Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Variables aléatoires à densité: indications et réponses

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Dénombrement

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2013
• Nombre de lectures: 74
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Réponses de Probabilités  

1 --

Réponses et Indications (Variables aléatoires à densité)   Exercice 1 1)  k= .  2 3 3 2)  F(x)= 0 six<0 F(x)= 23 1 x 2 (6−x ) si 0≤x≤4 F(x)= 1 six>4 . 3)  E(X)= 2 et V(X)= 4 .   5 4)  g(x)= 61 3 x 3 (4−x 2 ) si 0≤x≤2 et g(x)= 0 sinon. Exprimer la fonction de répartition deYen fonction de celle deX. Exercice 2

1) Fest continue, croissante, de classeC 1 sur  avec lim F(x)= 0 et lim F(x)= 1 . x→ −∞x→ +∞ −x 2) ∀x∈f(x)= (1 e −x ) 2 . +e 0 +∞ 3)  E(X)= 0 . Montrer la convergence absolue de  xf(x)dx et de  xf(x)dx . −∞0 Exercice 3 (d’après Oral ESCP 2012) +∞ 1) fest continue et positive sur  et  f(x)dx= 1. −∞ Pour le calcul de l’intégrale, utiliser le changement de variableu=e x . 2) a) ∀x∈F(x)=ra( 2 ancte x ) . π b) Xa une espérance et E(X)= 0 . 3) a) g(x)= π(1+ 2 x 2 si   ) x>0 et g(x)= 0 sinon. Exprimer la fonction de répartition deYen fonction de celle deX. b) La variable aléatoireYn’admet pas d’espérance. Exercice 4 1) kα. = 2) a) F(x)= 1    1− 1 α    six≥1 et F(x)= 0 six<1. α x b) Xa une espérance si et seulement siα >1. Alors E(X)= .  1 α −  (X)= c) Xa une variance si et seulement siα > Alors2 . V (α −2)(α −1) 2 . Exercice 5 1) Dans chaque cas, exprimer la fonction de répartition deYen fonction de celle deX. a)  g(x)= 3s  i 1 4 ≤x≤7 et g(x)= 0 sinon. b)  g(x)= is  2 1  −1≤x≤1 et g(x)= 0 sinon.