Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Probabilités : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Dénombrement

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2013
• Nombre de lectures: 595
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Probabilités 

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  PROBABILITES   Exercice 1 On dispose de trois pièces de monnaie. Deux d’entre elles sont équilibrées et la troisième est truquée : en la lançant, vous avez trois fois plus de chances d’obtenir « Face que « Pile ». Malheureusement, ces trois pièces ne sont pas reconnaissables. » 1) au hasard une pièce et vous la lancez une fois.Vous choisissez a) Quelle est la probabilité d’obtenir « Face » ? b) quelle est la probabilité que vous ayez la pièce truquée ?Si vous obtenez « Face », 2) Vous choisissez toujours au hasard une pièce, mais vous la lanceznfois de suite. On suppose les lancers indépendants. a) Quelle est la probabilité d’obtenirnfois « Face » ? b) Si vous obtenezn fois Face », « quelle est la probabilité p n  vous ayez que choisi la pièce truquée ? Calculer la limite de p n quandntend vers l’infini. c) A partir de quelle valeur den sûr » à 95% d’avoir choisi laserez-vous « pièce truquée ? On donne :  ln 2≈ 0,7 ;  ln 3≈ 1,1 ;  ln19≈ 2,9 . Exercice 2 (d’après CCIP 2004 voie E) On considère une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée, c’est-à-dire pour laquelle, à chaque lancer, les apparitions de « Pile » et de « Face » sont équiprobables, les différents lancers étant indépendants les uns des autres. Pour tout entier naturel non nuln, on désigne par F n  apparaît aul’événement « Face lancer de rangn» n 1) Interpréter les événements B n =F n−2 ∩F n−1 ∩F n et U n =  B i pour n≥ 3 . i=3 2) On poseu 1 =u 2 =0 et, pour tout entier n≥ 3 : u n =P(U n ) . Montrer que la suite ( u n ) n≥1 est monotone et convergente. 3)  pour tout entiera) Calculer, n≥ 3 , la probabilité de l’événement B n . b) Vérifier que, pour tout entier n≥ 3 , les événements B n , B n+1  et B n+2  sont deux à deux incompatibles. c) En déduire les valeurs des nombres u 3 ,u 4 et u 5 . 4) Soitnun entier supérieur ou égal à 5. a) Justifier que : U n ∩B n+1 =U n−2 ∩B n+1 . Préciser leur probabilité. b) Exprimer l’événement U n+1  en fonction des événements U n  et B n+1 . En déduire l’égalité suivante : u n+1 =u n +( 8 1 1 −u n−2 ) . c) Vérifier que la relation est également vraie pour n= 3 et n= 4 . d)   ( Déterminer la limite de la suite u n ) n≥1 . Exercice 3  Un fumeur impénitent décide d’essayer d’arrêter de fumer. Mais c’est difficile !  On suppose que le premier jour, plein de bonnes résolutions, il ne fume pas, et que :   s’il ne fume pas un jour, alors la tentation est forte et il y a 7 chances sur 10 qu’il fume le lendemain.   par contre, s’il succombe un jour, alors il est pris de remords et il y a 9 chances sur 10 qu’il ne fume pas le lendemain. On note F n l’événement « il fume le journ» et p n =P(F n ) . 1) Exprimerp n+1 en fonction dep n pour tout entier naturel non nuln. 2) En déduire le calcul de p n en fonction den.