Mathématiques supérieures, livre ebook

 L’objectif de ce second tome est de consolider et d’approfondir les connaissances fondamentales en algèbre linéaire (théorie de la dimension et des matrices) et multilinéaire (déterminants et produits scalaires), en analyse (dérivation et développements limités, intégration, fonctions convexes, séries réelles). Il a aussi pour but d’initier le lecteur à la théorie « abstraite » des probabilités (discrètes ici) et de le sensibiliser aux problèmes de permutation de limite (abordé ici dans le cadre des séries « doubles »). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s’inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l’idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s’appliquer pour des questions d’analyse et réciproquement.Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l’IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d’ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants. Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d’applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément, une large sélection d’exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d’approfondir leurs connaissances en mathématiques.

Chapitre 1 Dérivation et développements limités 8

1.1 Nombre dérivé en un point . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Interprétations graphique et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Développement limité d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Dérivée d’une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21

1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 ´Etude globale des fonctions d´dérivables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1 Caractérisation des extrema locaux . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 28

1.3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.3 Égalité et inégalité desaccroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.4 Application auxvariations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

1.3.5 Applications auxsuites récurrentes de la forme un+1 = f(un) . . . . . . . 42

1.3.6 Théorème de prolongement . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 43

1.4 Définition et propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5 Opérations sur les développementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5.1 Somme et produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5.2 Inverse . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5.3 Intégration et dérivation d’un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.6 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6.1 Formule deTaylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange . . . 55

1.6.2 Formule deTaylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.6.3 Formule (ou égalité) deTaylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.6.4 Application auxfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.7 Applications des développements limités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.7.1 ´Etude des limites ou recherche d’équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.7.2 ´Etude de position d’unecourbe par rapport à sa tangente . . . . . . . . . 65

1.7.3 Développement asymptotique et ´étude de position par rapport `a une

asymptote . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.7.4 Recherche d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 66

1.7.5 Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . 67

1.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Table des matières

Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie77

2.1 Familles devecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1.1 Famille libre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1.2 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 86

2.1.3 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 88

2.1.4 Caractérisation d’une application linéaires par l’image d’une base . . . . . 92

2.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 96

2.2.1 D´définition et exemples . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète . . . . . . . . . . . . 96

2.2.3 Dimension d’un espace vectoriel et caractérisationdes bases . . . . . . . . 101

2.3 Propriétés de la dimension . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.3.1 Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe . . . . . . . . . 107

2.3.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109

2.3.3 Dimension d’une somme de deux espaces . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111

2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires

par les bases . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.3.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 115

2.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.4.1 Définition du rang d’uneapplication linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.4.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 119

2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des ´éléments inversibles de L(E) .. 122

2.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension . . 129

Chapitre 3 Matrices 131

3.1 Définition d’une matrice . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2 opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.2.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 133

3.2.2 Base canoniquede Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2.3 Produitmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2.4 Transposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 140

3.3.1 Algèbre Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 140

3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) .. . . . . . . . . . . . . . 142

3.3.3 Sous-ensemblesremarquables de Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.3.a Matricesdiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.3.b Matricestriangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.3.3.c Matrices symétriques et antisymétriques. . . . . . . . . . . . . . 150

3.4 Matrices etapplications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 151

3.4.1 Définition de la matrice d’uneapplication linéaires relativement `a deux bases …151

3.4.2 Propriétés ´élémentaires des matrices d’applicationslinéaires . . . . . . . . 155

3.4.3 Isomorphismecanonique de L(Kp,Kn)sur Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . 157

3.4.4 Cas des formes linéaires : ´équations cartésiennes d’un hyperplan . .. . . 161

3.5 Matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 162

3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E)sur Mn(K) .. . . . . . . . . . . . . 162

3.5.2 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base . . . . . . . .. . . . 168

3.5.3 Matrice depassage et changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.6 Rang d’une matrice et opérations ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 173

3.6.1 Définition du rang d’unematrice et première caractérisation . . . .. . . . 173

3.6.2 opérations ´élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) . . . .. . . . . . . 176

3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’unematrice (ou

l’inversed’une matrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 182

3.7 Matrices équivalentes, matrices semblables et trace d’une matrice carrée . . . . . 191

3.7.1 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 191

3.7.2 Matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.7.3 Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . 193

3.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Chapitre 4 Intégration des fonctions d’unevariable réelle 203

4.1 Intégration sur un segment d’unefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.1.1 Fonction enescalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.1.2 Intégrale sur un segment d’unefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . 207

4.1.3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 209

4.1.3.a Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 209

4.1.3.b Monotonie . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.1.3.c Relation deChasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.2 Intégrale sur un segment d’unefonction continue par morceaux . . . . . . . . . . 211

4.2.1 Fonctionscontinues par morceaux et approximation uniforme par des

fonctions en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.2.2 Définition de l’intégrale d’une fonctioncontinue par morceaux . . . . . . . 214

4.2.3 Extension auxfonctions `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.2.4 Linéarité ,monotonie et relation de Chasles . . . . .. . . . . . . . . . . . 216

4.2.5 Valeur moyenneet inégalité de la moyenne .. . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.2.6 Cas desfonctions continues : produit scalaire usuel sur C0([a,b] ,R) et

inégalité deCauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.3 Approximation de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 227

4.3.1 Sommes deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.3.2 Méthode des rectangles pour approcher une intégrale . . . . . . . . . . . . 231

4.3.3 Méthodes des trapèzes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.4 Intégration et dérivation . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.4.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238

4.4.2 Fonctioncontinue par morceaux sur un intervalle quelconque . . . . . . . 239

4.4.3 Intégrale de la borne supérieureet théorème fondamental . . . . . . . . . 240

4.5 Calcul d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.5.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 243

4.5.2 Changement devariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.5.3 Cas desfonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.5.4 Fonctionsrationnelles en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.5.5 Autres exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.6 Intégrale généralisée sur unintervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

4.6.1 Définition de la convergence d’uneintégrale généralisée . . . . . . .. . . 255

4.6.2 Propriétés ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 260

4.6.3 Cas particulierdes fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.6.4 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 264

4.6.5 Critères de convergence pour les fonctions positives . .. . . . . . . . . . . 267

4.6.6 Parties réelles et imaginaires, absolue convergence et lienavec la convergence270

4.6.7 Bilan sur les méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 273

4.6.8 Extension auxfonctions continues sur un intervalle sauf en un nombre

fini de points . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

4.8 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

4.8.1 Démonstration du théorème d’approximation . . . .. . . . . . . . . . . . 290

4.8.2 Compléments sur les sommes de Riemann . . . . . . . . . .. . . . . . . . 292

Chapitre 5 Séries numériques 294

5.1 Généralités sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 295

5.1.1 Définitions et vocabulaire des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.1.2 Convergence,divergence, divergence grossière et convergence absolue . . . 296

5.1.3 Opérations sur les sériesconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.2 Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.2.1 Convergence,divergence et comparaison des termes généraux . . . . . . . 300

5.2.2 Comparaison série-intégrale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.2.3 Séries positives de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 312

5.2.4 Critère de d’Alembert . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

5.3 Séries réelles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 317

5.3.2 Critère spécial pour les séries alternées . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 318

5.3.3 Séries et sommes réelles de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 322

5.3.4 Bilan des méthodes d’étude des séries réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 325

5.4 Séries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

5.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 329

5.4.2 Séries complexes de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 330

5.5 Familles sommableset théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 331

5.5.1 Notion de dénombrabilité . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

5.5.2 Famillessommables de nombres réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . .337

5.5.3 Séries doubles `a termes positifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 341

5.5.4 Famillessommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

5.5.5 Séries doubles complexes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 351

5.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

5.7 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

5.7.1 Transformation d’Abel et critère pour les sériestrigonométriques . . . . . 366

5.7.2 Théorème d’associativité pour les familles sommables . . . . . . . . . . .371

Chapitre 6 Probabilités discrètes 375

6.1 Notion de tribu etdéfinition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

6.2 Mesure de probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales . . . . . . 383

6.3 Variable aléatoire réelle et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

6.4 Indépendance d’évènements ou de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.5 Définition d’une probabilité discrète . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.6 Variables aléatoires discrètes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

6.7 Espérance, variance et moments . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 396

6.8 Inégalités de Markov etde Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

6.9 Sommes devariables aléatoires discrètes usuelles et indépendantes . . . . . . . . 405

6.10 Calculs d’espérance ou de variance pour des variables aléatoires indépendantes . 407

6.11 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Chapitre 7 Fonctions convexes 413

7.1 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.1.1 D´définition et interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 414

7.1.2 Caractérisation de la convexité par la pente des cordes . . . . . . . . . . . 416

7.1.3 Caractérisation de la convexité lorsque f est d´erivable . . . .. . . . . . . 418

7.1.4 Régularité des fonctionsconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

7.2 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 421

7.2.1 Inégalité généralisée de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

7.2.2 Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique . . . . . . . . . . . . 423

7.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Chapitre 8 Déterminants et systèmes linéaires 425

8.1 Définition du déterminant . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

8.1.1 Formes n-linéaires, formes alternéeset antisymétriques . . . . . . . . . . . 426

8.1.2 Caractérisation des formes n-linéaires alternées et dimensionde l’espace

Λn(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

8.1.3 Définition du déterminant dansune base B et propriétés élémentaires . . 431

8.1.4 Caractérisation des bases de E parle d´déterminant . . . . . . . . . . . . . 432

8.2 Déterminant d’unendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

8.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 433

8.2.2 Propriétés du déterminant et caractérisation des isomorphismes . . . . . . 435

8.3 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 436

8.3.1 Définition et propriétés « simples » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

8.3.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . 439

8.3.3 opérations ´élémentaires sur les lignes ou colonnes . . . . . . .. . . . . . 440

8.3.4 Cas particulier: cas des matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.3.5 Lien avec le déterminant de l’application linéaires associée et conséquences 442

8.4 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 444

8.4.1 Définitions et structure des solutions . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 444

8.4.2 Rang d’un système linéaires etdimension de l’espace homogène associé . . 445

8.4.3 Cas des systèmes de Cramer et formules de Cramer . . . . . . . .. . . . 445

8.4.4 Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système . . . . . . .. . . . 449

8.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

Chapitre 9 Espaces euclidiens 456

9.1 Produit scalaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

9.1.1 Définition d’un produitscalaire et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

9.1.2 Inégalité deCauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associée . . . 461

9.1.3 Propriétés remarquables . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 463

9.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 464

9.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 464

9.2.2 Propriétés des familles orthogonales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 467

9.3 Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

9.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 469

9.3.2 Orthogonal d’une partie et existence de bases orthonormées . . . . . . . . 469

9.3.3 Projecteursorthogonaux et symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . .473

9.3.4 Procède d’orthonormalisassionsde Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

9.3.5 Isomorphismenaturel entre E et son dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

9.4 Automorphismesorthogonaux d’un espace euclidien . . . . . . . . . . .. . . . . 481

9.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 481

9.4.2 Caractérisations des automorphismes orthogonaux . . . . .. . . . . . . . 483

9.4.3 Matricesorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

9.5 Automorphismesorthogonaux du plan et étude des groupes O2(R) etSO2(R) .. 491

9.5.1 ´Etude des groupes O2(R) et SO2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

9.5.2 Rotations duplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

9.5.3 Réflexions et décomposition d’une rotation en produit de deux réflexions . 494

9.6 Automorphismesorthogonaux de l’espace et étude du groupe O3(R) . . . . . . . 497

9.6.1 Etude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 497

9.6.2 Etude pratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

9.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506