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Publié le
01 janvier 2010
Nombre de lectures
239
Licence :
Langue
Français
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Français
´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre
Filtre du 1erordre
Tabledesmati`eres
1 Introduction
2
3
Filtre passe-bas du premier ordre
2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB.........
2.3.1Repr´esentationdelacourbedegain.............
2.3.2Repre´sentationdelacourbedephase............
Filtre passe-haut du premier ordre
3.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB.........
3.3.1Repre´sentationdelacourbedegain.............
3.3.2Repre´sentationdelacourbedephase............
4G´ene´ralisation
4.1Filtrelin´eaire..............................
4.2Fonctiondetransfertenr´egimesinuso¨ıdal..............
1 Introduction
Qu’est-ce qu’un filtre ?
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
D ˆme qu’un filtre optique ne laisse passer que certaines couleurs, un
e me
filtreen´electrocine´tiquenelaisserapasserquecertainssignauxsinuso¨ıdaux
caract´erise´sparunepulsationω.
Al’entre´edufiltre,onappliqueparexempleunetensiondepulsationω;
si,a`lasortiedufiltre,latensionn’estpastropatt´enu´ee,onconside`requele
filtre laisse passer la pulsationωiaerl,taneisnosettr`esatt´enu´eeno,rtnocuais;
conside`requelefiltrenelaissepaspasserlapulsationω.
DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007
page 1/6
Lefiltreseraalorscaracte´ris´eparl’ensembledespulsationsoufre´quencesqu’il
laissepasserappele´bande passante.
Un filtrepasse baslupselressapessilataoiupsluaener`srieunf´eonsisatinωc.
Un filtrepasse hautnoitaslislapaseerss´erieures`aunepuelpsluasitnosspuωc.
Un filtrepasse bandelaisse passer les pulsations comprises entreωc1etωc2.
Un filtrecoupe bandeouendbadeurteecej´rlaisse passer les pulsations
inf´erieuresa`ωc1aeuris`reestpue´ωc2.
Unfiltrepeutdonceˆtreutilis´epournes´electionnerquecertainespulsations
(radio, TV...).
D’unemani`erege´n´erale,commetoutsignalpe´riodiquepeut-ˆetreconsid´ere´
commeunesuperpositiondesignauxsinusoı¨daux,sionconnaitlespectredu
signald’entre´eetlescaract´eristiquesdufiltres,onpeutend´eduirelespectredu
signaldesortieetdonclaformedusignalapr`espassagedanslefiltre.
2 Filtre passe-bas du premier ordre
ue
ie
R
2.1 Comportement asymptotique
L’impe´danceducondensateurvaut
1
ZC=Cω
j
is= 0
us
Siω→0 alorsZC→ ∞easn´hmeminapurp(reflescairetnancraabtlenntcohe
le condensateur) etUs→Ue.
Siω→ ∞alorsZC
→0
(refaire le
h´
sc ema en
emp ¸
r lacant la
branche
´
MPSI-Electrocine´tiqueII-Filtredu1erordre
contenant le condensateur par un fil) etUs→0.
Onpeutdoncd´eja`direquelefiltretransmetlessignauxdebassefr´equenceet
atte´nueceuxdehautefre´quenced’o`ulade´nominationdefiltre passe-bas.
2.2 Fonction de transfert
Lafonctiondetransfertestde´finiepar
1
UsjCω1
= 1 = 1 +jRCω
UeR+jCω
1
en posantω0=RC
H(jω) =UUs
e
H(jω)+11=j ω
ω0
2.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB
2.3.1Repr´esentationdelacourbedegain
Lemoduledelafonctiondetransfertestappele´gain
H(ω) =|H(jω)|=
1
1 +ωω02
expe´rimentalementH(ω) =UUsmme=UUseepocumuomitlrte`e)llsosoic(
Onde´finitleendne´iceblaig
GdB log= 20|H(jω)|
DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007
=−10 log1 +ω02!
ω
page 2/6
Onrepr´esentelegainende´cibelnonpasenfonctio
n deωω0(ouωouf) mais en
fonction de logωωrdnete´’stnavuopceenqu´efrdegelal(pauesedequelqH z`a
0
106H zet plus)
Siωpetit devantω0alorsGdB'0
Siωgrand devantω0alorsGdB' −20 logωdroite de pente−20dBpar
ω0
de´cadecequisignifiequesiω´epar10,logetsumtlpiilωaugmente de 1 etGdB
ω0
diminue de 20dB
−2
−1
GdB
0
−20
1
2
log
ω
ω0
Les deux asymptotes se coupent pour 0 =−20 logωporeura`ide’tscω=ω0;
ω0
pourω=ω0,H(ω21=te)GdB= 20 log 1' −3dB.ω0noitalee´upslseatpp
2
decoupurea`−3dBnoetet´ωc.
Lataoiupsluoupdncere`a−3dBtreedufilaptse´drtinfilnoiulap-sa
tion telle que
GdB(ωc) =−3dB
Ellepeutˆetreinterpr´ete´ecommelalimiteentrelescomportementsBFetHFdu
filtre :
´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre
les signaux de pulsationsω < ωciateneovucenteas´stnnreoaiutttransmison
inf´erieurea`3dB;
les signaux de pulsationsω > ωcttonnsrasevucitaesnroimesonuatit´enneat
supe´rieurea`3dB;
Ide´alementonconsid´ereraquelefiltrelaissepasserunepulsationωs’aile´tt-aun
tionensortieestinf´erieurea`3dB.
Labande passantede ce filtre, c’est
qu’il laisse passer, est donc [0 ω0].
2.3.2
`
a
dire
Repr´esentationdelacourbedephase
l’ensemble
L’argumentdelafonctiondetransfertestappele´phase
ϕ(ω) = argH(jω)
= 0−arg(1 +ωωj0) =−arctanωω0
ex ´ i entalementϕ(ω) =ϕs−ϕe(oscilloscope)
per m
des
pulsations
Onrepre´sentelaphasenonpasenfonctiondeωω(ouωouf) mais en
0
fωndre de quelquesH z`a
onction de logω0(euqe´rfedegalpalte´es’ntvaouepnc
106H zet plus)
Siωpetit devantω0alorsϕ'0
Siωgrand devantω0alorsϕ' −π2
Siω=ω0alorsϕ=−4π
DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007
−2
−1
ϕ
0
π
−
2
1
2
page 3/6
ω
log
ω0
Pourω= 01ω0,ϕ=−6˚
Pourω= 10ω0,ϕ˚4=8
L’essentiel de la rotation de phase se fait donc entre 01ω0et 10ω0`tse’ceirad
surdeuxde´c.
3
3.1
Filtre passe-haut du premier ordre
ue
ie
Comportement asymptotique
L’impe´danceducondensateurvaut
ZC1
=
jCω
R
is= 0
us
Siω→0 alorsZC→ ∞er(ecchteonntnairamuspprbnatnalelesfairmaench´e
le condensateur) etUs→0.
Siω→ ∞alorsZC→brr(afnecihaeerelcs´hmeearnmelp¸aactnal0
contenant le condensateur par un fil) etUs→Ue.
´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre
Onpeutdoncd´ej`adirequelefiltretransmetlessignauxdehautefre´quenceet
atte´nueceuxdebassefr´equenced’ou`lad´enominationdefiltre passe-haut.
3.2 Fonction de transfert
Lafonctiondetransfertestde´finiepar
UsR
Ue=R1
+jCω
jRCω
=
1 +jRCω
1
=
en posantω0RC
s
H(jω) =UUe
j ω
H(jω) =ω0
1 +j ω
ω0
3.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupurea`-3dB
3.3.1
Repr´esentationdelacourbedegain
ω
ω0
H(ω) =|H(jω)|+1=ωω02
experimentalementH(ω) =UUesm=UUsepooemulucsliolcs)tim`etre(o
´
m
GdB log= 20|H(jω)|
= 20 logωω0−10 log1 +ωω02!
DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007
Siωpetit devantω0alorsGdB'20 logω
ω0
ω
Siωgrand devantω0alorsGdB'20 log−10 logωω02= 0
ω0
−2
−1
GdB
0
−20
1
page 4/6
2
logω
ω0
Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20 logωc’eidertsa`opruω=ω0=
ω0
pulsationdecoupure`a3dB.
−
Labande passanteiradt`esc’e,trfilecede
qu’il laisse passer, est donc [ω0∞[.
3.3.2
Repr´esentationdelacourbedephase
ϕ(&