(x) =−x−2−25x+ o(1x)

Exercice 14 .—1.F(x) =−x+x2+011x5−421x9−110x10+ o(x10)
2.G(x) =x−1301x5+ o(x5)

4