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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 85 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Sommes
Exercice 1[ 02062 ][correction]
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
n n n n n
a)Xα+ai=α+Xaib)Xai+bi=Xai+Xbi
i=1i=1i=1i=1i=1
n n n n n
c)Xαai=αXaid)Xaibi=XaiXbi
i=1i=1i=1i=1i=1
e)Xaiαif)X Xaij=X Xaij?
n=i=nX1a! nα n n n
i=1j=1i=1i=1j=1
Exercice 2[ 02063 ][correction]
Etablir l’une des trois formules suivantes :
n
a)Pk=n(n2+1)b)Pnk2=n(n(6)21+n+1)c)Pnk3=n2(n+14)2
k=1k=1k=1
Exercice 3[ 02064 ][correction]
n n
A partir des valeurs connues dePketPk2, calculer :
k=1k=1
n
a)Pk(k+ 1)b)1n+ 2(n−1) +∙ ∙ ∙+ (n−1)2 +n1.
k=1
Exercice 4[ 02065 ][correction]
Calculer
n
X(−1)kk
k=1
Exercice 5[ 02066 ][correction]
n
Montrer que la suite de terme généralun=Pn+1kest strictement croissante.
k=1
Exercice 6[ 02067 ][correction]
Montrer
n
∀n∈NXk!6(n+ 1)!
k=0
Enoncés
Exercice 7[ 02068 ][correction]
Calculer
Exercice 8[ 02069 ][correction]
a) Calculer
nk
kX=1(k+ 1)!
p
Xkk!
k=1
b) Soitp∈N. Montrer que pour toutn∈[0(p+ 1)!−1], il existe un(p+ 1)
uplet(n0 n1 np)∈Np+1tel que
p
∀k∈[0 p]06nk6ketn=Xnkk!
k=0
c) Justifier l’unicité d’une telle suite.
Exercice 9[ 03640 ][correction]
Soient(x1 xn)et(y1 yn)deux suites réelles monotones. Comparer
1n
n1nk=X1xk! n1kXn=1yk!etnX
xkyk
k=1
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
b) c) f)
Exercice 2 :[énoncé]
Par récurrence.
Exercice 3 :[énoncé]
a) En séparant la somme
b) On réécrit
nXk(k+ 1) =nXk2+nXk=n(n+ 1)(n+ 2)
3
k=1k=1k=1
n
1n+ 2(n−1) +∙ ∙ ∙+ (n−1)2 +n1 =Xk(n+ 1−k)
k=1
et on réorganise
n n n
Xk(n+ 1−k) = (n+ 1)Xk−Xk2=n(n6()1+n+ 2)
k=1k=1k=1
Exercice 4 :[énoncé]
D’une part
2p p
X(−1)kk=X(−(2`−1) + 2`) =p
k=1`=1
et d’autre part
2p+1
X(−1)kk=p−(2p+ 1) =−(p+ 1)
k=1
Ainsi
nn2sinest pa
X
k=1−1)kk(=−1)n(n+ 1)2ripair
(sinest im
Corrections
Exercice 5 :[énoncé]
n+1n
un+1−un=k=P1n+1+1k−k=P1n+1k=2n+21+2n1+1−n1+1=2n1+1−2n12+>0.
Exercice 6 :[énoncé]
Par récurrence surn∈N, sachant
(n+ 1)! + (n+ 1)! = 2(n+ 1)!6(n+ 2)!
Exercice 7 :[énoncé]
n(k+1)n
kPn=1 (k+k1)!=k=P1 (k+1)−1!=kP=1k1!−(k)!1+1=nkP=1k1!−k=nP1 (k1+)1!= 1−(n!1)+1.
Exercice 8 :[énoncé]
a) En écrivantk= (k+ 1)−1
p p
Xkk! =X(k+ 1)!−k! = (p+ 1)!−1
k=1k=1
2
b) Par récurrence forte surp>0.
Pourp= 0: ok
Supposons la propriété établie jusqu’au rangp>0.
Soitn∈[0(p+ 2)!−1].
Réalisons la division euclidienne denpar(p+ 1)!:n=q(p+ 1)! +ravec
06r <(p+ 1)!.
Puisque06n <(p+ 2)!on a06q6p+ 1.
p
Par hypothèse de récurrence, on peut écrirer=Pnkk!et en prenantnp+1=q
k=0
p+1
on an=Pnkk!.
k=0
Récurrence établie.
p p
c) Supposonsn=Pnkk! =Pn0kk!avec les conditions requises.
k=0k=0
Sinp< n0alors
p
p p−1p
Xnkk!6npp! +Xkk! = (np+ 1)p!−1< n0pp!6Xn0kk!
k=0k=0k=0
Ceci est absurde donc nécessairementnp>n0ppuis par symétrienp=n0p.
On simplifie alors le termenpp!et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.
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Exercice 9 :[énoncé]
Etudions la différence
1nnkX=1xkyk−n1kXn=1xk! 1nkn=X1yk!
n n n
=n12Xnxkyk−X Xxky
k=1k=1`=1
ce qui donne encore
1Xn
k=1k−n1k=nX1xk! n1nkX=1yk!=n12nkX=1`=Xn1(xkyk−xky`)
xky
n
Or
n n n n
X X(xkyk−xky`) =X Xxk(yk−y`) =
k=1`=1k=1`=1
Corrections
`!
xk(yk−y`)
Xxk(yk−y`)+X
16`<k6n16k<`6n
Par changement d’indice, on peut réécrire la dernière somme
Xxk(yk−y`) =Xx`(y`−yk)
16k<`6n16`<k6n
et alors
n n
X X(xkyk−xky`) =X(xk−x`) (yk−y`)
k=1`=1 16`<k6n
Les termes sommés sont alors tous de mme signe, à savoir positif si les suites
(xi)16i6net(yi)16i6nont mme monotonie et négatifs si ces deux suites sont de
monotonies contraires.
Au final, si les deux suites ont mme monotonie alors
n
X
1nk=1xk! n1nk=X1yk!61nnkX=1xkyk
et si les deux suites sont de monotonies contraires alors
n1kXn=1xkyk6n1k=Xn1k! 1nkXn=1yk!
x
3
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