Cours - Electrocinétique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Filtres du premier ordre

Damien Decout

Description

Cours d'électrocinétique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Electrocinétique I"; il est composé de 2 chapitres : (1) Régime sinusoïdal forcé (2) Filtres du premier ordre

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 239
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre

Filtre du 1erordre

Tabledesmati`eres

1 Introduction

2

3

Filtre passe-bas du premier ordre
2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB.........
2.3.1Repr´esentationdelacourbedegain.............
2.3.2Repre´sentationdelacourbedephase............

Filtre passe-haut du premier ordre
3.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB.........
3.3.1Repre´sentationdelacourbedegain.............
3.3.2Repre´sentationdelacourbedephase............

4G´ene´ralisation
4.1Filtrelin´eaire..............................
4.2Fonctiondetransfertenr´egimesinuso¨ıdal..............

1 Introduction

Qu’est-ce qu’un filtre ?

1

1
1
2
2
2
3

3
3
4
4
4
4

5
5
5

D ˆme qu’un filtre optique ne laisse passer que certaines couleurs, un
e me
filtreen´electrocine´tiquenelaisserapasserquecertainssignauxsinuso¨ıdaux
caract´erise´sparunepulsationω.

Al’entre´edufiltre,onappliqueparexempleunetensiondepulsationω;
si,a`lasortiedufiltre,latensionn’estpastropatt´enu´ee,onconside`requele
filtre laisse passer la pulsationωiaerl,taneisnosettr`esatt´enu´eeno,rtnocuais;
conside`requelefiltrenelaissepaspasserlapulsationω.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

page 1/6

Lefiltreseraalorscaracte´ris´eparl’ensembledespulsationsoufre´quencesqu’il
laissepasserappele´bande passante.
Un filtrepasse baslupselressapessilataoiupsluaener`srieunf´eonsisatinωc.
Un filtrepasse hautnoitaslislapaseerss´erieures`aunepuelpsluasitnosspuωc.
Un filtrepasse bandelaisse passer les pulsations comprises entreωc1etωc2.
Un filtrecoupe bandeouendbadeurteecej´rlaisse passer les pulsations
inf´erieuresa`ωc1aeuris`reestpue´ωc2.
Unfiltrepeutdonceˆtreutilis´epournes´electionnerquecertainespulsations
(radio, TV...).
D’unemani`erege´n´erale,commetoutsignalpe´riodiquepeut-ˆetreconsid´ere´
commeunesuperpositiondesignauxsinusoı¨daux,sionconnaitlespectredu
signald’entre´eetlescaract´eristiquesdufiltres,onpeutend´eduirelespectredu
signaldesortieetdonclaformedusignalapr`espassagedanslefiltre.
2 Filtre passe-bas du premier ordre

ue

ie

R

2.1 Comportement asymptotique

L’impe´danceducondensateurvaut

1
ZC=Cω
j

is= 0

us

Siω→0 alorsZC→ ∞easn´hmeminapurp(reflescairetnancraabtlenntcohe
le condensateur) etUs→Ue.

Siω→ ∞alorsZC

→0

(refaire le

h´
sc ema en

emp ¸
r lacant la

branche

´
MPSI-Electrocine´tiqueII-Filtredu1erordre

contenant le condensateur par un fil) etUs→0.

Onpeutdoncd´eja`direquelefiltretransmetlessignauxdebassefr´equenceet
atte´nueceuxdehautefre´quenced’o`ulade´nominationdefiltre passe-bas.

2.2 Fonction de transfert

Lafonctiondetransfertestde´finiepar

1
UsjCω1
= 1 = 1 +jRCω
UeR+jCω

1
en posantω0=RC

H(jω) =UUs
e

H(jω)+11=j ω
ω0

2.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupure`a-3dB

2.3.1Repr´esentationdelacourbedegain

Lemoduledelafonctiondetransfertestappele´gain

H(ω) =|H(jω)|=

1
1 +ωω02

expe´rimentalementH(ω) =UUsmme=UUseepocumuomitlrte`e)llsosoic(
Onde´finitleendne´iceblaig

GdB log= 20|H(jω)|

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

=−10 log1 +ω02!
ω

page 2/6

Onrepr´esentelegainende´cibelnonpasenfonctio
n deωω0(ouωouf) mais en
fonction de logωωrdnete´’stnavuopceenqu´efrdegelal(pauesedequelqH z`a
0
106H zet plus)

Siωpetit devantω0alorsGdB'0
Siωgrand devantω0alorsGdB' −20 logωdroite de pente−20dBpar
ω0
de´cadecequisignifiequesiω´epar10,logetsumtlpiilωaugmente de 1 etGdB
ω0
diminue de 20dB

−2

−1

GdB

0

−20

1

2
log

ω
ω0

Les deux asymptotes se coupent pour 0 =−20 logωporeura`ide’tscω=ω0;
ω0
pourω=ω0,H(ω21=te)GdB= 20 log 1' −3dB.ω0noitalee´upslseatpp
2
decoupurea`−3dBnoetet´ωc.

Lataoiupsluoupdncere`a−3dBtreedufilaptse´drtinfilnoiulap-sa
tion telle que
GdB(ωc) =−3dB
Ellepeutˆetreinterpr´ete´ecommelalimiteentrelescomportementsBFetHFdu
filtre :

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre

les signaux de pulsationsω < ωciateneovucenteas´stnnreoaiutttransmison
inf´erieurea`3dB;
les signaux de pulsationsω > ωcttonnsrasevucitaesnroimesonuatit´enneat
supe´rieurea`3dB;
Ide´alementonconsid´ereraquelefiltrelaissepasserunepulsationωs’aile´tt-aun
tionensortieestinf´erieurea`3dB.

Labande passantede ce filtre, c’est
qu’il laisse passer, est donc [0 ω0].

2.3.2

`
a

dire

Repr´esentationdelacourbedephase

l’ensemble

L’argumentdelafonctiondetransfertestappele´phase

ϕ(ω) = argH(jω)

= 0−arg(1 +ωωj0) =−arctanωω0

ex ´ i entalementϕ(ω) =ϕs−ϕe(oscilloscope)
per m

des

pulsations

Onrepre´sentelaphasenonpasenfonctiondeωω(ouωouf) mais en
0
fωndre de quelquesH z`a
onction de logω0(euqe´rfedegalpalte´es’ntvaouepnc
106H zet plus)

Siωpetit devantω0alorsϕ'0

Siωgrand devantω0alorsϕ' −π2
Siω=ω0alorsϕ=−4π

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

−2

−1

ϕ
0

π
−
2

1

2

page 3/6

ω
log
ω0

Pourω= 01ω0,ϕ=−6˚
Pourω= 10ω0,ϕ˚4=8
L’essentiel de la rotation de phase se fait donc entre 01ω0et 10ω0`tse’ceirad
surdeuxde´c.

3

3.1

Filtre passe-haut du premier ordre

ue

ie

Comportement asymptotique

L’impe´danceducondensateurvaut

ZC1
=
jCω

R

is= 0

us

Siω→0 alorsZC→ ∞er(ecchteonntnairamuspprbnatnalelesfairmaench´e
le condensateur) etUs→0.

Siω→ ∞alorsZC→brr(afnecihaeerelcs´hmeearnmelp¸aactnal0
contenant le condensateur par un fil) etUs→Ue.

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Filtredu1erordre

Onpeutdoncd´ej`adirequelefiltretransmetlessignauxdehautefre´quenceet
atte´nueceuxdebassefr´equenced’ou`lad´enominationdefiltre passe-haut.

3.2 Fonction de transfert

Lafonctiondetransfertestde´finiepar

UsR
Ue=R1
+jCω

jRCω
=
1 +jRCω

1
=
en posantω0RC

s
H(jω) =UUe

j ω
H(jω) =ω0
1 +j ω
ω0

3.3DiagrammedeBode-Pulsationdecoupurea`-3dB

3.3.1

Repr´esentationdelacourbedegain

ω
ω0
H(ω) =|H(jω)|+1=ωω02
experimentalementH(ω) =UUesm=UUsepooemulucsliolcs)tim`etre(o
´
m

GdB log= 20|H(jω)|
= 20 logωω0−10 log1 +ωω02!

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

Siωpetit devantω0alorsGdB'20 logω
ω0
ω
Siωgrand devantω0alorsGdB'20 log−10 logωω02= 0
ω0

−2

−1

GdB

0

−20

1

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2
logω
ω0

Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20 logωc’eidertsa`opruω=ω0=
ω0
pulsationdecoupure`a3dB.
−

Labande passanteiradt`esc’e,trfilecede
qu’il laisse passer, est donc [ω0∞[.

3.3.2

Repr´esentationdelacourbedephase

ϕ(&