Exercices d'algèbre - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Nombres complexes : indications et réponses

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Ensembles et applications (2) Nombres réels (3) Nombres complexes (4) Polynômes. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 66
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre 1
Réponses et Indications (Nombres Complexes)

Exercice 1
1) La racine imaginaire pure est (−3i) . Chercher la racine sous la formeiy avecy
réel, et séparer les parties réelles et imaginaires.
2) S−={3i,−1+2i,3−i}. Factoriser par (z+3i : résoudre l’équation) et
2
z−(2+i)z−1+7i= discriminant0 deΔ =7−24i=(4−3i)2.

Exercice 2
Chercher successivement la racine réelle et la racine imaginaire pure, toujours en
séparant les parties réelles et imaginaires, puis factoriser.
S1=−12,3i, 1−2i, 2−i S2={−2,−i,−1−i, 1+2i}

Exercice 3
1) S1={1−2i, 3−i}carΔ =8−6i=(3−i)2.
2) S2=cotannkπ/k∈1,n−1. Se ramener à :zz+−iin=1.

α+ π, 1−α+ π/0, 1

3) S3=ei2kn/k∈0n−∪ei2nkk∈n−. Poser

n
z.
=

Exercice 4
1−) cos 1) cos(
) S=1+(n+2(11−ncxos−xn)n+xcarSest la dérivée de la partie imaginaire de
si(n+1)x
nn
f(x)=eikx=2einx2.
k=0sinx
2
k
sinn

2) S=xcox1xcarSest la partie réelle def(x)=kn=0ceoisxx.
inn−
s s

Exercice 5
1) αet sont 1 réels car= ω.
ω
2) Ecrire que la somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle.
3) −1+s5oc25 π=−1+t e 25isn54π=10+425 .
α =,2
Exercice 6
1) ω =2 2e3iπ4. DoncS=2eiπ4, 2e11iπ12, 2e19iπ12.1(E t+i)3= ω. Donc
S=1+i,−32+1+i32−1,32−1−i32+1os 1,1c21−=π32+is11n t21 e21π=23−2
2) uetvexistent car ils sont solutions deZ2−zZ+2=0 . Etu3+v3= −4 etu3v3=8 .
Doncu3etv3sont solutions deZ2+4Z+8= . et racines0 de
DoncS=2,−3−1, 3−1 en résolvantu3= ω i 2 pz= +.
etv s, uu v
=
u

Exercices de Mathématiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012

1
.

Algèbre 2
Exercice 7
π −
1) soc1π2=6+ien st 2= .6 2
4 12 4
1
2) uetvexistent car sont solutions deZ2−zZ+14=0 . Etu3+v3=et 2 u3v3=.
8 64
+et
Doncu3est solution deZ2−28Z+641= (1 2 racines0 dei)2 1(−i) .
16 16
6 2 2−6
−
,2,4.

+
DoncS=2
4

Exercice 8
Pour les deux questions, raisonner par double implication et utiliser la somme et le
iα21
produit des racinesz1=r1eiα1etz2=r2e:p=2(z1+z2) etq=z1z2.
erz1etz2en fonctionλ =q
Dans les réciproques, exprim dep2.

Exercice 9 (d’après ESCP 1998 voie S)
Partie A : Etude réelle
1) fest décroissante sur ]0, 2[ , croissante sur ] 2 ,+∞[ et lim+f(x)=l→im+∞f(x)= +∞.
x→0x
2) Seul point fixe def .: 2
3) La suite (un . Utiliser le théorème de convergence monotone, vers 2) converge
puis le théorème du point fixe. Pour la récurrence, utiliser le sens de variations def.
Partie B : Etude complexe

1) b=1+i.
2) Utiliser 1w=w2.
w
F z1
3) ) (Utiliser le 2) en remarquant que=1w+oùw=z.
b2w b
4) (La suitewn) est bien définie car−b∉P+. On awn+1=(wn)2, doncwn=w02n.
=mil1wn=0 . Orzn=b1+wndo
w05,d no cnli→m+∞wn=0 , doncn→+∞1−wn, ncnli→m+∞zn=b.

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