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Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE scientifique, voies MPSI PCSI PTSI TSI,

De
1232 pages
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Cours de Mathématiques
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Document en cours de relecture (fin des relectures, décembre 2010)
Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron
16 septembre 2010Table des matières
1 Nombres complexes 18
1.1 Le corpsC des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2 Construction deC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3 Propriétés des opérations surC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Représentation d’Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 GroupeU des nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.2 Polynômes, équations, racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Géométrie élémentaire du plan 61
2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.2 Produit d’un vecteur et d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Equation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Interprétation en terme d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.5 Application du déterminant : résolution d’un système linéaire de Cramer de deux équations à deux
inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
−−→
2.5.2 Lignes de niveau de M →~u.AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74? ?−→
2.5.3 Lignes de niveau de M →det u~,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.4 Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.5 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.8 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.9 Équation normale d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.10 Équation polaire d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.3 Représentation paramétrique d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.4 Équation polaire d’un cercle passant par l’origine d’un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−→−→
2.6.5 Caractérisation d’un cercle par l’équationMA.MB=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.6 Intersection d’un cercle et d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.3 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.7.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3 Géométrie élémentaire de l’espace 112
3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plans dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.3 Orientation de l’espace, base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2 Mode de repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Norme d’un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.1 Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
33.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Quelques exemples d’applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Déterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.3 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6 Plans dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Interprétation géométrique de l’équation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6.3 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Deux méthodes de calcul de la distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7 Droites dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7.1 Représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7.3 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.8 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.8.2 Sphères et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.8.3 Sphères et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.9.3 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4 Fonctions usuelles 150
4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1.4 Exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.1 Rappels succints sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.3.3 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Fonction argument sinus hyperboliqueargsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Fonction Argument tangente hyperboliqueargth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
45 Equations différentielles linéaires 197
5.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.2 Résolution de l’équation différentielle homogène normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3.3 Résolution de l’équation différentielle normalisée avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.3.4 Détermination de solutions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.3.6 Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4.2 Résolution de l’équation différentielle homogène du second ordre dansC . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.3 Résolution de l’équation différentielle homogène du second ordre dansR . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 220
5.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.4 Résolution d’équations différentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6 Étude des courbes planes 229
26.1 Fonctions à valeurs dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2.2 Étude locale d’un arc paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Étude d’un point stationnaire avec des outils de terminale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Étude d’un point stationnaire avec les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Branches infinies des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2.3 Étude complète et tracé d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3 Etude d’une courbe polaireρ= f(θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.2 Etude d’une courbeρ= f(θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.3 La cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3.4 La strophoïde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7 Coniques 269
7.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.1.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.1.2 Équation cartésienne d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.1.3 Équation polaire d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2 Étude de la parabole : e=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.3 Étude de l’ellipse : 0<e<1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.4 Étude de l’hyperbole : 1<e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.5 Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.6 Courbes algébriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
57.7.1 En général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.7.5 Courbes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements 301
8.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.1.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.1.3 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
P Q
8.1.4 Notations et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.1.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.2 Propriétés des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.3 Opérations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.4 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.4.1 Applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Nombre de p-listes d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Nombre d’applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.5.1 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.5.4 Factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.5.6 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9 CorpsR des nombres réels 335
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.2 Le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.4 Majorant, minorant, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.5 Droite numérique achevéeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.6 Intervalles deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.7 Propriété d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.8 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.9 Densité deQ dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.10.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.10.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.10.3 Rationnels, irrationnels, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.10.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10 Suites de nombres réels 350
10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.1.2 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.2 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.3.1 Limites et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.3.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.4 Suite extraite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.5.1 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
610.5.3 Approximation décimale des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.5.4 Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.6 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.7.2 Suite dominée par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.7.3 Suite négligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.7.4 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.8 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.9.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.9.2 Convergence, divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.9.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.9.4 Suites monotones et bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
10.9.5 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.9.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.9.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.9.8 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.9.9 Étude de suites données par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
10.9.10 Étude de suites définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 408
11.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.1.1 L’ensembleF I,R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408( )
11.1.2 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.1.4 Parité périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.1.5 Fonctions Lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.2 Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.2.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.2.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.2.5 Limite à gauche, à droite, continuité à gauche, à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.2.6 Limites et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.2.7 Théorème de composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11.2.8 Image d’une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.2.9 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.3 Étude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.3.1 Domination, prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Opérations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.3.2 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.4 Propriétés globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.4.1 Définitions et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.4.2 Les théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.5.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.5.2 Limites d’une fonction à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.5.3 Comparaison des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.5.4 Continuité des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
711.5.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
11.5.6 Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
11.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
11.5.8 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
11.5.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
11.5.10 Bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles 463
12.1 Dérivée en un point, fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
12.2 Dérivée en un point, fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
12.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
12.2.2 Interprétations de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Interprétation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
12.2.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
12.2.4 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
12.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
12.4 Étude globale des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
12.4.1 Extremum d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
12.4.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
12.4.3 Égalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
12.4.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
12.4.5 Application : Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
12.4.6 Condition suffisante de dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
12.5 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
12.5.1 Dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
12.5.2 Dérivée d’ordren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
n12.5.3 Fonctions de classeC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
12.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
12.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
12.7.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
12.7.2 Dérivées d’ordren, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
12.7.3 Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
12.7.4 Recherche d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
12.7.5 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
12.7.6 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
12.7.7 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
12.7.8 Études de suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
12.7.9 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
12.7.10 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
13 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles 511
13.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
13.1.1 Subdivision d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
13.1.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
13.1.3 Intégrale d’une fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
13.1.4 Propriétés de l’intégrale d’une fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
13.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
13.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
13.2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier . . . . . . . . . 516
13.2.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
13.2.4 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
13.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
13.2.6 Nullité de l’intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
13.2.7 Majorations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
13.2.8 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.2.9 Invariance de l’intégrale par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
813.3 Primitive et intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.4 Calcul de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
13.4.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
13.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
13.4.3 Changement de variable affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
13.4.4 Étude d’une fonction définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
13.5.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
13.5.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
13.5.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
13.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
13.6 Méthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
13.7.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
13.7.2 Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
13.7.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
13.7.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
13.7.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
13.7.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
13.7.7 Calcul de primitives et d’intégrales - Techniques mélangées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
13.7.8 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
13.7.9 Majorations d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
13.7.10 Limite de fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
13.7.11 Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
13.7.12 Suites dont le terme général est défini par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
13.7.13 Algèbre linéaire et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
13.7.14 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
13.7.15 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
14 Développements limités 590
14.1 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
14.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
14.1.2 DL fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
14.1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
14.1.4 DL et régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
14.2 Développement limité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
14.2.1 Utilisation de la formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
14.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
14.3.1 Combinaison linéaire et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
14.3.2 Composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
14.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
14.3.4 Développement limité d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
14.4.1 Calcul de développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
14.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
14.4.3 Applications à l’étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
14.4.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
14.4.5 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
14.4.6 Applications à l’étude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
14.4.7 Applications à l’étude locale des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
14.4.8 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
15 Propriétés métriques des arcs 632
15.0.9 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
15.0.10 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
15.1 Propriétés métriques des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
15.1.1 Longueur, abscisse curviligne d’un arc paramétré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
15.1.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
15.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
915.2.1 Calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
15.2.2 Calcul de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
15.2.3 Développée, développante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
15.2.4 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
16 Suites et fonctions à valeurs complexes 648
16.1 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
16.2 Continuité des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
16.3 Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
16.4 Intégration des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
16.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
16.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
16.5.2 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
16.5.3 Intégrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
17 Notions sur les fonctions de deux variables réelles 656
17.1 Continuité des fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
117.2 Dérivées partielles, fonctionsC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
17.3 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
17.4 Extremum d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
17.5 Dérivées partielles d’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
17.6 Exemples d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
17.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
17.7.1 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
17.7.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
117.7.3 Fonctions de classeC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
17.7.4 Dérivées de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
217.7.5 Fonctions de classeC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
17.7.6 Extremum de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
17.7.7 Équations aux dérivées partielles d’ordre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
17.7.8 Équations aux dérivées partielles d’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
17.7.9 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
18 Intégrales multiples 690
18.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
18.1.1 Le théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
18.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
18.1.3 Aire d’un domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
18.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
18.3.1 Calculs élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
18.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
18.3.3 Intégration en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
18.3.4 Application du théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
18.3.5 Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
18.3.6 Centres de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
19 Structures algébriques 708
19.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
19.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
19.1.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
19.1.3 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
19.2 Anneau, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
19.2.1 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
19.3 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
19.3.1 Corps des fractions d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
19.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
19.4.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
19.4.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
19.4.3 Sous groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
19.4.4 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
10

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