Resistance des Materiaux

De
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UNIVERSITÉ CARAÏBE 18/02/2011 Préparé par : éܗ܌܍ ܌܍ ܌ ܗ éܗ܌܍ ܌܍ ܗܗ éܗ܌܍ ܌܍ ܗ ܗ܍ hmackez@live.fr Projet de Résistance des Matériaux Mackenzy HECTOR Génie civil Faculté : 5T P2= 4 T/ml3mP3=10 1 0.5964 12.9T.m A 5m B 6m -12.9T.m 0.0141 1.20 0 12.6 - 0.327 Raideur Coefficient de répartition FEM ère 1 répartition Résistance des Matériaux/Génie Civil 0  Moment -0.0620.318 0.02821 -0.007 9.813T.m -1.091 -0.1241 -1.091 -0.1365 0.4964 -0.1241 6.343T.m -9.813T.m -12 12 -7.5 7.5 -0.273 -2.182 -2.182 1 D a) Calcul de la raideurNœud C  Raideurs = 1+1 Travée AB: I1/ L1=1/5 = 0.20  Raideurs = 2 Tra I2/ L2A gauche de C : 1/ 2= 0.50 vée BC: =1/6 = 0.167 A droite de C : 1/2= 0.50 Travée CD: I3/ L3=1/6 = 0.167 c) FEMCalcul des Rendons la raideur plus simple FEMAB= 0 Travée AB: 0.20/0.167 = 1.20      −   −  FEMBA==  ∗ Travée BC: 0.167/0.167 = 1 FEMBA= 12.6 Tm Travée CD: 0.167/0.167 = 1 2 2 46 b) Calcul du coefficient de répartition FEMBC= FEMCB=±=± 12 12 Nœud B FEMBC= FEMCB=1±2 Raideurs = 1.20 +1  Raideurs = 2.20  ∗ A gauche de B : 1.20/ 2.20= 0.545 FEMCD= FEMDC=±=   A droite de B : 1/2.20= 0.455 FEMCD= FEMDC=±7.
Publié le : dimanche 7 décembre 2014
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UNIVERSITÉ CARAÏBE


18/02/2011




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éܗ܌܍ ܌܍ ܌ ܗ

éܗ܌܍ ܌܍ ܗܗ

éܗ܌܍ ܌܍ ܗ ܗ܍






hmackez@live.fr

Projet de Résistance
des Matériaux

Mackenzy HECTOR

Génie civil

Faculté :




5T P2= 4 T/ml3mP3=10

1

0.5964

12.9T.m

A 5m B 6m

-12.9T.m

0.0141


1.20


0 12.6
- 0.327

Raideur
Coefficient de
répartition
FEM
ère
1
répartition


Résistance des Matériaux/Génie Civil

0



Moment

-0.0620.318
0.02821 -0.007

9.813T.m

-1.091
-0.1241

-1.091 -0.1365
0.4964 -0.1241

6.343T.m

-9.813T.m


-12 12 -7.5 7.5
-0.273 -2.182 -2.182

1

D


a) Calcul de la raideurNœud C

Raideurs = 1+1
Travée AB: I1/ L1=1/5 = 0.20

Raideurs = 2
Tra I2/ L2A gauche de C : 1/ 2= 0.50
vée BC: =1/6 = 0.167
A droite de C : 1/2= 0.50
Travée CD: I3/ L3=1/6 = 0.167

c) FEMCalcul des
Rendons la raideur plus simple
FEMAB= 0
Travée AB: 0.20/0.167 = 1.20   
  −   − 

FEMBA==
 ∗
Travée BC: 0.167/0.167 = 1
FEMBA= 12.6 Tm
Travée CD: 0.167/0.167 = 1

2
2
46
b) Calcul du coefficient de répartition
FEMBC= FEMCB=±=±
12 12
Nœud B
FEMBC= FEMCB=1±2
Raideurs = 1.20 +1

Raideurs = 2.20
 ∗
A gauche de B : 1.20/ 2.20= 0.545
FEMCD= FEMDC=±=
 
A droite de B : 1/2.20= 0.455
FEMCD= FEMDC=±7.5


d) Rentrons dans le tableau de Hardy Cross

METHODE DE HARDY CROSS

C

0.03379

ème
3
Répartition

ème
2
répartition

2 m

6m

-0.0035

-0.062
-0.007

Y 1
=
12.9  9.813 2

Y=1.5435
Mt2= 18-11.3565
Mt2=6.64T.m

Mt3=Miso–(6.343+ Z)
pl ∗
Miso==
 
Miso= 15t.m

Z 1
=
9.813  6.343 2

Z=1.735
Mt3= 15-8.08
Mt3=6.92T.m

MT2=6.64T.m


x







Moments en travée
Mt1=Miso- X
pab ∗∗
Miso==
l 
Miso= 18t.m

X 3
=
12.9 5

X=7.74
Mt1= 18-7.74
Mt1=10.26 T.m

Mt2=Miso–(9.813+y)
 
pl ∗
Miso==
 
Miso= 18t.m


-12.9T.m





y


-9.813T.m

Résistance des Matériaux/Génie Civil








Z

-12.9T.m

-9.813T.m



MT1=10.26T.m


-6.343T.m

MT3= 6.92T.m

-6.343T.m

K1=1.20k
Travée BC: 0.167/0.167



R

K3=: I3/ L3=1/6 = 0.167
Homogénéisons :
Travée AB: 0.20/0.167

b) Calcul des FEM
FEMAB= 0
   
  −   − 
FEMBA==
 
 ∗
FEMBA= 12.6 Tm

 
  ( )
FEMBC= FEMCB=±± =
 


T
4 .42

Résistance des Matériaux/Génie Civil

T
11 .95

2 m

K2= I2/ L2=1/6 = 0.167

K2= K
Travée CD: 0.167/0.167
K3= K

P1=15T P2= 4 T/ml3mP3=

METHODE DE ROTATION

T
4 .42

T T

9 .0 6 .0

T
12 .03

T
8 .58

RISO

ET


T T
2 .58 2 .58

T T

6 .42 8 .58


T
0.05 0 .05


T T
12 .0 12 .0

T

5.58 4 .42

T T

5 .0 5 .0



T
17 .63

T

0.58 0 .58


T

6 .42

EFFORT TRANCHANT

T
6 .42

T
5 .58


T

20 .53

a) Calcul de la raideur
K1= I1/ L1=1/5 = 0.20

 
=0
CC≠0 6mDD

 

AA≠0B 5m B06m

RHYP


T T
11 .95 12 .05

FEMBC= FEMCB=12±

 ∗
FEMCD= FEMDC=±=
 
FEMCD= FEMDC=±7.5

c) Equation des moments
 
MAB= 4 EK1 AEK+ 2 1 B+ FEMAB
 
MAB= 4 E (1.2K)A+ 2 E (1.2K)B+ 0
 
MAB= 4.8 EKAEK+ 2.4 B

 
MBA= 2 EK1 A4 EK1 B+ FEMBA
 
MBA= 2 E (1.2K)A4 E (1.2K)B+ 7.2
 
MBA= 2.4 EKA 4.8 EKB+ 12.6

 
MBC= 4 EK2 B2 EK2 C+ FEMBC
 
MBC= 4 EKB2 EKC12

 
MCB= 2 EK2 B4 EK2 C+ FEMAB
 
MCB= 2 EKB4 EKC12

 
MCD= 4 EK3 C2 EK3 D+ FEMCD

MCD= 4 EKC7.5

 
MDC= 2 E K3 C4 EK3 D+ FEMAB

MDC= 2 EKC7.5

Equilibre desnœuds

NœudB
MBA+ MBC= 0
   
2.4 EKA4.8 EKB+ 12.6 +4 EKB2 EKC12=0
  
2.4 EKA+ 8.8 EKB+2 EKC= - 0.6
1

NœudC
MCB+ MCD= 0
  
2 EKB4 EKC12 +4 EKC7.5 = 0
 
2 EKB8 EKC=4.5
2


MAB(SIMPLEMENT APPUYE)= 0
 
4.8 EKA+ 2.4 EKB= 0


Rapprochons les équations

  
2.4 EKA+ 8.8 EKB+2 EKC= -0.6

  
0 EKA+2 EKB8 EKC=4.5

Résistance des Matériaux/Génie Civil

  
4.8 EKA+ 2.4 EKB+ 0 EKC= 0

Changement de variables

2.4x +8.8y+2z= -0.6
0x + 2y + 8z =-4.5
4.8x + 2.4y + 0z =0

2.4 8.8 2 2.4 8.8

0 2 8 0 2

=
4.8 2.4 0 4.8 2.4



= 0 + 337.92 + 0–(19.2+ 46.08+0)

= 337.92 -65.28

= 272.64

-0.6 8.8 2 -0.6 8.8

x=
-4. 5 2 8 -4.5 2
0 2.4 0 0 2.4



x= 0 +0 - 21.6–(0 -11.52+0)

x= - 21.6 + 11.52

x=- 10.08


2.4 -0.6 2 2.4 -0.6

y=
0 -4.5 8 0 -4.5
4.8 0 0 4.8 0




y= 0 -23.04+0 - (-43.2 +0+0)

y=-23.04 + 43.2

y= 20.12


2.4 8.8 -0.6 2.4 8.8

z=
0 2 -4.5 0 2
4.8 2.4 0 4.8 2.4



z= 0 -190.08 + 0–(-5.76-25.92 +0)

z= -190.08 - 31.68

z= -158.4

Déterminons x, y et z


−.
x
X= = ; X= -0.037

 .

y.
Y= = ; Y= 0.074

.

−.
z
Z= = ; Z= -0.581

.



D’où:

EKA=-0.037

EKB=0.074

EKC=-0.581

Remplaçons ces valeurs dans les équations des
moments.
MAB=4.8 (-0.037) + 2.4(0.074)
MAB= -0.1776+0.1776
MAB= 0

MBA=2.4 (-0.037) +4.8 (0.074) +12.6
MBA=-0.0888+ 0.3552+ 12.6
MBA=12.87T.m

MBC=4 (0.074) + 2(-0.581) - 12
MBC=0.296–1.162 - 12
MBC= -12.87T.m

MCB=2(0.074) + 4(-0.581)+12
-12.87T.m




X

MT1

MOMENTS EN TRAVEE
Mt1=Miso- X
pab ∗∗
Miso==
l 
Miso= 18t.m

Résistance des Matériaux/Génie Civil





Y

MT2

MCB=0.148–2.324 + 12

MCB=9. 824T.m

MCD= 4(-0.581)–7.5
MCD=-2.324-7.5
MCD=-9.824T.m

MDC=2(- 0.581) +7.5
MDC= - 1.162 + 7.5
MDC=6.34T.m


MOMENTS AUX APUIS
MA=0

MB=-12.87T.m

MC= -9.82T.m

MD=-6.34T.m






-9.82T.m

MT3


X 3
=
12.87 5

Z

- 6.34


T T
11 .94 12 .06

T T T T
 
9 .0 6 .0 12 .0 12 .0

T T

0 .06 0 .06

T
11 .94

T
8 .04
Résistance des Matériaux/Génie Civil

ET


T

19 .98

EFFORT TRANCHANT


T T
6 .96 8 .04

RISO

T T

2 .04 2 .04

RHYP

T
5 .64

MT1=10.28T.m


T T
5 .0 5 .0

T
12 .06

MT3=6.92T.m

-6.343 T.m


T

6 .87

X=7.722
Mt1= 18-7.722
Mt1=10.28 T.m

Mt2=Miso–(9.82+y)
 
pl ∗
Miso==
 
Miso= 18t.m

Y 1
=
12.87  9.82 2

Y=1.525
Mt2= 18-11.345
Mt2=6.65 T.m

MT2=6.65T.m

-12.9T.m


T
0.64 0 .64

T

5.64 4 .36


T

17 .70


T
4 .36


Mt3=Miso–(6.34 + Z)
pl ∗
Miso==
 
Miso= 15t.m

Z 1
=
9.82  6.34 2

Z=1.74
Mt3= 15-8.08
Mt3=6.92T.M

T
4 .36

-9.813T.m



R

T
6 .87

l l l l  Ś  l −
       
Mn -12 M + n( + ) + Mn + 1-= - ( ) 6 S+( )
i i i i i ∗ l i ∗ l
       

Résistance des Matériaux/Génie Civil

 
 ∗
2
S2= = ; S2=72 cm
 

 

 
2= ;2=
 


2= 3

 + +

 
3= ;2=
 

 + +

 
1= ;1=
 

   6∗45∗ 2.33
M0 + 2 M1( + ) + M2( ) =  6 ∗ 72( )
   5

 ∗∗
2
S1; S= = 1=45 cm
 


1=2.33

     
Cherchons S1, S2, S3,1,2,3, L1-1, L2-2etL3-3:

0 5m 1 6m

P2= 4 T/ml3mP3=10 T

n=2


L1-1=2.67

Posons la formule de Clapeyron


L2-2= 3
 
 ∗
2
S3; S= = 3=45 cm
 

22M1+6 M2=341.82

5M0+ 22M1+6 M2=125.82216 avec M0= 0

n=1

2 mP1=15T

METHODE DES TROIS MOMENTS

6m 3

2

lll l l −
 λ6 S  
1 1
M02 M + 1+ M( + ) 2=( )   6 S( )
i
i Ii i 1∗ L1i ∗l
    

Appliquons la formule ci-dessus :

l l l l  Ś  l −
       
M1 + 2 M2( + ) + M3( ) =  6 S( )
i i i i i ∗ l i ∗l
       


2=3


L3-3=3

    ∗∗  
M1 + 2 M2+ M( + ) 3=( )   6 ∗ 45( )
     

6M1+ 24M2+6 M3=216 135

6M1+ 24M2+6 M3=351
2
L’extrémité droite étant encastrée, on a donc une équation supplémentaire :



Mab + 2 Mba =



 
M2+ 2 M3=

∗∗
M2+ 2 M3=

M2+ 2 M3=22.5

Rapprochons les équations :

22M1+6 M2+ 0 M3=341.82

6M1+24M2+6 M3=351

0M1+ M2+ 2 M3=22.5



22 6 0 22 6

=6 6 6 24 24
0 1 2 0 1



= 1056 +0+0–(0+132+72)

= 1056-204

= 852
6-341 .82 -341 .82 6 0
-351 24 6 -351 24
2 -22.5 -22.5 1 1
M=



M1=- 16407.36-810 + 0–(0 - 2050.92 - 4212)

M1= - 18189.36 + 6262.56

M1=- 10954.44

Résistance des Matériaux/Génie Civil


22 -341.82 0 22 -341 .82
6 -351 6 6 -351

M=
0 -22.5 2 0 -22.5




M= -15444+0 -0- (0 -2970-4101.84)

M=-15714 + 7071.84

M= -8642.16


22 6 -341 .82 22 6

6 24 -351 24 6

M=
0 1 -22.5 0 1





M=- 11880 + 0–2050.92–(0-7722-810)

M= -13930.92+ 8532

M= -5398.92

Déterminons x, y et z

m−.
M1= = ; M1= -12.857



.−
m
M2= = ; M2=- 10.143



m −.
M3= = ; M3= -6.334



D’où:
M0= 0
M1=-12.857 T.m

MT2=6.50T.m



-6.33T.m


X=7.7142
Mt1= 18-7.44
Mt1=10.286 T.m

Mt2=Miso–(10.143+y)
 
pl ∗
Miso==
 
Miso= 18t.m

Y 1
=
12.857  10.143 2

Y=1.357
Mt2= 18-11.5
Mt2=6.50T.m

Mt3=Miso–(6.334+ Z)
pl ∗
Miso==
 
Miso= 15t.m

Z 1
=
10.143  6.334 2

Z=1.904
Mt3= 15-8.35
Mt3=6.762T.m



MT1=10.30T.m

Mt1=Miso- X
pab ∗∗
Miso==
l 
Miso= 18t.m

X 3
=
12.857 5

-10.143 T.m


Y

MT1







MT2




X

Résistance des Matériaux/Génie Civil


-10.143 T.m
-12.857 T.m

MT3

0

-6.334T.m
Z

Moments en travée

M2=-10.143 T.m
M3=-6.334 T.m








-12.857 T.m

MT3=6.76T.m

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