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´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre

Filtre du 1erordre

Tabledesmati`eres

1 Introduction

2

3

Filtre passe-bas du premier ordre
2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB.........
2.3.1Repr´esentationdelacourbedegain.............
2.3.2Repre´sentationdelacourbedephase............

Filtre passe-haut du premier ordre
3.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB.........
3.3.1Repre´sentationdelacourbedegain.............
3.3.2Repre´sentationdelacourbedephase............

4G´ene´ralisation
4.1Filtrelin´eaire..............................
4.2Fonctiondetransfertenr´egimesinuso¨ıdal..............

1 Introduction

Qu’est-ce qu’un filtre ?

1

1
1
2
2
2
3

3
3
4
4
4
4

5
5
5

D ˆme qu’un filtre optique ne laisse passer que certaines couleurs, un
e me
filtreen´electrocine´tiquenelaisserapasserquecertainssignauxsinuso¨ıdaux
caract´erise´sparunepulsationω.

Al’entre´edufiltre,onappliqueparexempleunetensiondepulsationω;
si,a`lasortiedufiltre,latensionn’estpastropatt´enu´ee,onconside`requele
filtre laisse passer la pulsationωiaerl,taneisnosettr`esatt´enu´eeno,rtnocuais;
conside`requelefiltrenelaissepaspasserlapulsationω.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

page 1/6

Lefiltreseraalorscaracte´ris´eparl’ensembledespulsationsoufre´quencesqu’il
laissepasserappele´bande passante.
Un filtrepasse baslupselressapessilataoiupsluaener`srieunf´eonsisatinωc.
Un filtrepasse hautnoitaslislapaseerss´erieures`aunepuelpsluasitnosspuωc.
Un filtrepasse bandelaisse passer les pulsations comprises entreωc1etωc2.
Un filtrecoupe bandeouendbadeurteecej´rlaisse passer les pulsations
inf´erieuresa`ωc1aeuris`reestpue´ωc2.
Unfiltrepeutdonceˆtreutilis´epournes´electionnerquecertainespulsations
(radio, TV...).
D’unemani`erege´n´erale,commetoutsignalpe´riodiquepeut-ˆetreconsid´ere´
commeunesuperpositiondesignauxsinusoı¨daux,sionconnaitlespectredu
signald’entre´eetlescaract´eristiquesdufiltres,onpeutend´eduirelespectredu
signaldesortieetdonclaformedusignalapr`espassagedanslefiltre.
2 Filtre passe-bas du premier ordre

ue

ie

R

2.1 Comportement asymptotique

L’impe´danceducondensateurvaut

1
ZC=Cω
j

is= 0

us

Siω→0 alorsZC→ ∞easn´hmeminapurp(reflescairetnancraabtlenntcohe
le condensateur) etUs→Ue.

Siω→ ∞alorsZC

→0

(refaire le


sc ema en

emp ¸
r lacant la

branche

´
MPSI-Electrocine´tiqueII-Filtredu1erordre

contenant le condensateur par un fil) etUs→0.

Onpeutdoncd´eja`direquelefiltretransmetlessignauxdebassefr´equenceet
atte´nueceuxdehautefre´quenced’o`ulade´nominationdefiltre passe-bas.

2.2 Fonction de transfert

Lafonctiondetransfertestde´finiepar

1
UsjCω1
= 1 = 1 +jRCω
UeR+jCω

1
en posantω0=RC

H(jω) =UUs
e

H(jω)+11=j ω
ω0

2.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB

2.3.1Repr´esentationdelacourbedegain

Lemoduledelafonctiondetransfertestappele´gain

H(ω) =|H(jω)|=

1
1 +ωω02

expe´rimentalementH(ω) =UUsmme=UUseepocumuomitlrte`e)llsosoic(
Onde´finitleendne´iceblaig

GdB log= 20|H(jω)|

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

=−10 log1 +ω02!
ω

page 2/6

Onrepr´esentelegainende´cibelnonpasenfonctio
n deωω0(ouωouf) mais en
fonction de logωωrdnete´’stnavuopceenqu´efrdegelal(pauesedequelqH z`a
0
106H zet plus)

Siωpetit devantω0alorsGdB'0
Siωgrand devantω0alorsGdB' −20 logωdroite de pente−20dBpar
ω0
de´cadecequisignifiequesiω´epar10,logetsumtlpiilωaugmente de 1 etGdB
ω0
diminue de 20dB

−2

−1

GdB

0

−20

1

2
log

ω
ω0

Les deux asymptotes se coupent pour 0 =−20 logωporeura`ide’tscω=ω0;
ω0
pourω=ω0,H(ω21=te)GdB= 20 log 1' −3dB.ω0noitalee´upslseatpp
2
decoupurea`−3dBnoetet´ωc.

Lataoiupsluoupdncere`a−3dBtreedufilaptse´drtinfilnoiulap-sa
tion telle que
GdB(ωc) =−3dB
Ellepeutˆetreinterpr´ete´ecommelalimiteentrelescomportementsBFetHFdu
filtre :

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre

les signaux de pulsationsω < ωciateneovucenteas´stnnreoaiutttransmison
inf´erieurea`3dB;
les signaux de pulsationsω > ωcttonnsrasevucitaesnroimesonuatit´enneat
supe´rieurea`3dB;
Ide´alementonconsid´ereraquelefiltrelaissepasserunepulsationωs’aile´tt-aun
tionensortieestinf´erieurea`3dB.

Labande passantede ce filtre, c’est
qu’il laisse passer, est donc [0 ω0].

2.3.2

`
a

dire

Repr´esentationdelacourbedephase

l’ensemble

L’argumentdelafonctiondetransfertestappele´phase

ϕ(ω) = argH(jω)

= 0−arg(1 +ωωj0) =−arctanωω0

ex ´ i entalementϕ(ω) =ϕs−ϕe(oscilloscope)
per m

des

pulsations

Onrepre´sentelaphasenonpasenfonctiondeωω(ouωouf) mais en
0
fωndre de quelquesH z`a
onction de logω0(euqe´rfedegalpalte´es’ntvaouepnc
106H zet plus)

Siωpetit devantω0alorsϕ'0

Siωgrand devantω0alorsϕ' −π2
Siω=ω0alorsϕ=−4π

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

−2

−1

ϕ
0

π

2

1

2

page 3/6

ω
log
ω0

Pourω= 01ω0,ϕ=−6˚
Pourω= 10ω0,ϕ˚4=8
L’essentiel de la rotation de phase se fait donc entre 01ω0et 10ω0`tse’ceirad
surdeuxde´c.

3

3.1

Filtre passe-haut du premier ordre

ue

ie

Comportement asymptotique

L’impe´danceducondensateurvaut

ZC1
=
jCω

R

is= 0

us

Siω→0 alorsZC→ ∞er(ecchteonntnairamuspprbnatnalelesfairmaench´e
le condensateur) etUs→0.

Siω→ ∞alorsZC→brr(afnecihaeerelcs´hmeearnmelp¸aactnal0
contenant le condensateur par un fil) etUs→Ue.

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre

Onpeutdoncd´ej`adirequelefiltretransmetlessignauxdehautefre´quenceet
atte´nueceuxdebassefr´equenced’ou`lad´enominationdefiltre passe-haut.

3.2 Fonction de transfert

Lafonctiondetransfertestde´finiepar

UsR
Ue=R1
+jCω

jRCω
=
1 +jRCω

1
=
en posantω0RC

s
H(jω) =UUe

j ω
H(jω) =ω0
1 +j ω
ω0

3.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupurea`-3dB

3.3.1

Repr´esentationdelacourbedegain

ω
ω0
H(ω) =|H(jω)|+1=ωω02
experimentalementH(ω) =UUesm=UUsepooemulucsliolcs)tim`etre(o
´
m

GdB log= 20|H(jω)|
= 20 logωω0−10 log1 +ωω02!

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

Siωpetit devantω0alorsGdB'20 logω
ω0
ω
Siωgrand devantω0alorsGdB'20 log−10 logωω02= 0
ω0

−2

−1

GdB

0

−20

1

page 4/6

2
logω
ω0

Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20 logωc’eidertsa`opruω=ω0=
ω0
pulsationdecoupure`a3dB.

Labande passanteiradt`esc’e,trfilecede
qu’il laisse passer, est donc [ω0∞[.

3.3.2

Repr´esentationdelacourbedephase

ϕ(ω) = argH(jω)

l’ensemble

−arg =−arctan
= arg(ωωj +) (1ωωj0)π ω
02ω0

exp´rimentalementϕ(ω) =ϕs−ϕe(oscilloscope)
e

des

Lacourbesede´duitdecelledupasse-basparunetranslationdeπ.2

ωc,

pulsations

´
MPSI-Electrocine´tiqueII-Filtredu1erordre

4

−2

−1

G´en´eralisation

4.1Filtrelin´eaire

ϕ
π
2

0

1

2

ω
log
ω0

Unfiltreestlin´eairesitousles´el´ementsquileconstituentsontline´aires,alors:
-silesignald’entre´eestsinusoı¨daldepulsationωt´esalegenemtelisnglaedostrei,
sinusoıdaldemˆemepulsation;
¨
-lestensionsd’entre´eueet de sortieus´enerupaes´eliretnosielleffie´ertnuqtaoidn
lin´eaire`acoefficientsconstants

Anddntuns++A1ddtus+A0us=Bmddmutem++B1uddte+B0ue

Unfiltrepassifnecomportequedese´l´ementspassifs;lapuissancemoyenne
disponibleensortieestdonctoujoursinfe´rieureou´egalea`lapuissancemoyenne
recueenentr´ee.
¸

Un filtre actif comporte en plus des sources (AO par exemple) ; la puis-
sancemoyennedisponibleensortiepeutalorsˆetresup´erieurea`cellere¸cueen
t ´
en ree.

4.2Fonctiondetransfertenr´egimesinuso¨ıdal

ue=Ue2 cos(ωt+ϕe)

ue=Ueexp(jωt)

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

us=Us2 cos(ωt+ϕs)

us=Usexp(jωt)

L’e´quationdiffe´rentielledevientalors

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An(jω)nus++A1(jω)us+A0us=Bm(jω)mue++B1(jω)ue+B0ue

ce qui permet d’exprimer le rapport

usB0+B1(jω) ++Bm(jω)m
=
ueA0+A1(jω) ++An(jω)n

appele´fonctiondetransfert

H(jω) =Us
Ue

Sonmoduledonnelerapporttensiondesortiesurtensiond’entr´ee

|H(jω)|=UsmUs
=
UemUe

Sonargumentdonneladiffe´rencedephaseentrelatensiondesortieetlatension
d’entre´e
argH(jω) =ϕs−ϕ
e

Lafonctiondetransfertn’estpasunepropri´et´eintrins`equedufiltre,ellede´pend
dufiltremaisaussidelachargebranch´ee`alasortiedecelui-ci.

Pourtouslessystemesr´eelsH(ω) garde une valeur finie ce qui implique
`
quemnfsiri´er`euaseuottruojntlfiu.erqu´eiditfinorl’eddr

´
Lafonctiondetransfertd’unfiltres’´etudieenge´n´eralsurundomainefre-
quentieltr`es´etendu(de0jusqu’a`e´ventuellementplusieursMHz),ilestalorstr`es
utiled’introduiredes´echelleslog.

´
MPSI-Electrocine´tiqueII-Filtredu1er

ordre

Lediagramme de Boden:e´rperaloitatnescomprend
–dugainend´ecibelGdB log= 20|H(jω)|en fonction de logωω0ou en fonction
deωsur du papier semilog ;
ω0
– de la phaseϕ= argH(jω) en fonction de logωω0ou en fonction deωω0sur du
papier semilog.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

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