Cours sur le traitement du signal
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Cours sur le traitement du signal

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Universit´e d’Orl´eans 2009/2010UFR SciencesMaster PSPI– Traitement du Signal –Partie ISommaire1 G´en´eralit´es et rappels 21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Signaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Syst`eme Lin´eaire Invariant Causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3´1.5 Energie et puissance d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Signaux Continus D´eterministes 42.1 Signaux d’´energie totale finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Transform´ee de Fourier et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Th´eor`eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Th´eor`eme de Parceval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Signaux `a puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Signaux p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Transform´ee de Fourier des signaux `a puissance moyenne finie . . . . . . . . . 62.2.3 Peigne de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Densit´e spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Langue Français

Universit´e d’Orl´eans 2009/2010
UFR Sciences
Master PSPI
– Traitement du Signal –
Partie I
Sommaire
1 G´en´eralit´es et rappels 2
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Signaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Syst`eme Lin´eaire Invariant Causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
´1.5 Energie et puissance d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Signaux Continus D´eterministes 4
2.1 Signaux d’´energie totale finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Transform´ee de Fourier et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Th´eor`eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Th´eor`eme de Parceval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Signaux `a puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Signaux p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Transform´ee de Fourier des signaux `a puissance moyenne finie . . . . . . . . . 6
2.2.3 Peigne de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Densit´e spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Signaux discrˆets 9
3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
´3.2 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
´3.2.1 Echantillonnage id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2 Th´eor`eme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.3 Interpolateur de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
´3.2.4 Echantillonnage r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
´3.2.5 Echantillonneur-bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.6 Filtre de garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Transform´ee de Fourier discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 les algorithmes de TFD rapides : FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Syst`emes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.1 Passage du plan complexe p au plan complexe z . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.2 Fonction de transfert de syst`eme ´echantillonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11 G´en´eralit´es et rappels
1.1 Introduction
L’objectif in fine du traitement du signal est de trouver des moyens math´ematiques pour extraire
l’information pertinente (celle qui pour nous a un sens) d’un signal.
Cela passe ´eventuellement par diff´erentes ´etapes comme capter, modifier, transmettre, analyser ce
signal.
Les applications sont larges. Ells vont des t´el´ecommunications aum´edical en passant par la recherche
scientifique. Une exp´erience scientifique passe n´ecessairement par une mesure faite par un capteur.
Il faut alors mettre en forme le signal issu du capteur pour l’envoyer `a une unit´e de traitement en
se d´ebarassant de signaux parasites (le bruit). Chaque ´etape de cette chaˆıne d’acquisition, fait appel
aux techniques de traitement du signal. Les outils math´ematiques mis en oeuvre sont eux mˆemes
forts diff´erents suivant le type de signal trait´e.
On peut classifier les signaux comme suit :
• continus/discrets
• d´eterministes/al´eatoires
• p´eriodiques ou non
• ´energie/puissance finies
• 1D/2D/...
Notons que la puissance des ordinateurs et les facilit´es de mise en oeuvre du traitement du signal
(parrapportaumondeanalogique)ouvreunchapˆıtreentierappel´e:DigitalSignalProcessing (DSP).
1.2 Signaux particuliers
• Fenˆetre rectangulaire : (
1 si|t|<T/2
rect (t) = (1)T 0 sinon
• Dirac : l’impulsion de Dirac δ(t) peut-ˆetre vue comme la limite de fonctions :
1– rectangulaire : δ(t) = lim rect (t)TTT→0
21 t√– gaussienne : δ(t) = lim exp(− )22T2πTT→0
sin(πt/T)1– sinus cardinal : δ(t) = lim
T πt/TT→0
´• Echelon :  0 si t< 0
Γ(t) = 1/2 si t = 0 (2) 1 si t> 0
1.3 Produit de convolution Z ∞′ ′(x∗y)(t) = x(t)y(t −t)dt (3)
−∞
2G
.4 1
1 1
0
0 0 0
−T 0 T −2T −T 0 T 2T −3T −2T −T 0 T 2T 3T 0
t t t t
rect (t) Gaussienne Sinus cardinal Γ(t)T
Figure 1: Quelques signaux
1.4 Syst`eme Lin´eaire Invariant Causal
La relation sortie y(t), entr´ee x(t) d’un syst`eme lin´eaire invariant causal est donn´ee par
Z ∞′ ′y(t) = h(t −t)x(t)dt (4)
−∞
ou` h(t) est la r´eponse impulsionnelle de ce syst`eme. Si x(t) =δ(t), on a bien y(t) =h(t).
On retrouve cette relation en imaginant que le signal d’entr´ee est la superposition d’impulsions
rectangulairessuffisamment ´etroites(devant letempsder´eponse dusyst`eme). Lasortie,par lin´earit´e,
est la somme des r´eponses de chacune des impulsions.
´1.5 Energie et puissance d’un signal
Par analogieavec la puissance dissip´ee par une r´esistance soumise `a une d.d.px(t),on appelle´energie
W (t ,t ) mesur´ee sur l’intervalle de temps [t ,t ] :x 1 2 1 2
Z t2
2W (t ,t ) = |x(t)| dt (5)x 1 2
t1
Puissance P (t ,t ) mesur´ee sur l’intervalle de temps [t ,t ] :x 1 2 1 2
Z t21 2P (t ,t ) = |x(t)| dt (6)x 1 2
t −t t12 1
´Energie totale Z ∞
2W = |x(t)| dt (7)x
−∞
Puissance moyenne totale
Z
1 2P = lim |x(t)| dt (8)x
T→∞T T
3
rect (t)
T
g(t)
g(t)
(t)2 Signaux Continus D´eterministes
2.1 Signaux d’´energie totale finie
Ce sont des signaux tels que
Z ∞
2W = |x(t)| dt<∞ (9)x −∞
Cesontlesseulssignauxphysiquement r´ealisables.Lacondition(9)estsuffisantepourquecessignaux
poss`ede une transform´ee de Fourier.
2.1.1 Transform´ee de Fourier et propri´et´es
Transform´ee de Fourier directe :
Z ∞
TF{x(t)} =X(f) = x(t)exp(−j2πft)dt (10)
−∞
Transform´ee de Fourier inverse :
Z ∞−1TF {X(f)} =x(t) = X(f)exp(j2πft)dt (11)
−∞
remarques :
• La repr´esentation de |X(f)| est le spectre d’amplitude, celle de arg(X(f)) le spectre de phase.
2• |X(f)| donne la densit´e spectrale d’´energie (cf plus loin)
• L’analyse en fr´equence n´ecessite de connaˆıtre le signal sur des temps infinis.
• Notez la sym´etrie des 2 transform´ees directe et inverse. La connaissance de l’ensemble spectre
permet d’avoir acc`es a` x(t) a` tout temps et inversement.
• Op´erationnellement, la transform´ee de Fourier n’est pas possible. Que se passe-t-il si on r´eduit
soit la connaissance de x(t) (on rend le signal `a support compact) ou` si on limite le spectre ?
Quelques propri´et´es :
• Lin´earit´e : TF{a x (t)+a x (t)} =a TF{x (t)}+a TF{x (t)}1 1 2 2 1 1 2 2
• Translation temporelle : TF{x(t−t )} =TF{x(t)}exp(−j2πft )0 0
n
d x n• D´erivation : TF{ } =TF{x(t)}(j2πf)
ndt
1 TF{x(t)}(f/a)• Dilatation temporelle : TF{x(at)} = |a|
∗ ∗• Conjugaison complexe : TF{x (t)} =X (−f)
si x(t) est r´eel, alors
– Re(X(f)) est paire, Im(X(f)) est impaire
– |X(f)| est pair, arg(X(f)) est impaire
Vu la sym´etrie des transform´ees directe et inverse, ces propri´et´es se retrouvent pour la transform´ee
de Fourier inverse.
46
2.1.2 Th´eor`eme de Plancherel
TF{(x∗y)(t)} =TF{x(t)}TF{y(t)} (12)
Application aux Syst`emes Lin´eaires Invariants : Pour un syst`eme lin´eaire invariant de r´eponse im-
pulsionnelle h(t), d’entr´ee x(t) et de sortie y(t), on a
y(t) = (h∗x)(t) (13)
En appliquant la transform´ee de Fourier et en utilisant le th´eor`eme de Plancherel, on a
Y(f) =H(f)X(f) (14)
ou` H(f), transform´ee de Fourier de la r´eponse impulsionnelle, est appel´ee fonction de transfert
isochrone du syst`eme lin´eaire.
2.1.3 Th´eor`eme de ParcevalZ Z∞ ∞∗ ∗x(t)y (t)dt = X(f)Y (f)df (15)
−∞ −∞
car particulier : y(t) =x(t)
Z Z∞ ∞
2 2|x(t)| dt = |X(f)| df (16)
−∞ −∞
2L’´energie totale se retrouve dans le domaine fr´equentiel. |X(f)| df repr´esente la quantit´e d’´energie
2dans la bande de fr´equence [f,f +df], d’ou` le nom de densit´e spectrale d’´energie donn´ee `a|X(f)| .
2.2 Signaux `a puissance moyenne finie
Ce sont des signaux physiquement irr´ealisable. Cependant, on les consid`ere car ils constituent un
outil commode pour mod´eliser des signaux ayant un comportement quasi-permanent. Ils sont tels
que
Z
1
2P = lim |x(t)| dt<∞ (17)x
T→∞T T
Remarques
2• |x(t)| est la puissance instantan´ee du signal x(t).
• Si un signal est d’´energie finie, alors P = 0x
• R´eciproquement si un signal est de puissance finie (avec P = 0), il n’est pas d’´energie finie.x
2.2.1 Signaux p´eriodiques
Ce sont des signaux tels que
x(t+T) =x(t) ∀t (18)
T est la p´eriode (on dit aussi signaux T-p´eriodiques). Ils sont de puissance finie si
Z
1 2P = |x(t)| dt<∞ (19)x
T T R
2Leur ´energie sur une p´eriode est donc finie : W (T) = |x(t)| dt = P T <∞. Ils sont susceptiblesx xT
d’ˆetre d´evelopp´e en s´erie de Fourier :
∞ ∞X X 2π
x(t) =a + a cos(nΩt)+ b sin(nΩt) avec Ω = (20)0 n n
Tn=1 n=1
56
et Z Z Z
1 2 2
a = x(t)dt a = x(t)cos(nΩt)dt b = x(t)sin(nΩt)dt (21)0 n n
T T TT T T
La raie `a n = 1, correspondant `a la fr´equence Ω, est dite fondamentale. Les autres sont les har-
moniques. On peut aussi ´ecrire :
∞X 2π
x(t) = c exp(jnΩt) avec Ω = (22)n
Tn=−∞
et Z
1
c = x(t)exp(−jnΩt)dt (23)n
T T
c est a priori complexe. La repr´esentation des coefficients c constitue le spectre. Il est donc discretn n
pour un signal p´eriodique.
Les propri´et´es des s´eries de Fourier sont les mˆemes que celles de la transform´ee de Fourier :
• D´ecalage temporel : si y(t) =x(t−T) alors y =x exp(−jnΩT)n n
dx• D´erivation : si y(t) = (t) alors y =jnΩxn ndtR P
1 2 ∞ 2• Parceval : P = |x(t)| dt = cx T n=−∞ nT
n=3
n=5 Ph´enom`ene de Gibbs : en un point de dis-
1 continuit´e, la s´erie converge vers la moyenne
deslimites `adroiteet `a gauche dela fonction.
Cependant,siontronquelasommation`a±N
0 termes (et non plus une infinit´e), il se produit
desoscillationsautourdeladiscontinuit´econ-
nuessouslenomdeph´enom`enedeGibbs.Ces
−1 oscillation s’amortissent et leur f´equence aug-
mente avec N, cependant que le d´epassement
−T 0 T de l’amplitude maximale tend vers une con-t
stante (= 0). Ce ph´enom`ene apparait dans
Illustration du ph´enom`ene de Gibbs pour un toute sommation num´erique pour laquelle la
cr´eneau dont la sommation est limit´ee a` n = 2 sommation est n´ecessairement finie.
et a` n = 11.
2.2.2 Transform´ee de Fourier des signaux `a puissance moyenne finie
Il est n´ecessaire pour introduire la transform´ee de Fourier de tels signaux de faire appel `a la th´eorie
des distributions. Nous en donnerons un d´evelopement heuristique, essentiellement pour le Dirac.
On a :
sin(πTf)
TF{Arect (t)} =AT (24)T
πTf
Prenons A =T et faisons tendre T vers 0. Alors le rectangle tend vers un Dirac et sa transform´ee de
Fourier tend vers 1. R´eciproquement, si T tend vers l’infini, avec A = 1, c’est le sinus cardinal qui
tends vers le Dirac et l’impulsion rectangulaire qui devient infiniment large et d’amplitude 1. Ainsi :
TF{δ(t)} = 1 (25)
−1TF {δ(f)} = 1 (26)
Ou` encore, en utilisant la d´efinition de la transform´ee de Fourier :
6
rect (t)
TAT
A
0
0
−T 0 T −1/T 0 1/T
t f
AT
A
0
0
−T 0 T −1/T 0 1/T
t f
Figure 2: impulsion rectangulaire (a` gauche) et sa transform´ee de Fourier (a` droite)
Z ∞
δ(t) =TF{1} = 1 exp(j2πft)df (27)
−∞Z ∞−1δ(f) =TF {1} = 1 exp(−j2πft)dt (28)
−∞
Ainsi, en utilisant les propri´et´es de la transform´ee de Fourier :
Z ∞
TF{δ(t−t )} = δ(t−t )exp(j2πft)df = exp(−j2πft ) (29)0 0 0
−∞ Z ∞
TF{exp(j2πf t)} = exp(j2π(f−f )t)dt =δ(f−f ) (30)0 0 0
−∞
On retrouve que le spectre d’un signal p´eriodique est discrˆet :
∞ ∞ ∞X X X
TF{x(t)} =TF{ c exp(j2πnf t)} = c TF{exp(j2πnf t)} = c δ(f−nf ) (31)n 0 n 0 n 0
n=−∞ n=−∞ n=−∞
avec f = 1/T. On en d´eduit les transform´ees de Fourier des fonctions sinus et cosinus :0
exp(j2πf t)+exp(−j2πf t) A0 0
TF{Acos(2πf t} =A = (δ(f−f )+δ(f +f )) (32)0 0 0
2 2
exp(j2πf t)−exp(−j2πf t) A0 0
TF{Asin(2πf t} =A = j(δ(f +f )−δ(f−f )) (33)0 0 0
2j 2
2.2.3 Peigne de Dirac.
Le peigne de Dirac δ (t) est constitu´e d’une suite d’impulsions r´eguli`erement espac´ees. Il peut doncT
ˆetre consid´er´e comme un signal p´eriodique.
∞X
δ (t) = δ(t−nT) (34)T
n=−∞
Que l’on ´ecrit suivant une d´ecomposition de Fourier :
7
x(t) x(t)
X(f) X(f)∞X
x(t) = c exp(jn2πt/T) (35)n
n=−∞
avec Z
1 1
c = δ(t)exp(−jn2πt/T)dt = ∀n (36)n
T TT
Ainsi lespectre d’un peigne deDiracest compos´ee deraies de mˆeme amplitude s´epar´ees def = 1/T.0
C’est donc aussi un peigne de Dirac :
1 1
TF{δ (t)} = δ (f) avec f = (37)T f 00T T
Plus les dents du peigne sont espac´ees dans le domaine temporel, plus elles sont rapproch´ees dans le
domaine fr´equentiel et r´eciproquement.
2.2.4 Densit´e spectrale de puissance
Il n’est pas possible d’appliquer le th´eor`eme de Parceval dans ce cas puisque l’int´egrale d’´energie
ne converge pas. On d´efini alors le signal x (t) = rect (t)x(t). On aura ´evidemment que x(t) =T T
lim x (t). On suppose alors que x (t) est `a ´energie finie, on lui applique Parceval :T T
T→∞ Z Z∞ ∞
2 2|x (t)| dt = |X (f)| df (38)T T
−∞ −∞
en divisant par T et en passant `a la limite, on a :
Z Z Z 2∞ ∞ ∞1 1 |X (f)|T2 2P = lim |x (t)| dt = lim |X (f)| df = lim df (39)x T T
T→∞ T→∞ T→∞T −∞ T −∞ −∞ T
2Et c’est le terme lim |X (f)| /T qui sera d´efini comme ´etant la densit´e spectrale de puissance.T
T→∞
83 Signaux discrˆets
3.1 G´en´eralit´es
Les signaux num´eriques sont de plus en plus utilis´es. Ils sont mˆemes omnipr´esents, que ce soit dans
les t´el´ecommunications, le son et l’image tout est maintenant num´erique.
Cela est duˆ `a l’augmentation de la puissance des processeurs qui sont les coeurs des machines de
calcul num´erique mais aussi des algorithmesqui permettent detraiter efficacement cette information.
De plus, la possibilit´e de coder les signaux num´eriques de fac¸on redondante les rend plus ou moins
insensibles aux erreurs de transmission.
Cependant, sauf `a construire directement le signal sous forme num´erique, les signaux issus de notre
milieu sont continus (analogiques). Il faut donc avant de les traiter sur ordinateur leur faire subir un
certain nombre d’op´erations dont on devra s’assurer qu’elle n’alt`ere pas l’information port´ee par le
signal. Dans ce cadre le mieux que puisse faire une op´eration est d’ˆetre r´eversible. Pour obtenir un
signal num´erique `a partir d’un signal analogique, on proc`ede successivement `a
• un ´echantillonnage : il s’agit de pr´elever le signal `a des instants discrets,
`• une quantification : l’amplitude du signal est quantifi´e. A chaque niveau correspond une valeur
cod´ee en binaire sur un nombre fini de bits (d’ou` la n´ecessit´e de quantifier),
• un codage binaire.
La premi`ere op´eration est r´ealis´ee par un ´echantillonneur, les deux suivantes par un convertisseur
analogique-num´erique (CAN, ou ADC pour Analog Digital Convertor).
´3.2 Echantillonnage
´3.2.1 Echantillonnage id´eal
L’op´erationd’´echantillonnageconsiste`apr´eleverlavaleurd’unsignalcontinu`adesinstants,r´eguli`erement
espac´es la plupart du temps. En supposant les dur´ees d’´echantillonnage infiniment br`eves, cela re-
vient `a multiplier le signal par un peigne de Dirac δ (t) ou` T est la p´eriode d’´echantillonnage ieT ee
`l’intervalle de temps entre 2 ´echantillons. A partir du signal analogique x(t), le signal ´echantillonn´e
x (t)e
∞X
x (t) =x(t)δ (t) = x(t)δ(t−nT ) (40)e T ee
n=−∞
Remarque : entre deux instants d’´echantillonnage, le signal ´echantillonn´e x n’est pas d´efini.e
Soit X(f) la transform´ee de Fourier du signal x(t). Calculons alors la transform´ee de Fourier X (f)e
du signal x (t) :e
X (f) =TF{x (t)} =TF{x(t)δ (t)} =TF{x(t)}∗TF{δ (t)}e e T Te eZ ∞∞ X1′ ′ ′= X(f−f ) δ(f −nf )dfe
T−∞ (41)e n=−∞∞X1
= X(f−nf )e
Te n=−∞
Ainsi le spectre du signal ´echantillonn´e est la somme des spectres du signal non ´echantillonn´e d´ecal´e
surlesmultiplesdelafr´equence d’´echantillonnage. Lafigure3symbolise ceph´enom`enededuplication
de spectre connu sous le nom “d’aliasing”. Chaque image du spectre dupliqu´e s’appelle un “alias”.
90
t f
(a) (b)
−2 f −f f 2 f0e e e e
t f
(c) (d)
Figure 3: Signal (a) et sa transform´ee de Fourier (b), ce mˆeme signal ´echantillonn´e (c) et sa transform´ee
de Fourier (d).
3.2.2 Th´eor`eme de Shannon
Supposons que le spectre du signal x(t) soit limit´e `a ±f . Le spectre du signal ´echantillonn´e de lam
figure 3 montre que 2 cas peuvent se produire. Soit la fr´equence minimale de l’alias n est sup´erieure
`a la fr´equence maximale de l’aliasn+1 et il n’y a pas recouvrement de spectre, soit c’est le contraire
et les spectres se recouvrent. Dans le premier cas, cela se traduit par l’in´equation :
f ≥ 2f (42)e m
Si cette condition est respect´ee, il est possible de revenir au spectre d’origine en ´eliminant les alias
par filtrage, sinon il n’est plus possible d’isoler le motif d’origine et donc de retrouver le signal non
´echantillonn´e. Ces 2 cas sont illustr´es respectivement figures 5(a) et (b).
−f f −f f0 0e e e e
f f
(a) (b)
Figure 4: (a) f ≥ 2f il n’y a pas recouvrement de spectres, (b) f < 2f il y a recouvrement de spectres.e m e m
Th´eor`emedeShannon:Soitx(t)unsignaldontlespectreest`asupportborn´eparlafr´equencef .m
Pour pouvoir retrouver le signal x(t) `a partir de son signal ´echantillonn´e avec une p´eriode T = 1/fe e
il suffit que
f ≥ 2f (43)e m
La fr´equence minimale d´echantillonnage f compatible avec la condition de Shannon est appel´eeN
fr´equence de Nyquist. On a F = 2f .N m
10
x (t)
X(f) x(t)
e
X(f) X(f) X(f)