Exercices d’algèbre linéaire – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espaces de dimension quelconque

Mathilde Petit

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, proposés en partie avec correction et mettant en avant les "incontournables", sont divisés en 4 séries : (1) Espaces de dimension finie (2) Déterminants (3) Espaces de dimension quelconque (4) Réduction des endomorphismes

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 77
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire (III) : Espaces de dimension quelconque

1. Soitf:x7→−ln(1 +x); on posef0(x) =xet∀k∈Nfk+1=fk◦f.
Démontrer que la famille(fk k∈N)est libre deC(R+R).
Soit une sous-famille finie(fk1  fkp)ordonnée de manière quek1<  < kpet(λ1  λp)∈Rp
p
tel queXλifki= 0.
i=1
fk+1=fk◦f=f◦fk= ln(1 +fk)donc par récurrence immédiate∀k∈Nl+im∞fk= +∞et
donc∀k∈N fk+1=o+∞(fk).
p
Siλ16= 0, alors0 =Xλifki+∼∞λ1fk1ce qui est absurde donc il faut queλ1= 0et ainsi de
i=1
suite jusqu’àλp= 0.
2. SoitEunK−espace vectoriel,pun projecteur etf∈LK(E). Démontrer quepcommute
avecfsi et seulement si Im(p)etker(p)sont stables par f.

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A6-14

On sait que, sipcommute àf, alors Im(p)etker(p)sont stables par f.
Supposons Im(p)etker(p)stables par f et soitx∈E.
Six∈Im(p), alorsf(x)∈Im(p)doncxetf(x)sont invariants parpd’où(f◦p−p◦f)(x) =f(x)−f(x) = 0.
Six∈ker(p), alorsf(x)∈ker(p)donc(f◦p−p◦f)(x) =f(0)−0 = 0.
pest un projecteur donc Im(p)etker(p)sont supplémentaires d’où le casxquelconque.
3. Soitu∈L(E). Prouver queker(u3−u) = keru⊕ker(u−Id)⊕ker(u+Id).
u3−u= (u2−Id)◦udonckeru⊂ker(u3−u)et de mme pourker(u−Id)etker(u+Id).
1)(X+ 1)L1(X) =X(
SoitL0(X () =X(−−1)(1)(1X)(2)+1) L−1(X) = (X−1(X)(−−)2)1la base de Lagrange
deK2[X]associée à(01−1)etx∈ker(u3−u).
Soitx0= (L0(u))(x) x1= (L1(u))(x) x−1= (L−1(u))(x).
L0+L1+L−1= 1doncL0(u) +L1(u) +L−1(u) =IdEetx=x0+x1+x−1.
u3−u
u(x0) = )(1) (x) = 0doncx0∈keruet de mme pour les 2 autres termes.
(−1
On a donc prouvé que :ker(u3−u) = keru+ ker(u−Id) + ker(u+Id).
Soit(x0 x1 x−1)∈keru×ker(u−Id)×ker(u+Id)tel quex0+x1+x−1= 0.
∀(i j)∈ {01−1}2 i6=j⇒(Li(u))(xj) = 0.
x0= (L0(u) +L1(u) +L−1(u))(x0) = (L0(u))(x0) =−(L0(u))(x1+x−1)doncx0= 0et de
mme pourx1etx−1donc la somme est directe.
4. SoitEde dimension finienetu∈L(E)de rangrtel queu◦u= 0L(E). Prouver que
r≤n2et qu’il existe une base deEdans laquelle la matrice deuest0nI−drrr0n0r−nnr−r−r.
Im(u)⊂ker(u)doncr≤n−r.
Soit(εn−r+1  εn)une base de Im(u). Il existe(en−r+1  en)tel que∀i u(ei) =εi.
F= (en−r+1  en)est libre (puisque son image parul’est) etV ect(F)∩keru={0}car
Xλiei= 0⇒Xλiεi= 0⇒ ∀i λi= 0.
i i
Il existe donc une base(e1  en−r en−r+1  en)adaptée àkeru⊕V ect(F)qui répond à la
question.
5. SoitE=C([01]C). Pourf∈E, on poseφ(f)(x) =x1Z0xf(t)dtsix6= 0etφ(f)(0) =f(0).
Démontrer queφest un endomorphisme deE. Est-il injectif surjectif ? ? Déterminer ses
éléments propres.a0-088
x
D’après le thm fondamental,F=x7→ZfetΦ(f)sontC1doncC0sur]01].
0
Φ(f)(x) =F(x)−F(0) ) =f(0)doncΦ(f)est continue en0+.
x−0→x→0F0(0
De plus∀doncφest linéaire.
f∈ker Φ⇐∀⇒x∈]01] F(x) = 0etf(0) = 0.
F∈ C1([01])donc∀x∈]01] F(x) = 0⇐∀⇒x∈[01] F(x) = 0⇐⇒(F(0) = 0et∀x∈[01] F0(x) =f(x) = 0

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

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a6-16

Prouver queE=Im(f)⊕ker(f).Mines

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Algèbre linéaire (III) : Espaces de dimension quelconque

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

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10. Soitf= (x7→xexcosx) g= (x7→exsinx) h= (x7→arctanx). Prouver que(f g h)est une famille libre deRR.
11. Soitnréelsa1 a2  an; pour tout entierkΦk(x) =x21+a2k; la famille desΦkest-elle libre dans l’espace des
applications deRdansR?Mines
12. SoitEunR−espace vectoriel etf∈L(E)pour lequel il existe un polynômeP∈R[X]tel que :
P(0) = 0 P0(0)6= 0 P(f) = 0

∈K)

7. Soitp1 p2  pnnprojecteurs d’unK−espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que :p1+p2++pnest un projecteur∀⇐⇒(i j)pi◦pj=δjipi
n n
(On pourra montrer que Im(Xpi) =MImpi.)
1 1
8. SoitEunK−espace vectoriel de dimension quelconque etpun entier naturel non nul.
φ1  φpsont des formes linéaires surE.
Démontrer que(φ1  φp)libre⇐⇒(x∈E7→(φ1(x)  φp(x))∈Kp)surjective.
9. SoitE=Mn1(R),E?son dual etE??le dual deE?. Prouver queΘ :X∈E7→Θ(X) = (Y∈E7→tX Y
est un isomorphisme entreEetE??
.

A7-060

6. DansE,K-espace vectoriel de dimension finien, soitf1 f2 fnnendomorphismes nilpo-
tents et deux à deux permutables.
Montrer que :f1◦f2◦f3◦◦fn= 0.
Soitgk=fn−k◦◦fnetrk=rg(gk)pourk= 0n−1. Il s’agit de prouver quern−1= 0.
Sik≤n−2, alors Im(gk+1) =fn−k−1(Im(gk))doncrk+1≤rk:(rk)est une suite finie décrois-
sante d’entiers naturels.
Supposonsk≤n−2etrk6= 0.
gkcommute avecfn−k−1doncfn−k−1induit un endomorphismehde Im(gk)et Im(h) =Im(gk+1).
Le thm du rang donne :dim(Im(gk ker)) = dimh+ dimImhsoitrk= dim kerh+rk+1.
hest nilpotent sur Im(gk)qui n’est pas l’espace{0}doncdim kerh≥1non inversible donc
rk+1< rkie la décroissance est stricte.
Il y a donc 2 cas possibles : ou bienrn−2= 0; alorsrn−1≤rn−2= 0. Ou bienrn−26= 0; alors
rn−1< rn−2< rn−3<  < r0=rg(fn);fnest nilpotent surE6={0}doncr0≤n−1et encore
rn−1≤0.

donckerφ=O).
Im(φ)⊂ C1(]01])∩ C0([01])doncΦn’est pas surjective.
Φest injectif donc0n’est pas valeur propre. Soitλ∈R∗.
((1)f∈ C0([01])etφ(f) =λf)⇐⇒(f∈ C0([01])et∀x∈[01[ F(x) =λxf(x)etf(0) =λf(0)).
Casλ6= 1:
Alors(1)⇐⇒f∈ C0([01])etfx(−0)>=F0(x)−λxf(x)est constante sur]01]
xli→m0F(x)−λxf(x) = 0
orf=IFdestC1sur]01]donc
(1)⇐⇒f∈ C0([01])etf(0) = 0x)−λf(x) = 0
∀x∈]01] f(x)−λxf0(
(1)⇐⇒f∈ C0([01])et∀x∈]01] f(x) =Kx1λ−λ(2).
λest valeur propre si et seulement s’il existeK6= 0tel queFdéfinie en(2)est de lim-
ite0en0ie ssi1−λλ>0ouλ∈]01[. L’espace propre est alors la droite engendrée par
1−λ
x7→xλsix6= 00sinon.
Casλ= 1:(1)⇐⇒f∈ C0([01])etf=K.1est valeur propre etE1est l’ensemble des
constantes deC0([01]).

Algèbre linéaire (III) : Espaces de dimension quelconque

13. SoitVun espace vectoriel de dimensionn,W1etW2deux sous-espaces deVde mme dimensionq. Démontrer
queW1etW2ont un supplémentaire commun.
14. SoitEunK−espace vectoriel de dimension n,f∈L(E)nilpotent d’ordrep,a∈Etel quefp−1(a)6= 0et
F=Vectf(k)(a)k∈N.
(a) Prouver quef(k)(a)k∈[0p−1]est une base deF.
(b) Soitϕ∈E∗tel queϕ(f(p−1)(a))6= 0; prouver queϕexiste. SoitH={x∈E∀k∈Nϕ◦fk(x) = 0};
démontrer queHest un supplémentaire deFstable parf.
(c) Décrire la matrice defdans une base adaptée àF⊕H.
Prouver qu’il