Sujet : Géométrie, Géométrie du plan, Le triangle

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Le triangle Etude géométrique élémentaire du triangle : Soit ABC un triangle du plan affine euclidien. a) On note M,N,P les milieux respectifs de [B,C], [C,A], [A,B] et GExercice 1 [ 01926 ] [correction] l’isobarycentre de ABC. Déterminer une homothétie h qui transforme M,N,P enSoit (ABC) un triangle non aplati du plan. On note a =BC,b =CA,c =AB, respectivement A,B,C.ˆ \A =CAB∈ ]0,π[ En déduire que les médianes du triangle s’interceptent en G.2 2 2 ˆEtablir la formule d’Al-Kachi : a =b +c − 2bc cosA. b) On note Δ , Δ , Δ les médiatrices des segments [A,B], [B,C], [C,A]. Montrer1 2 3 que ces trois droites s’interceptent en un point O et qu’il existe un cercle de centre O passant par A,B,C.Exercice 2 [ 01927 ] [correction] Le point O est appelé centre du cercle circonscrit au triangle ABC.[Loi des sinus] c) On noteD ,D ,D les hauteurs du triangles ABC issues de A,B,C. MontrerSoit (ABC) un triangle non aplati. On note a =BC,b =CA,c =AB, 1 2 3 queD ,D ,D sont respectivement les images par l’homothétie h de O des droitesˆ \ ˆ \ ˆ \ 1 2 3A =CAB∈ ]0,π[, B =ABC, C =BCA. Montrer Δ , Δ , Δ .1 2 3 a b c En déduire queD ,D ,D s’interceptent en un point H appelé orthocentre du1 2 3= = = 2R ˆ ˆ ˆ triangle ABC.sinA sinB sinC Justifier que O,G et H sont alignés dans cet ordre.avec R rayon du cercle circonscrit. d) On note D ,D ,D les bissectrices intérieures du triangle ABC issues de1 2 3 A,B,C.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

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Le triangle

Exercice 1 [ 01926 ] [correction] Soit(ABC)un triangle non aplati du plan. On notea=BC b=CA c=AB, ˆ \ A=CAB∈]0 π[ Etablir la formule d’Al-Kachi :a 2 =b 2 +c 2 −2bccosA ˆ .

Exercice 2 [ 01927 ] [correction] [Loi des sinus] Soit(ABC)un triangle non aplati. On notea=BC b=CA c=AB, ˆ \ ˆ \ ˆ \ A=CAB∈]0 π[,B=ABC,C=BCA. Montrer

a b c = = = ˆ ˆ ˆ  2R sinAsinBsinC avecRrayon du cercle circonscrit.

Enoncés

Exercice 3 [ 01928 ] [correction] Soit(ABC)un triangle non aplati. Montrer qu’il existe une homothétie transformant les sommets du triangle en les milieux des côtés opposés. En déduire que médianes, les médiatrices et les hauteurs sont concourantes et que les points de concours sont alignés.

Exercice 4

[ 01929 ] [correction]

1

Etude géométrique élémentaire du triangle : SoitABCun triangle du plan affine euclidien. a) On noteM N Ples milieux respectifs de[B C],[C A],[A B]etG l’isobarycentre deABC. Déterminer une homothétiehqui transformeM N Pen respectivementA B C. En déduire que les médianes du triangle s’interceptent enG. b) On noteΔ 1 Δ 2 Δ 3 les médiatrices des segments[A B][B C][C A]. Montrer que ces trois droites s’interceptent en un pointOet qu’il existe un cercle de centre Opassant parA B C. Le pointOest appelé centre du cercle circonscrit au triangleABC. c) On noteD 1 D 2 D 3 les hauteurs du trianglesABCissues deA B C. Montrer queD 1 D 2 D 3 sont respectivement les images par l’homothétiehdeOdes droites Δ 1 Δ 2 Δ 3 . En déduire queD 1 D 2 D 3 s’interceptent en un pointHappelé orthocentre du triangleABC. Justifier queO GetHsont alignés dans cet ordre. d) On noteD 1  D 2  D 3 les bissectrices intérieures du triangleABCissues de A B C. Montrer que ces trois droites s’interceptent en un pointIse situant à égale distance des droites(AB)(BC)(CA). Montrer qu’il existe un cercle de centreIet tangent aux droites(AB)(BC)(CA). Le pointIest appelé centre du cercle inscrit dansABC.

Exercice 5 [ 01930 ] [correction] On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct. SoientA B Ctrois points du plan d’affixes respectivesa b c. Etablir : a)(ABC)est un triangle équilatéral direct si, et seulement si,a+bj+cj 2 = 0. b)(ABC)est un triangle équilatéral si, et seulement si,a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca.

Exercice 6 [ 01931 ] [correction] Soient(ABC)un triangle équilatéral du plan etMun point à l’intérieur de celui-ci. Montrer que la somme des distances deMaux trois côtés de(ABC)ne dépend pas deM. (indice : introduire un repère adapté)

Exercice 7 [ 01932 ] [correction] Soit(ABC)un triangle non aplati. Sur chacun de ses côtés, on construit un triangle équilatéral extérieur au triangle(ABC). Montrer que les centres de ses triangles équilatéraux sont les sommets d’un triangle équilatéral.

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Exercice 8X PC [ 03352 ] [correction] Soienta b ctrois complexes distincts vérifiant

|2a−b−c|=|2b−a−c|=|2c−a−b|

Montrer que le triangle dont les sommets ont pour affixesa b cest équilatéral.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé] 2 −→ 2 − a 2 =  B −→ C  2 =  −A −→ B+ − A → C    +  A → C  2 −2A −→ BA −→ C=b 2 +c 2 −2bccosA ˆ . =AB

Exercice 2 :[énoncé] NotonsOle centre du cercle circonscrit etIle milieu du segment[B C]. Par le théorème de l’angle au centre

ˆ Par suiteBI=RsinApuis

[ ˆ BOI=A

ˆ a=BC= 2RsinA

Les autres relations s’obtiennent par permutation.

Exercice 3 :[énoncé] L’homothétie de centreGde gravité du triangle et de rapport, centre −12est solution. Les médianes concourent enG. Les médiatrices sont bien entendu concourantes. Les hauteurs sont transformées en les médiatrices par l’homothétie introduite d’où la conclusion.

Exercice 4 :[énoncé] a) Par l’associativité du barycentre, l’homothétiehde centreGet de rapport−2 convient. Par suiteGappartient aux droites(AM)(BN)et(CP). b)Δ 1 etΔ 2 s’interceptent en un pointOtel queOA=OBetOB=OC. On a alorsOA=OCi.e.O∈Δ 3 . Le cercle de centreOet de rayon R=OA=OB=OCconvient. c) La droiteh(Δ 1 )passe parh(M) =Aet est parallèle àΔ 1 . CommeΔ 1 et(BC)sont perpendiculaires il en est de mme deh(Δ 1 )et(BC). Par suiteh(Δ 1 ) =D 1 . De mme :h(Δ 2 ) =D 2 eth(Δ 3 ) =D 3 . CommeΔ 1 Δ 2 Δ 3 s’interceptent enO,D 1 D 2 D 3 s’interceptent enH=h(O). Commehest une homothétie de rapport négatif,O GetHsont alignés dans cet ordre. d)D 1 etD 2 s’interceptent en un pointItel que d(I(AB)) =d(I(AC))etd(I(BA)) =d(I(BC)).

3

On a alorsd(I(CA)) =d(I(CB)), ainsiIévolue sur l’une des deux bissectrices de l’angle enC. CommeIest un point deD 1 distincts deAet queD 1 est la bissectrice intérieure du triangleABCenA,Iest point tel queBetCsoient de part et d’autre de la droite(AI). De mmeAetCsont de part et d’autre de(BI). Mais alorsAetBsont de part et d’autre de(IC)et donc(IC)est la bissectrice intérieure de l’angle enC. AinsiD 1  D 2  D 3 s’interceptent enI. Le cercle de centreIet de rayonr=d(I(AB)) =d(I(BC)) =d(I(CA))est tangent aux droites(AB)(BC)(CA).

Exercice 5 :[énoncé] a)(ABC)équilatéral direct si et seulement si la rotation de centreest un triangle Cet d’angleπ3envoie le pointBsur le pointAce qui en terme d’affixe se relie : a=c+ (−j)(b−c)soit a+jb+j 2 c= 0

b) Comme ci-dessus(ABC)est un triangle équilatéral indirect si, et seulement si,

a+j 2 b+jc= 0

Par suite(ABC)est un triangle équilatéral si, et seulement si,

soit

(a+jb+j 2 c)(a+j 2 b+jc) = 0

a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca

Exercice 6 :[énoncé] NotonsOle projeté orthogonal deAsur(BC). ~ ~ SoitR= (O i j)le repère orthonormé défini avec ~ B −→ O −→ A i= C BC  ~ j= OA Notonsala demi arte du triangleABC. Dans le repèreR, on a les coordonnées A(0 √ 3a) B(−a0) C(a0)

et les équations de droite (AB) : √ −3x+y= √ 3a(BC) :y= 0(CA) : √ 3x+y= √ 3a

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Pour tout pointM(x y), d(M(AB)) =  √ −3x 2 +y− √ 3a   d(M(BC)) =|y| d(M(CA)) = CommeMest a l’intérieur deABC: − √ 3x+y− √ 3a60 y>0 √ 3x+y− √ 3a60

Corrections

 √ 3x+y √ −3a  2

puis d(M(AB)) +d(M(BC)) +d(M(CA)) == √ 3a Une autre démonstration possible : calculer l’aire du triangle(ABC)comme somme des aires des triangles(ABM),(AM C)et(M BC).

Exercice 7 :[énoncé] ˆ ˆ ˆ On introduit les notations standard du triangle :a b c A B C. ˆ Par Al-Kachi :a 2 =b 2 +c 2 −2bccosA. La distance deBetCau centre du triangle équilatéral construit sur[BC]est √ a 3 . L’arte du côté deAdu triangle joignant les centres des triangles équilatéraux a pour longueurdavec en vertu d’Al-Kachi (dans le triangle de sommetA) : d 2 = b 3 2 + c 3 2 − 2 3 bccos(A ˆ + π 3 ). ˆ )  = b 2 c cos ˆ √ 3 bcsinA= ˆ b 4 2 + c 4 2 − a 4 2 − 4 √ R 3 abcvia la loi des sinus. bccos(A+ 3 π A− 2 Par suited 2 = a 2 +b 6 2 +c 2 + 2 a √ b 3 c R (Rrayon du cercle circonscrit). L’expression obtenue est symétrique ena,betc, les deux autres artes du triangle étudié seront donc égales à la première. Finalement le triangle obtenu est équilatéral.

Exercice 8 :[énoncé] Posons a+b+c ω= 3 l’affixe du barycentre des sommets du triangle. L’hypothèse posée donne

|a−ω|=|b−ω|=|c−ω|

donc le barycentre est aussi centre du cercle circonscrit au sommet du triangle (qui est nécessairement non aplati). Puisque le barycentre est aussi le centre du cercle circonscrit, le triangle est équilatéral (on le montre par exemple en affirmant que médianes et médiatrices issues d’un côté sur lequel ne figure pas le point désigné parωsont confondues).

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