Jusqu’a` la section 3, le terme espace d´esigne un espace topologique quelconque, une fl`echef : X −→ Y entre espaces d´esigne une application continue, et on note Top la cat´egorie desespacesavecapplicationscontinues.Nousreviendrons`alasection3surlad´efinitiond’une«bonne»cat´egorie d’espaces topologiques.1. La notion d’homotopie1.1. R´etraction par d´eformation et homotopies. La topologie consid`ere comme ´equivalentsdeux espaces ayant la «mˆeme forme». La notion la plus intuitive correspondante est sans doutelaD´efinition 1.1.1 (r´etraction et r´etraction par d´eformation). Soit A⊂X un sous-espace de X.2– Une r´etraction de X sur A est une application r :X−→A satisfaisant r =r.– Une application continue r : X −→ A est une r´etraction par d´eformation de X sur A s’ilexiste une application continueF :X×I−→X(I d´esignant l’intervalle [0,1]) v´erifiantF(·,t) = Id ∀t∈I |A AF(·,0) = Id .XF(·,1) = r(·)D´efinissons plus g´en´eralement la notion d’homotopie entre deux applications continues :D´efinition 1.1.2 (homotopie). Une homotopie entre deux applications continuesf ,f :X−→Y0 1est une application continueF : X×I −→ Y(x,t) −→ f (x) =F(t,x)treliant f a` f . On dit que les applications f et f sont homotopes et on ´ecrit f ∼f .0 1 0 1 0 1Onv´erifieimm´ediatementquelarelationd’homotopieestunerelationd’´equivalencesurTop(X,Y).D´efinition1.1.3. On note[X,Y] l’ensembleTop(X,Y)/∼ des classes d’homotopie d’applicationsde X vers Y.D´efinition 1.1.4 (homotopie ...
Jusqu’`alasection3,letermeespaceue,uconqechenefl`´edgnsineeuacsppotegoloeuqileuq f:X−→Yee,otnntonepscarteeigesd´esppeaunnenoitacileunitnocTopalacdest´egorie espacesavecapplicationscontinues.Nousreviendronsa`lasection3surlad´efinitiond’une«bonne» cate´goried’espacestopologiques. 1.La notion d’homotopie 1.1..sthneioatieopotomcaitnoapdre´ofmrR´etropotaLnoceigolnestvilaerecsid`´equomme deux espaces ayant la«memeˆrmfoe». La notion la plus intuitive correspondante est sans doute la De´finition1.1.1raetr´(ationf)ormrd´eonpacaite´rtenrttcoi.SoitA⊂Xun sous-espace deX. –Uner´etractiondeXsurAest une applicationr:X−→Asatisfaisantr2=r. – Une application continuer:X−→Aseenutte´rferora´doipnartcondematiXsurAs’il existe une application continue F:X×I−→X (Ie´isngnadvalletl’inter[01]tnafiv)ire´ F(∙ t)|A= IdA∀t∈I FF((∙∙)=0)=1rId(∙X). De´finissonsplusg´en´eralementlanotiond’homotopieentredeuxapplicationscontinues: D´efinition1.1.2(homotopie).Une homotopie entre deux applications continuesf0 f1:X−→Y est une application continue F:X×I−→Y (x t)−→ft(x) =F(t x) reliantf0`af1. On dit que les applicationsf0etf1tn´toriecomotepesostnohf0∼f1. Onve´rifieimm´ediatementquelarelationd’homotopieestunerelationd’´equivalencesurTop(X Y). D´efinition1.1.3.On note[X Y]l’ensembleTop(X Y)/∼des classes d’homotopie d’applications deXversY. De´finition1.1.4(homotopie relative).SoitA⊂Xetf0 f1:X−→Ydeux applications conti-nues. Une homotopieF:X×I−→Yreliantf0a`f1telle queF|A×Iedantependnd´eestiIest apl´ehomotopierelativement`aA. On notef0∼f1relA. pe ee un Aveccetteterminologie,unere´tractionpard´eformationr:X−→Adetiontsnuertcaree´X surAaoImdotope`hXtiverelaa`emtnA. 1.2.Equivalence d’homotopie.Remarquons que sii:A⊂Xetr:X−→Aertcaitnotsnuree´ pard´eformation,alors r◦i∼dI=IdXA. i◦r Larelationder´etractionparde´formationn’estdoncpassym´etrique,onlasyme´triseenla D´efinition1.2.1qe´(aviucnel’hedotomieop).Une application continuef:X−→Yest une ´equivalenced’homotopies’ilexisteg:Y−→Xavec g◦f∼IdX . f◦g∼IdY 1
2 On dit aussi queXetYotnemmˆypet’hedotomeiponoteetonX'Y. Onv´erifieimm´ediatementquel’e´quivalenced’homotopieestunerelationd’e´quivalencesurles espacestopologiques.Sitoutere´tractionparde´formationestune´equivalencepard´eformation,la re´criproqueestfausse(c.f.exemple1.3.2).CependantdeuxespacesX,Ysont homotopiquement ´equivalentssietseulementsiilssontcontenusdansunmemeespaceZser´maorontiartenatcraptfe´d ˆ sur chacun d’entre eux : on peut prendre pourZle cylindreMf= (X×I)`Y /(x1)∼f(x) (c.f. section??)n’delleuqe´eopmiqetred’homotuivalencpoeif:X'Y. D´efinition1.2.2(espace contractile).Un espaceXest dit contractile s’il a le type d’homotopie d’un point. D´efinition1.2.3(application homotopiquement triviale).Une applicationf:X−→Yest dite homotopiquementtrivialesielleesthomotope`auneapplicationconstante. Remarque1.2.4.itidnocseLneet:se´uqvilantessontonssuiva –Xest contractile. – IdXest homotopiquement triviale. – toute applicationf:X−→Yest homotopiquement triviale. – toute applicationf:Y−→Xest homotopiquement triviale. 1.3.Ilstlutirao-ionermat´efoparddeh’elcniuav´tqeceenerff´diladeonnoitcarte´rertne motopie. Lemme 1.3.1.SiXeformatictepard´iotnnousurpn´resartex∈X, alors tout voisinageUdex admet un sous-voisinageV⊂U,x∈Vtel que l’inclusionV⊂Xest homotopiquement triviale. De´monstration.SoitF:X×I−→Xune homotopie reliant IdXnocnnats’detgamie`al’applicatio x. AlorsF(x t) =xpour toutt∈I,F(X1) ={x}etF(∙0) = IdX. SoitUvoisinage dexnndo.´e PosonsV={y∈X /∀t∈I F(y t)∈U} ⊂U. AlorsVest un voisinage dexet l’inclusion V⊂Uest homotopiquement triviale. Exemple1.3.2.emexetCetseeuqissalcelpurpme´tn[a`?nousn.16p.C8]sionerd´.xe,«peigne triangulaire»: le sous-espace deR2(muni de la topologie induite) X= ([01]× {0})∪r∈Q∩[0,1]({r} ×[01−r]) lelemmepr´ece´dentmontrequeXroamitnopera´dfer´etractse[0dentoitpourtsu1]× {0}mais sur aucun autre. En«recollant»ˆcbscpeoethe-edeceˆteeids«peigne»Xon obtient un espaceY quiestcontractilemaisnesere´tractepard´eformationsuraucunpoint. 2.CW-complexes Danscettesection,nousintroduisonsunecate´goried’espacestopologiques(appel´esCW-complexes) agr´eablesa`manipulercombinatoirement:cesontintuitivementlesespacesobtenusparrecollement decellules(disquesouvert)lelongdeleurbord(sphe`res),ceciinductivement par dimension crois-santesedetrˆ´ent’i.LCWesexelpmoc-dnnetaoisnrte´omeladettrpermstdee´tesrospi´prbromseeu de facon simple par induction. ¸ D´efinition2.0.3.On noteDnalobluuem´eedenit´eferRnirteeeuqruop´masstnedaanliucendidr etSn−1=∂Dnalpseorddt´ebeunih`erDn. Par cellule de dimensionnon entend un espace topologiqueen`haballeouveouetrhmoe´moroDn\Sn−1. p e
3 De´finition2.0.4(CW-complexes).UnCW-complexeXest un espace construit comme suit : (1)SoitX0tea,sirccadeenpsu´eelpp0-squelette deX. (2)Par induction on construit len-squeletteXnaptrried`aXn−1en recollant desn-celluleseαn 1 via des applicationsφα:∂Dnα=Sn−−→Xn−1: Xn= (Xn−1aDnα)/(x∼φα(x)∀x∈∂Dnα). α∈An L’ensemble d’indicesAnest quelconque. Onv´erifieimme´diatementquepourtoutα∈Anl’application Φα:Dnα,→Xn−1aDαn−→Xn⊂X α estcontinueetquesarestriction`alabouleouverteDαn\∂Dαnihmsseruosnhounsterpmoeom´ imageenα. L’applicationΦαulelaceledeltiquerisicplioatarnct´acepats´leppaeeenα. (3)X=∪n∈NXnest muni de la topologie faible : un sous-espaceY⊂Xest ouvert si et seuleme-ment siY∩Xnest ouvert dansXnpour toutn∈N. Entermesd’applicationscaracte´ristique,onv´erifieaise´mentqu’unsous-espaceY⊂Xest ouvert si et seulement si pour toutα∈A=∪n∈NAnΦgemaeir´ap,lα−1(Y) est ouvert dansDnα. De´finition2.0.5.On noteCWlentbjsooregdoiesessteltnoac´talCW-complexes et les mor-phismes les applications continues entreCW-complexes. 2.1.Exemples. 1.UnCW-complexe de dimension 1 est un graphe. 2.eresph`LaSn=e0∪enu`o,eniaev´echtaattseSn−1−→e0. Autrement ditSn=Dn/∂Dn. 3.RPn=Sn/(v∼ −vitoudtneenu’me´hes)eqtl`ereisphDnavec points antipodaux de∂Dn identifi´es.Mais∂Dn/(v∼ −v)'RPn−1doncRPn=RPn−1∪enavec recollementSn−1−→ RPn−1eluqordre2.Potientd’dnenonoitcudnira:itdu´e RPn=e0∪e1∙ ∙ ∙ ∪en. On peut alors former l’union infinie RP∞=∪nRPn qui a une cellule en toute dimension. 4.eDamine`erisimalsp’eelireacCPndes droites complexes deCn+1s’identifie au quotient de lasphe`reunite´S2n+1deCn+1edlee´emtnshomarlept´ou.Te1rmnodeesxelpmocseite´hto S2n+1alentsoust´equiver(veuneuctitala`notecseretwp1− |w|2)∈Cn×Ravecw <1. Cetterepre´sentationestuniquesi|w| 6= 1, ce qui fournit une cellulee2n. Si|w|= 1 on obtientlequotientd’unesph`ereS2n−1ocseite´htomohse1,meorensdxelempolsrtaipCPn−1. FinalementCPn=e2n∪CPn−1avec recollement l’application quotient naturelleS2n−1−→ CPn−1. Par induction CPn=e0∪e2∪ ∙ ∙ ∙ ∪e2n etCP∞est unCWtoendeut´egrirpa.-coxefomple’dnumre´ulelcele 5.quatorialeLcni’isule´noS0⊂S1 ⊂ ∙ ∙⊂ ∙Snn’est pas une inclusion de sous-complexes pour les structures deCW-complexes de l’exemple 2.Lepaouecd´tauqe´egedlairoSien deux demi-h´emisphe`resfournituneautreCW-structureSi=Si−1∪ei∪ei. Ce qui munit l’union infinie S∞d’une structure naturelle deCW-complexe. On montre facilement queS∞est contractile.