Cours sur le traitement du signal

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Extrait

Universit´e d’Orl´eans 2009/2010
UFR Sciences
Master PSPI
– Traitement du Signal –
Partie I
Sommaire
1 G´en´eralit´es et rappels 2
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Signaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Syst`eme Lin´eaire Invariant Causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
´1.5 Energie et puissance d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Signaux Continus D´eterministes 4
2.1 Signaux d’´energie totale finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Transform´ee de Fourier et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Th´eor`eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Th´eor`eme de Parceval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Signaux `a puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Signaux p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Transform´ee de Fourier des signaux `a puissance moyenne finie . . . . . . . . . 6
2.2.3 Peigne de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Densit´e spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Signaux discrˆets 9
3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
´3.2 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
´3.2.1 Echantillonnage id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2 Th´eor`eme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.3 Interpolateur de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
´3.2.4 Echantillonnage r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
´3.2.5 Echantillonneur-bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.6 Filtre de garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Transform´ee de Fourier discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 les algorithmes de TFD rapides : FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Syst`emes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.1 Passage du plan complexe p au plan complexe z . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.2 Fonction de transfert de syst`eme ´echantillonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11 G´en´eralit´es et rappels
1.1 Introduction
L’objectif in fine du traitement du signal est de trouver des moyens math´ematiques pour extraire
l’information pertinente (celle qui pour nous a un sens) d’un signal.
Cela passe ´eventuellement par diff´erentes ´etapes comme capter, modifier, transmettre, analyser ce
signal.
Les applications sont larges. Ells vont des t´el´ecommunications aum´edical en passant par la recherche
scientifique. Une exp´erience scientifique passe n´ecessairement par une mesure faite par un capteur.
Il faut alors mettre en forme le signal issu du capteur pour l’envoyer `a une unit´e de traitement en
se d´ebarassant de signaux parasites (le bruit). Chaque ´etape de cette chaˆıne d’acquisition, fait appel
aux techniques de traitement du signal. Les outils math´ematiques mis en oeuvre sont eux mˆemes
forts diff´erents suivant le type de signal trait´e.
On peut classifier les signaux comme suit :
• continus/discrets
• d´eterministes/al´eatoires
• p´eriodiques ou non
• ´energie/puissance finies
• 1D/2D/...
Notons que la puissance des ordinateurs et les facilit´es de mise en oeuvre du traitement du signal
(parrapportaumondeanalogique)ouvreunchapˆıtreentierappel´e:DigitalSignalProcessing (DSP).
1.2 Signaux particuliers
• Fenˆetre rectangulaire : (
1 si|t|<T/2
rect (t) = (1)T 0 sinon
• Dirac : l’impulsion de Dirac δ(t) peut-ˆetre vue comme la limite de fonctions :
1– rectangulaire : δ(t) = lim rect (t)TTT→0
21 t√– gaussienne : δ(t) = lim exp(− )22T2πTT→0
sin(πt/T)1– sinus cardinal : δ(t) = lim
T πt/TT→0
´• Echelon :  0 si t< 0
Γ(t) = 1/2 si t = 0 (2) 1 si t> 0
1.3 Produit de convolution Z ∞′ ′(x∗y)(t) = x(t)y(t −t)dt (3)
−∞
2G
.4 1
1 1
0
0 0 0
−T 0 T −2T −T 0 T 2T −3T −2T −T 0 T 2T 3T 0
t t t t
rect (t) Gaussienne Sinus cardinal Γ(t)T
Figure 1: Quelques signaux
1.4 Syst`eme Lin´eaire Invariant Causal
La relation sortie y(t), entr´ee x(t) d’un syst`eme lin´eaire invariant causal est donn´ee par
Z ∞′ ′y(t) = h(t −t)x(t)dt (4)
−∞
ou` h(t) est la r´eponse impulsionnelle de ce syst`eme. Si x(t) =δ(t), on a bien y(t) =h(t).
On retrouve cette relation en imaginant que le signal d’entr´ee est la superposition d’impulsions
rectangulairessuffisamment ´etroites(devant letempsder´eponse dusyst`eme). Lasortie,par lin´earit´e,
est la somme des r´eponses de chacune des impulsions.
´1.5 Energie et puissance d’un signal
Par analogieavec la puissance dissip´ee par une r´esistance soumise `a une d.d.px(t),on appelle´energie
W (t ,t ) mesur´ee sur l’intervalle de temps [t ,t ] :x 1 2 1 2
Z t2
2W (t ,t ) = |x(t)| dt (5)x 1 2
t1
Puissance P (t ,t ) mesur´ee sur l’intervalle de temps [t ,t ] :x 1 2 1 2
Z t21 2P (t ,t ) = |x(t)| dt (6)x 1 2
t −t t12 1
´Energie totale Z ∞
2W = |x(t)| dt (7)x
−∞
Puissance moyenne totale
Z
1 2P = lim |x(t)| dt (8)x
T→∞T T
3
rect (t)
T
g(t)
g(t)
(t)2 Signaux Continus D´eterministes
2.1 Signaux d’´energie totale finie
Ce sont des signaux tels que
Z ∞
2W = |x(t)| dt<∞ (9)x −∞
Cesontlesseulssignauxphysiquement r´ealisables.Lacondition(9)estsuffisantepourquecessignaux
poss`ede une transform´ee de Fourier.
2.1.1 Transform´ee de Fourier et propri´et´es
Transform´ee de Fourier directe :
Z ∞
TF{x(t)} =X(f) = x(t)exp(−j2πft)dt (10)
−∞
Transform´ee de Fourier inverse :
Z ∞−1TF {X(f)} =x(t) = X(f)exp(j2πft)dt (11)
−∞
remarques :
• La repr´esentation de |X(f)| est le spectre d’amplitude, celle de arg(X(f)) le spectre de phase.
2• |X(f)| donne la densit´e spectrale d’´energie (cf plus loin)
• L’analyse en fr´equence n´ecessite de connaˆıtre le signal sur des temps infinis.
• Notez la sym´etrie des 2 transform´ees directe et inverse. La connaissance de l’ensemble spectre
permet d’avoir acc`es a` x(t) a` tout temps et inversement.
• Op´erationnellement, la transform´ee de Fourier n’est pas possible. Que se passe-t-il si on r´eduit
soit la connaissance de x(t) (on rend le signal `a support compact) ou` si on limite le spectre ?
Quelques propri´et´es :
• Lin´earit´e : TF{a x (t)+a x (t)} =a TF{x (t)}+a TF{x (t)}1 1 2 2 1 1 2 2
• Translation temporelle : TF{x(t−t )} =TF{x(t)}exp(−j2πft )0 0
n
d x n• D´erivation : TF{ } =TF{x(t)}(j2πf)
ndt
1 TF{x(t)}(f/a)• Dilatation temporelle : TF{x(at)} = |a|
∗ ∗• Conjugaison complexe : TF{x (t)} =X (−f)
si x(t) est r´eel, alors
– Re(X(f)) est paire, Im(X(f)) est impaire
– |X(f)| est pair, arg(X(f)) est impaire
Vu la sym´etrie des transform´ees directe et inverse, ces propri´et´es se retrouvent pour la transform´ee
de Fourier inverse.
46
2.1.2 Th´eor`eme de Plancherel
TF{(x∗y)(t)} =TF{x(t)}TF{y(t)} (12)
Application aux Syst`emes Lin´eaires Invariants : Pour un syst`eme lin´eaire invariant de r´eponse im-
pulsionnelle h(t), d’entr´ee x(t) et de sortie y(t), on a
y(t) = (h∗x)(t) (13)
En appliquant la transform´ee de Fourier et en utilisant le th´eor`eme de Plancherel, on a
Y(f) =H(f)X(f) (14)
ou` H(f), transform´ee de Fourier de la r´eponse impulsionnelle, est appel´ee fonction de transfert
isochrone du syst`eme lin´eaire.
2.1.3 Th´eor`eme de ParcevalZ Z∞ ∞∗ ∗x(t)y (t)dt = X(f)Y (f)df (15)
−∞ −∞
car particulier : y(t) =x(t)
Z Z∞ ∞
2 2|x(t)| dt = |X(f)| df (16)
−∞ −∞
2L’´energie totale se retrouve dans le domaine fr´equentiel. |X(f)| df repr´esente la quantit´e d’´energie
2dans la bande de fr´equence [f,f +df], d’ou` le nom de densit´e spectrale d’´energie donn´ee `a|X(f)| .
2.2 Signaux `a puissance moyenne finie
Ce sont des signaux physiquement irr´ealisable. Cependant, on les consid`ere car ils constituent un
outil commode pour mod´eliser des signaux ayant un comportement quasi-permanent. Ils sont tels
que
Z
1
2P = lim |x(t)| dt<∞ (17)x
T→∞T T
Remarques
2• |x(t)| est la puiss