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MPSI-Electromagne´tisme-Electrostatique

´
Electrostatique

Tabledesmati`eres

1

2

Lachargee´lectrique
1.1Proprie´te´s................................
1.2 Distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Distribution volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Distribution surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3Distributionlin´e¨ıque......................

Champ´electrostatique
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Champ d’une charge ponctuelle . . . . . . . . .
2.3 Principe de superposition . . . . . . . . . . . .

2.4 Champ d’une distribution . . . . . . . . . . . .
2.5 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3Invariancesetsyme´tries
3.1 Invariances des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
3.2Plandesyme´trieetpland’antisym´etrie...............
3.3Cons´equencespourlechampe´lectrostatique.............

4Potentiele´lectrostatique
4.1 Circulation de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3Potentielcre´e´parunedistributiondecharges............
4.4Surfacese´quipotentielles........................
´
4.5 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5The´or`emedeGauss

6

Analogie gravitationnelle

7Ledipˆolee´lectrostatique
7.1Actionsexerc´eesparundipˆole....................
7.2Actionssubiesparundipˆole......................

DamienDECOUT-Dernie`remodification:avril2007

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1

Lachargee´lectrique

1.1Proprie´tes
´

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On appellechargesontiacerntsilese’dpenuartce´irueqriuacunegrandarticule
e´lectromagne´tiquesqu’elleexerceainsiquecellesqu’ellesubit(voirmasseet
interaction gravitationnelle).
La charge est une grandeur scalaire pouvant prendre des valeurs positives ou
negatives.
´

La charge estquaneeit´fi:

ou`Zest un entier relatif et

q=Ze

e= 1610−19C

e

´
lecoulombetantl’unite´delacharge.
La charge est une grandeurconservative: la charge total
ferme´estconstanteaucoursdutemps.
Lachargetotaled’unsyst`emened´ependpasdure´f´erentiel
la mesure (principe d’invariancede la charge).

d’un

syst`eme

dans lequel on

1.2 Distributions de charges
1.2.1 Distribution volumique
L’approximationdesmilieuxcontinuspermetdede´finiruneevt´sienueiqumold
de chargeoucharge volumique:

dq
ρ=dτ
ou`dq=Pqiest la charge contenue dans le volumedτal’´echellemacroetepit`t
grand`al’´echellemicro:
dq=ρdτ

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1.2.2

Distribution surfacique

Siunedes3dimensionsestne´gligeableparrapportauxdeuxautres,onpeut
d´efinirunefruse´tisnedgearchdeueiqacoucharge surfacique:

1.2.3

dq=ρ hdS=σdS

Distributionlin´e¨ıque

Sideuxdes3dimensionssontn´egligeablesparrapport`alatroisie`me,onpeut
de´finiruneahceegrı¨e´deuqt´siinelendou¨in´ergelcha
ıque:

2

dq=λdl

Champ electrostatique
´

2.1 Loi de Coulomb

Soitq1enM1etq2enM2

av 1 = 9109SI
ec4π0

1q1q2
F1→2=4π0M1M22MM11MM22

2.2 Champ d’une charge ponctuelle

SoitqenOetq0enM

`
ou

Fq→q04=π10MOqq02OOMM=q04qπ0OOMM3=q0Eq(M)

Eq(M)qOM
=
4π0OM3

estlechampcre´e´parlachargeqenM.

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2.3

Principe de superposition

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Soitq1enO1,q2enO2,q3enO3oiticevnirotellesfdeceor´esdulcoleea’ddD.le..
principe de superposition des champs :

E(M) =XEi(M) =X4πqi0OOiiMM3
i i

Enparticulier,laforceaveclaquelleinteragissentdeuxchargesn’estpasmodifi´ee
parlapre´senced’unetroisi`emecharge.

2.4 Champ d’une distribution

Onde´coupeladistributionenmorceauxassezpetitspourpouvoirconsidererque
´
la chargedq´laenusrintP;cettechargetsolacil´seeuaopduueearcmo
cre o
champ :
E(M) = 4dπq0PPMM3
Lechampcre´e´parladistributionestalorslasommedeschampscre´e´sparles
morceaux;ladistributione´tantcontinue,onremplacelasommeparuneint´rale
eg
E(M) =dq
Z4π0PPMM3

pour une distribution volumique :

E(M) =Zρ(P)dτPM
4π0P M3

pour une distribution surfacique :

E(M) =Zσ(4Pπ)d0SPPMM3

pourunedistributionlin´e¨ıque:
E(M) =Z

λ(P)dlPM
4π0P M3

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MPSI-Electromagne´tisme-Electrostatique

2.5 Lignes de champ

Uneligne de champde ses points M au champest tangente en chacun E(M).

Ellev´erifielespropriete´ssuivantes:
´
1.Leslignesdechamp´electrostatiquedivergenta`partirdeschargespositiveset
convergentversleschargesne´gatives.
2.Lorsqu’ilestd´efini,lechamp´electrostatiqueestnulaupointd’intersectionde
deux lignes de champ (deux lignes de champ ne peuvent donc se couper que si
E(M) = 0 ouE(Mn)no´dfiein.)
3.Leslignesdechampe´lectrostatiqued’unedistribution
–partent`al’infinisiladistributionestglobalementpositive
–proviennentdel’infinisiladistributionestglobalementn´egative
– n’aboutissent ni ne proviennent de l’infini si la distribution est globalement
neutre

3Invariancesetsyme´tries

3.1 Invariances des distributions de charges

Unedistribution,illimite´edansladirectiondel’axeΔ,estinvariante par trans-
lationrantlanstMinsoetotruoptusΔtnop,idechargeedsntie´´tMe,’asuivas
verifieρ(M) =ρ(M0).
´
exemple : distribution invariante par translation suivant Oz

ρ(r θ z) =ρ(r θ)

Une distribution, estinvariante par rotationautour d’un axe Δ si, pour tout
pointMetM’obtenuapre`srotation,sadensit´edechargev´erifieρ(M) =ρ(M0).
exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz

ρ(r θ z) =ρ(r z)

Unedistribution`aqirdeuceirnilysyetm´est telle que :

ρ(r θ z) =ρ(r)

(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)

DamienDECOUT-Dernie`remodification:avril2007

Unedistributiona`ys´metriesph´eriqueest telle que :

ρ(r θ ϕ) =ρ(r)

page 3/5

(invariance par rotation autour deeϕet invariance par rotation autour de Oz)

3.2Plandesym´etrieetpland’antisym´etrie
Unedistributionestsyme´triqueparrapport`aunplanΠsi,pourtoutpointMil
existeunsyme´triqueM’,etsisadensite´dechargeve´rifie:

ρ(M) =ρ(M0)

Unedistributionestantisym´etriqueparrapporta`unplanΠ∗si, pour tout point
Milexisteunsym´etriqueM’,etsisadensit´edechargeve´rifie:

ρ(M) =−ρ(M0)

3.3Conse´quencespourlechamp´electrostatique

Nousge´ne´ralisonslesobservationsdescartesdechamp:

EuqirrapelpnuΠnaenafstsrteensorm´m´etonsy

d’autre part :

E(M0) =symE(M)

E(M∈Π)∈Π

Erietm´sytianonnsΠnalpnurapeuqesttransform´ee∗

E(M0) =−symE(M)

E(M∈Π∗)⊥Π∗

D’autrepart,lechampe´lectrostatique(effet)poss`edeaumoinslesinvariancesdes
distributions de charges (cause).

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4Potentiele´lectrostatique

4.1

Circulation de E

Rappelonsl’expressiondelaforceexerc´eeparlachargeqen O sur la chargeq0
en M
F=q0E(M)

Calculons le travail deFeppaerocncrice´leiondulateF
W=ZFdOM=q0ZE(M)dOM

Inte´ressonsnous`alacirculationdeE
ZBAE(M)dOM=Z4π10rq2erdrer=Z

dr q1
4q=A−r1B
π0r24π0r

La circulation deEduasdpensuinemch.iviestconservtavi,eleelen´dpe

Leprincipedesuperpositionpermetdege´n´eralisercere´sultata`unedistribution
de charge quelconque.

4.2 Potentiel

La circulation deEuepreriec’´csontd
ZBAE(M)dOM=V(A)−V(B)
o`uVneitlee´eltcortsctionappel´eepotieqfaotn.stuuene
Dans le cas particulier de la charge ponctuelle
V 1 =( )qr
r4π0
Lepotentielestd´efinia`uneconstantepre`s.

Connaissantlepotentiel,onpeutend´eduirelechamppar

E=−gradV

Un champ de vecteurEnseroncolatiircu`ca.ntieadgrdepmahcnutseevitav

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4.3

Potentielcre´e´parunedistributiondecharges

Pour une distribution de charges discontinues
V(M) =X4π10PiqiM

Pour une distribution volumique
V(M) =Z

1ρ(P)dτ
4π0P M

Pour une distribution surfacique
V(M) =Z4π10σ(PP)SMd

Pourunedistributionline´ı¨que
(P)dl
V(M) =Z4π10PMλ

4.4

Surfaces equipotentielles
´

Lechampestperpendiculaireauxsurfacese´quipotentielles

dV= 0⇒EdOM= 0

page 4/5

Leslignesdechampsontorient´eesdanslesensdespotentielsde´croissants

4.5

dV <0⇒EdOM>0

´
Energie potentielle

Reprenons l’expression du travail

W=q0(V(A)−V(B)) =Ep(A)−Ep(B)

Ep(M) =q0V(M)

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est l’iepotentiellee´engrquessopede`hcalegraq0du fait de sa position M dans
le champ scalaireV.

L’ene´i’tnrecaitnorgiepotentielledentre deux chargesq1etq2´tsea`ela
eg
11q2
Ep12=q1V2(M1) =q2V1(M221(=)q1V2(M1) +q2V1(M2)) =qπ
40M1M2

5Theor`emedeGauss
´

Lefluxduchamp´electrostatiquesortantd’unesurfaceferm´eeSa`algelase´t
charge totaleQintrm´eedanscettesufrcadevisie´peraenfe0
Φ =ISEnextdS=Qi0nt

Ve´rifionsencalculantlefluxsortantd’unesurfacesph´eriquederayonrenfermant
une charge ponctuelleqen O :
q42q
Φ =ISEnextdS=IS4π10rq2ererdS=4π10qr2IdS=4π10r20
πr=

6 Analogie gravitationnelle

Touslesr´esultatspre´c´edentsontleuranaloguepourlagravitationenrempla¸cant
massemet 1−Gconstante de gravitation.
la chargeqpar la 4π0par

Le champ de gravitation
F=m0GavecG=−Grm2er
L’e´nergiepotentiellegravitationnelle

Lethe´ore`medeGauss

Ep=m0V avec

V

m
=−G
r

ΦISnextdS=−4πGMint
=G

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7Ledipˆole´electrostatique

page 5/5

Undipoˆle´electrostatiqueestunsyst`emeconstitue´dedeuxchargesponctuelles
oppos´eesdontlesdimensionssontpetitesparrapporta`ladistanced’observation.

7.1Actionsexerce´esparundipˆole
Soit les charge−qenA(z=−2d) et +qenB(z= +d2enuatsid´vre`see)obscean
r=OMd. On noteraθl’angle (ezOM).
q1
V(M) = 4π0BM−A1M
BM2= (OM−OB)2=r2−rdcosθ+d42=r21−dcrosθ4+dr22
dcos
B1M=r11−θr4+rd22−12'1r1 +d2ocrsθ

de meme
ˆ
finalement

avec

moment dipolaire

A1M'r11−d2ocrsθ

V(M) = 4qπ0dcro2sθ=41pre2r
π0

p=qdez=qAB

Oncalculelechampe´lectrostatiquegrˆace`a

ou encore

ce qui donne

Er=−∂V
∂r

E=−gradV

E1∂V
=−
θr ∂θ

1 2pcosθ
Er=4
π0r3

∂V
Eϕ=−rsi1
nθ ∂ϕ

Eθ4=π10psri3nθ

Eϕ= 0

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Onpourrav´erifier

7.2

E=4π10r33rp2rr−p

Actionssubiesparundipˆole

Dans ce qui suit,Eahpmlscepeulisnged´enpmahcnusiamelˆoipedrlpa´e´ecr
ext´erieurdanslequelestplon´eledipˆole.
g

Ledipˆolesubitalorslesactions

F=qE−qE= 0

MO=OB∧qE+OA∧ −qE=qAB∧E=p∧E

Nous admettrons l’expression
champexte´rieurE

del’e´nergie

potentielle

Ep=−pE

du

quiestminimalelorsqueledipoˆles’alignesurlechamp.

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dipˆoleplonge´dansle

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