Analyse fonctionnelle appliquée

Choulli Mourad

Description

Ce livre d’analyse fonctionnelle appliquée déploie toute la richesse des méthodes d’analyse fonctionnelle mises en œuvre pour étudier les équations elliptiques du second ordre.
L’auteur présente des résultats d’existence, d’unicité et de régularité des solutions de problèmes aux limites, ce qui nécessite la construction d’espaces fonctionnels appropriés. Il expose ensuite les propriétés caractéristiques des solutions d’équations elliptiques du second ordre : le principe du maximum, les inégalités de Harnak et la propriété d’unique continuation. Enfin, il donne également un aperçu concis sur les opérateurs pseudo-différentiels.
Cet ouvrage ne prétend pas se substituer aux manuels classiques sur le sujet mais propose une approche détaillée, introductive et moderne qui évite des prérequis difficilement accessibles.
Il s’adresse aux étudiants en première et seconde années de masters de mathématiques, ainsi qu’aux élèves d’Écoles d’ingénieurs.

Préface v

Notations principales vii

1 Diagonalisation des opérateurs compacts auto-adjoints 1

1.1 Analyse spectrale des opérateurs compacts ............ 1

1.2 Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts..... 8

1.3 Diagonalisation d’opérateurs provenant de formeshermitiennes 9

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14

2 Généralités sur les distributions 19

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 20

2.2 Convolution de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

2.3 Partition de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27

2.4 Ordre d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

2.5 Localisation et recollement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 31

2.6 Support singulier d’une distribution . . . . . . . . . .. . . . . 33

2.7 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . .. . . . . 33

2.8 Multiplication par une fonction . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

2.9 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 36

2.10 Convolution d’une distribution et d’une fonction . . .. . . . . 37

2.11 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 38

2.12 Convolution de distributions . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40

2.13 Distributions dans les espaces produits . . . . . . . .. . . . . . 43

2.14 Théorème des noyaux de Schwartz . . . . . . . . . . . .. . . . 45

2.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 48

3 Espaces de Sobolev Wk,p 57

3.1 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57

3.2 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . .. . . . . . 60

3.3 Opérateurs de prolongements et de traces . . . . . . . .. . . . 66

3.4 Théorèmes d’injections . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 75

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 82

ii Analyse fonctionnelle appliquée

4 Solutions faibles d’équations elliptiques 95

4.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 96

4.2 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 97

4.3 Diagonalisation d’un opérateur elliptique . . . . . . .. . . . . . 99

4.4 Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 100

4.5 Problème de Dirichlet semi-linéaire . . . . . . . . . .. . . . . . 103

4.6 Inégalités de Harnak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 116

5 Unique continuation et problème de Cauchy 121

5.1 Propriétés des fonctions harmoniques . . . . . . . . . .. . . . . 121

5.2 Unique continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 129

5.3 Inégalités de Caccioppoli et d’interpolation . . . . . .. . . . . 134

5.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 140

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 149

6 L’approche de Schauder pour les équations elliptiques 161

6.1 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 161

6.2 Semi-normes équivalentes sur les espaces de Hölder . . .. . . . 167

6.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 170

6.4 Quelques estimations pour les fonctions harmoniques . .. . . . 177

6.5 Estimations de Schauder intérieures . . . . . . . . . .. . . . . 182

6.6 Problème de Dirichlet dans une boule . . . . . . . . . .. . . . 187

6.7 Problème de Dirichlet dans un domaine borné . . . . . .. . . . 190

6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 192

7 Construction d’une solution fondamentale 215

7.1 Fonctions définies par des intégrales singulières . . .. . . . . . 215

7.2 Opérateurs intégraux faiblement singuliers . . . . . . .. . . . . 223

7.3 Paramétrix canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 229

7.4 Solution fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 236

8 Transformée de Fourier et espaces de Sobolev Hs 245

8.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 245

8.2 Espaces de Sobolev Hs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 253

8.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 253

8.2.2 Définition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 254

8.2.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 257

8.2.4 Multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 259

8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 261

9 Opérateurs pseudo-différentiels 271

9.1 Les symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 272

9.2 Les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 278

9.3 Intégrales oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 280

9.4 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 283

9.5 Action sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . .. . . . . . 287

9.6 Inégalité de Gårding . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 289

9.7 Les symboles elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 291

9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 292

Bibliographie 309

Index 313

Sujets

• Sciences et techniques
• Algebra
• Mathematics
• Mathématiques
• Problème de Dirichlet
• Convolution
• Transformée de Fourier

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 22 février 2024
• Nombre de lectures: 3
• EAN13: 9782759834464
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait