ennonce_math_2007

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´UNIVERSITE CADI AYYAD Ann´ee : 2006/2007 Ecole Nationale Des Sciences Appliqu´ees Session du : 25 Juillet 2007 Marrakech Responsable : I. OUASSOU er´ eConcours d’entr´ee en 1 ann´ee du cycle pr´eparatoire Epreuve de math´ematiques (dur´ee 1h30min) Remarques importantes 1) Les documentations, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits. 2) Parmis les r´eponses propos´ees elle n’y a qu’une qui est juste. 3) Cocher la case qui correspond a` la r´eponse correcte sur la fiche de r´eponses. 4) R`egles de notation : R´eponse juste = 1 point ; R´eponse fausse = -1 point ; Sans r´eponse = 0 point. Noter Bien Plus qu’une case choch´ee = -1 point. ———————————————————————————————- Exercice 1 2 n2n −(−1) n+1 1. lim n’existe pas. n→+∞ n+3 2. lim ln(n+1)−ln(n+2) n’existe pas. n→+∞ 3. lim sin(n) n’existe pas. n→+∞ n n4. lim (−0,7) +(0,7) n’existe pas. n→+∞ Exercice 2 On consid`ere une suite de r´eels (u ).n 1. Une suite (u ) croissante est-elle n´ecessairement divergente vers +∞?n 2. Une suite (u ) divergente vers +∞ est-elle n´ecessairement croissante?n 3. Une suite (u ) born´ee est-elle n´ecessairement convergente?n 4. Une suite (u ) croissante et non major´ee diverge-t-elle n´ecessairement vers +∞?n 1Exercice 3 2Soient z et z les deux nombres complexes solutions de l’´equation z −4z +6 = 0.1 2 Dans le plan complexe muni du rep`ere orthonormal (O;~u,~v), on consid`ere les points M1 et M d’affixes respectives z et z puis I le milieu du segment [M ,M ] .2 1 2 1 2 1.
Publié le : vendredi 6 juillet 2012
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´ UNIVERSITE CADI AYYAD EcoleNationaleDesSciencesAppliqu´ees Marrakech
Anne´e:2006/2007 Session du :25 Juillet 2007 Responsable :I. OUASSOU
´ere Concoursdentre´een1ann´eeducyclepre´paratoire
Epreuvedemathe´matiques(dure´e1h30min) Remarques importantes 1)tsel´le´ohpepsenalsclacuictretesdrti.sortablessontintedseLles,ontitaenumoc 2)ellesee´uuqaynnspo´esrosoppresaPmrsieliestneque.just 3)ctreuresnspoorecla`de´raerronopss.´rpenoesalcehedrealoChcuqciaces 4)R`eglesdenotation: Re´ponsejuste=1 pointpo´e;R=euasssnfe-1 pointse=eponnsr´;Sa0 point. Noter Biene=´echPunuulqsceohcesa-1 point. ———————————————————————————————-Exercice 1 2n 2n(1)n+ 1 1.limn’existe pas. n+ 3 n+2.lim ln(n+ 1)ln(n+ 2)n’existe pas. n+3.lim sin(n)n’existe pas. n+n n 4.lim (0,7) +(0,7)n’existe pas. n+Exercice 2 Onconside`reunesuitedere´els(un). 1. Unesuite(un)tnideremneetevgrllenst-essai´eceorceetnassirsve+? 2. Unesuite(un)divergente vers+ecssiaeremtnrcioest-ellen´e?etnass 3. Unesuite(un)te?rgenonveentcrimeseas´nceleelt-eseen´orb 4. Unesuite(un)sairementlveenr´secesgr-e-tle´reeidevontnjomasaiseentorc+?
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Exercice 3 2 Soientz1etz2bmonxuedlpmocserlusoesexelsdonti´qeauitnolesz4z+ 6 = 0. Dansleplancomplexemunidurep`ereorthonormal(O;~vu,~)stniopselere`idnscoon,M1 etM2d’affixes respectivesz1etz2puisIle milieu du segment[M1, M2]. 1. Lenombrez1+z2est imaginaire pur. 2. L’affixedu pointIest imaginaire pure. 3. Lesdroites(OI)et(M1M2)sont perpendiculaires. 4. LetriangleOM1M2enpast´sqeiual´trela. Exercice 4 3 2 SoitPlepolynˆomed´eniparP(X) = 2X+X5X+ 2. 1 1.Lesr´eels2l´ensdeionquat-,nos1lostoitu,P(x) = 0. 2 3x2x x 2. L’ensembleSitnodsellee´auqe´lesoesdsrontilu2e+e5e+ 2 = 0estS={ln 2,0}. 3 2 3. L’ensembleSoinuqtale´seedr´nslleeolssiouted2(lnx(ln) +x)5 lnx+ 2 = 0est   1S=ee, ,. 2 e 3 2 4. L’ensembleSdsoestilusronlee´dsel´leauqetion2 sinx+ sinx5 sinx+ 2 = 0est   π5π π S=, ,. 6 6 2 Exercice 5 Dunsaccontenant10boulesnum´erote´esde1a`10,onextraittroisboulessimul-tane´ment. 1.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyaittoutescellesdusacdontle 2 num´eroestunmultiplede5est. 15 2.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyenaitauplusunedontlenum´ero 13 est un multiple de 5 est. 15 3.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyenaitaumoinsunedontle 8 num´eroestunmultiplede5est. 15 4.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyaittoutescellesdusacdontle 1 nume´roestunmultiplede3est. 60
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Exercice 6 Soientlessuitesnum´eriques(un)nNet(vn)nN´edietnoouusrtpnNparu0= 0, un un+1=un1etvn= 3. 1. Lasuite(vn).eeiruqoetmts´g 2. Lasuite(vn)est divergente. 1 3. Pourtout entiern >0, siSn=v0+v1+. . .+vn,limSn=. 2 n+4. Lasuite(wn)ottuopruien´ednNparwn= ln(vn)irtee.euqeom´stg´ Exercice 7 2 Soit(u)´deinperaaslteuiu=1et pour tout entiern1. n0,un+1=un+ 1. Lasuite(un)est positive pour toutnN. 2. Lasuite(un)est croissante. 3.nN,un16 2. 4. Lasuite(un)est convergente. Exercice 8 2 1cosx Soitflafonctiond´eniesurRparf(x) = cosxe. 1.f(πx)f(x) = 0.   π 2. LepointI ,0errbouaceledrietedevitatnese´rpeeys´meredectntsnufdans un 2 repe`reorthonorm´e.   02 sinx 3.Lade´rive´edefestf(xcos) =xsinx e. sinx 4. UneprimitiveFdefeperanied´stF(x) =e. Exercice 9   x1 Soit la fonctionfn´epaierdf(x) = ln. 2 xx2 [ 1. Lafonctionfinseruets´de]1,1[ ]2,+[. [ 2 2. Lafonctionf´stuepreecrif(x) = ln(x1)ln(xx2)sur]1,1[ ]2,+[. [ 1 1 1 0 3.f(x) =− −sur]1,1[ ]2,+[. x1x+ 1x2 4. Lafonctionfest croissante sur]2,+[.
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Exercice 10 2 1 +x1 Soitffanoldne´tcoiienrsuRparf(x) =etf(0) = 0. x 1. Lafonctionfn’est pas continue en 0. 2 1 +x+ 1 0 2. SurR,f(x) =2 2 x1 +x 3.limf(x) = 1. x→−∞ 4.Ladroitede´quationy= 1acoue`alrbeetstptosamyCreprtatnese´edevif. Exercice 11 1. Lafonctionxcos(4(x+ 1))e´ir´veeseltdaontiladencfoxcos(x+ 1) sin(x+ 1).   1 sinx 2. Lafonctionxvie´´dretsalenioctonafeledxln. 2 sinxcosx+ 1   x 2 3. Lafonctionx→ −delefanotcoinelasterd´´eivxlnx1x. 2 x1 2 2 sin xsinx 4. Lafonctionx(sin 2x)eedal´veeitnoofcnesri´eadtlxe. Exercice 12 ZπZπ 4 4 2 3 Onconsid`erelesdeuxinte´gralesI= sinxcosxdxetJ= sinxdx. 0 0 Z π 4 2 1.2I= sinxcosxdx. π 4 2 2.I+J=+ 1. 2 4 +2 3.I=. 12 5 28 4.J=. 12
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Exercice 13 Z x dt Soit la fonctionfleabeer´ellvaridelaxseinrued´Rparf(x) =. 2 01 +t 1. Lafonctionfest paire. 2x 0 2. Onaf(x) =. 2 2 (1 +x) 3. Lafonctionftd´eesssancroiretusR. 4. Pourtoutx]1,+[,f(x)<2. Exercice 14 Z 2 1.(|x1|+|x|+|x+ 1|)dx= 0. 2 Z π 2.cos|x|dx= 0. π 1 sinx 3. Lafonctionxest une primitive de la fonctionxsur l’intervalle 2 2  cosxcosx π π ,. 2 2 q 1 2 2 32 4. Lafonctionx(1 +x)est une primitive de la fonctionxx x+ 1surR. 3 Exercice 15 ~ ~~ Soit(O, i, j, k)pselreedllaem`rpoenroohertitSoe.acPndlaeple`errepe(,uv~A~,)o`u ~ ~~ ~~ A(1,1,2),~u=i+jetv~=ij+k. ~ ~~ 1. Levecteur~w=i+j2kn’est pas normal au planP. 2.Le´quationcarte´sienneduplanPestx+y2z+ 6 = 0. 3. LadroiteDpassant par le pointB(1,0,1)et de vecteur directeur~wneiaprestd´e y+x1 = 0etz+ 2x1 = 0.   1 1 4. LeplanPet la droiteDse coupent au point, ,2. 2 2
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