Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE scientifique, voies MPSI PCSI PTSI TSI,
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Publié le
01 janvier 2010
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Français
Poids de l'ouvrage
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Grâce à ce livre très complet de cours de mathématiques pour les 1ères années de classe préparatoire des grandes écoles en section scientifique pour les voies MPSI PCSI PTSI TSI. Il est composé de 1200 pages ce qui vous permettra de correctement vous entraîner pour réussir les maths en CPGE Scientifique.
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Cours de Mathématiques
Sup MPSI PCSI PTSI TSI
En partenariat avec l’association Sésamath http://www.sesamath.net
et le site http://www.les-mathematiques.net
Document en cours de relecture (fin des relectures, décembre 2010)
Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron
16 septembre 2010Table des matières
1 Nombres complexes 18
1.1 Le corpsC des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2 Construction deC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3 Propriétés des opérations surC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Représentation d’Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 GroupeU des nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.2 Polynômes, équations, racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Géométrie élémentaire du plan 61
2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.2 Produit d’un vecteur et d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Equation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Interprétation en terme d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.5 Application du déterminant : résolution d’un système linéaire de Cramer de deux équations à deux
inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
−−→
2.5.2 Lignes de niveau de M →~u.AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74? ?−→
2.5.3 Lignes de niveau de M →det u~,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.4 Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.5 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.8 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.9 Équation normale d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.10 Équation polaire d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
