Mathématiques supérieures, livre ebook

Ce livre est inspiré des cours de mathématiques proposés à l’institut franco-chinois de l’énergie nucléaire (IFCEN), situé à Zhuhai dans la province du Guangdong en Chine. L’objectif de ce premier tome est d’introduire tous les fondements d’algèbre (les structures), d’algèbre linéaire (les espaces vectoriels et applications linéaires) et d’analyse (les concepts de limite en particulier pour les suites ou les fonctions). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s’inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l’idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s’appliquer pour des questions d’analyse et réciproquement. Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l’IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d’ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants. Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d’applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément, une large sélection d’exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d’approfondir leurs connaissances en mathématiques.

Chapitre 1 Groupes, anneaux et corps 7

1.1 Groupes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Loi decomposition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Définition d’un groupe et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 Sous-groupes . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.4 Opérations sur les sous-groupes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

1.1.5 Morphismes degroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Anneaux et corps .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 28

1.2.2 Sous-anneaux etsous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.3 Règles de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32

1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps . . . .. . . . . . . . 36

1.2.5 Morphismes d’anneaux (ou de corps) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chapitre 2 Relations, ensembles N, Z, Q et R 47

2.1 Relations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.1 Généralités sur lesrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 50

2.1.2.a Ordre total etordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.2.b Majorant,minorant, plus grand et plus petit élément . . . 53

2.1.2.c Borne supérieure et borne inférieure. . . . . . . . . . . . 56

2.1.2.d Applicationscroissantes, d´ecroissantes et monotones . . . 58

2.1.3 Relation d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 60

2.2 Ensemble N et principe de récurrence . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.1 D´définition de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61

2.2.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62

2.2.2.a Récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62

2.2.2.b Récurrence double . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 65

2.2.2.c Récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 66

2.2.2.d récurrence finie et récurrencedescendante . . . . . . . . . 67

2.3 Ensemble Z et valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 69

2.3.1 Ensemble Z et structure d’anneau . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.2 Valeur absoluedans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 71

2.4 Ensembles desnombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71

2.4.1 Corps desnombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4.2 Corps desnombres réels et relation d’ordre . .. . . . . . . . . . . . 72

2.4.3 Valeur absolue .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure . . . . . 75

2.4.5 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 79

2.4.6 Caractérisation des intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4.7 Droite numérique achevée . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4.8 Densité de Q etde R \ Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4.9 Valeurs d´décimales approchées d’un nombre réel . . . . . . . . . . . 87

2.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.6.1 Construction de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96

2.6.2 Ensembles finiset d´encombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

2.6.2.a Définitions et théorème fondamental . . . . . . . . . . . . 105

2.6.2.b Parties de N et parties d’un ensemblefini . . . . . . . . . 109

2.6.2.c Critère de bijection pour les ensembles finis . . . . .. . . 114

2.6.2.d Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 117

2.6.2.e Cardinal d’une réunion et du complémentaire d’une partie 117

2.6.2.f Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

2.6.2.g Ensemble desapplications de E vers F . . . . . . . . . . . 118

2.6.2.h Cardinal de P(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.6.2.i Arrangements,nombres d’injections et nombres de bijections

d’unensemble dans lui-même . . . . . . . . . . . . . 121

2.6.2.j Combinaisonset coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . 123

2.6.2.k Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . .. . . . 124

Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes125

3.1 Suites de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 126

3.1.1 Généralités . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1.2 Operations surles suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.1.3 Suites extraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2 Suites d´définies par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2.2 Notations Σ et Π . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 137

3.2.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 `a coefficients constants . . . . 142

3.3 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 150

3.3.1 Convergence versun réel: définition et propriétés . . . . . . . . . 150

3.3.2 Convergence etsigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.3.3 Divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

3.3.3.a Divergencevers +∞ ou vers −∞ . .. . . . . . . . . . . . 156

3.3.3.b Autres modesde divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.3.4 Operations surles suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3 Mathématiques supérieures 1

3.3.4.a Espacevectoriel des suites convergeant vers 0 . . . . . . . 158

3.3.4.b Operations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . 160

3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avecla relation d’ordre . . . . 164

3.3.6 Convergence etsuites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.3.7 Caractérisation de la densité parles suites . . . . . . . . . . . . . . 173

3.4 Théorèmes d’existence delimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone. . . . . . . . 174

3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux s´séries à termes

positifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments emboités 187

3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 190

3.5 Relations de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.5.1 Suites dominées ou négligeables parrapport à une autre . . . . . . 192

3.5.2 Suites ´équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 193

3.5.3 Comparaison dessuites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

3.5.4 Développement asymptotique d’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . 199

3.6 Suites `a valeurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.6.1 Définitions et convergence d’unesuite complexe . . . . . . . . . . . 202

3.6.2 Lien avec lesparties réelle et imaginaire . . . . . . . . . . . . . . .204

3.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires215

4.1 Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.1.1 Définition et exemples usuels . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 216

4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . .. . . . . . . . . 219

4.1.3 Sous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.2 Operations sur lesespaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

4.2.1 Intersection etsous-espace engendre par une partie . . . . . . . . . 225

4.2.2 Somme desous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.2.3 Sommes directeset sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . 236

4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . .. . . 241

4.3 Sous-espacesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.3.1 Translations etgroupes des translations d’un espace vectoriel . . . .243

4.3.2 Définition d’un sous-espaceaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.3.3 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 247

4.3.4 Intersection dedeux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . 248

4.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 249

4.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 249

4.4.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . .. . . . . . . . . 253

4.4.3 ´Equations linéaires . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

4.4.4 Ensembles desapplications linéaires L(E,F) . . . . . . . . . . . . . 259

4.4.5 Isomorphismes,automorphismes et groupe linéaires . . . . . . . . . . 263

4.4.6 Restriction etrecollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

4.4.7 Hyperplans d’un espace vectoriel et formes linéaires . . . . . . . . . 268

4.4.8 ´Etude d’applications linéaires remarquables . . . . . . . . . . . . . 271

4.4.8.a Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 271

4.4.8.b Projecteurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.4.8.c Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 276

4.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Chapitre 5 Arithmétique dans Z 287

5.1 Arithmétique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 288

5.1.1 Diviseurs etcongruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5.1.2 Nombres premierset décomposition en produit de facteurs premiers 291

5.1.3 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

5.1.4 Sous-groupes de(Z,+) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.1.5 Plus grandcommun diviseur et plus petit commun multiple . . . . 296

5.1.6 Théorème de Bézout etalgorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . 298

5.1.7 Lemme d’Euclide et théorème de Gauss . .. . . . . . . . . . . . . . 302

5.2 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

5.3 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

5.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

5.3.2 Corps Z/pZ et ´élémentsinversibles de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . 312

Chapitre 6 Fonctions r´eelles ou complexes d’unevariable réelle 313

6.1 Généralités sur lesfonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 314

6.1.1 Ensemble F(I,K)et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .314

6.1.2 Ensemble B(I,K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

6.1.3 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 317

6.1.4 Fonctions paireset fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

6.1.5 Fonctionslipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

6.1.6 Fonctionsmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6.2 ´Etude locale d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

6.2.1 Voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323

6.2.2 Limite d’une fonction en un point et continuité en un point . . . . . 325

6.2.3 Operations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . .. . . 335

6.2.4 Compatibilité du passage à la limite avecla relation d’ordre dans R 341

6.2.5 Composition delimites et caractérisation séquentiellede la limite . 348

6.2.6 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 353

6.3 Relations decomparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

6.3.1 Fonctions dominées et fonctions négligeablespar rapport `a une autre

au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356

6.3.2 Comparaison desfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.3.3 Fonctions équivalentes en un point . . . . . . . . . . . . . .. . . . 364

6.3.4 Equivalentsusuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

6.4 Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 372

6.4.1 Définition et premi7res propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

6.4.2 Composée de deux fonctions continues . . . . . . . . . . .. . . . . 374

6.4.3 Restriction et caractère « local » de la continuité . . . . . . . .. . . 375

6.4.4 Prolongement parcontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

6.4.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

6.4.6 Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . .381

6.4.7 Continuité de la bijection réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . 383

6.4.8 Continuité uniforme et théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . 384

6.5 Bilan sur les différences entre fonctions `a valeurs réelles ou complexes . . . 389

6.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Chapitre 7 Polynômes et fractions rationnelles 396

7.1 Ensemble K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 397

7.1.1 Algèbres et morphisme d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

7.1.2 Définition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401

7.1.3 Operationsusuelles sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

7.1.4 Dérivation sur l’ensemble despolynômes . . . . . . . . . . . . . . . 409

7.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 412

7.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 412

7.2.2 Propriétés du degré . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

7.2.3 Conséquences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 414

7.3 Arithmétique dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

7.3.1 Divisibilité dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

7.3.2 Divisioneuclidienne dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

7.3.3 Idéaux de K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

7.3.4 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 425

7.3.5 Théorème de Bézout et théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 427

7.4 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 429

7.4.1 Fonctionpolynomiale associée à un polynôme . . . . . . . . . . . . 429

7.4.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 430

7.4.3 Formule deTaylor et multiplicité d’une racine . . .. . . . . . . . . 432

7.4.4 Méthodes pour montrer que deux polynômes sont égaux . . . . . .436

7.4.5 Polynômes scindes et relations entre racines etcoefficients . . . . . 437

7.5 Polynômes irréductibles etfactorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

7.5.1 ´Eléments irréductibles dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

7.5.2 ´Eléments irréductibles dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

7.6 Ensemble K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 442

7.6.1 Corps desfractions rationnelles K(X) .. . . . . . . . . . . . . . . . 442

7.6.2 Dérivation et degré . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

7.6.3 Zéros et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 445

7.6.4 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .446

7.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448