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Inte´grale

Formule de la moyenne
In´egalite´triangulaire
Sommes de Riemann
Inte´gralefonctiondesesbornes
Ine´galit´edeCauchy-Schwarz
Integration par parties
´
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteint´egral
Inegalit´edeTaylor-Lagrange
´
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...

d’ e
un

fonction

r

continue pa
Re´visions

Katia

Barre
´

Lyce´eLesage
Vannes

Mathe´matiques

Katia Ba ´
rre

morceaux

Sp´eciales

PT

Inte´gralesurunsegment

sur

un

Juillet 2006

segment

1

2

3

4

5

6

7

8

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10

11

Formule de la moyenne
In´egalit´etriangulaire
Sommes de Riemann
Int´egralefonctiondesesbornes
Ine´galit´edeCauchy-Schwarz
Inte´grationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteinte´gral
Ine´galite´deTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...
Formule de la moyenne
In´egalite´triangulaire

Sommes de Riemann
Int´egralefonctiondesesbornes
In´egalite´deCauchy-Schwarz
Int´egrationparparties

Changement de variable
FormuledeTayloravecresteinte´gral
In´egalit´deTaylor-Lagrange
e
Techniques de calcul de primitives
Primitivesdepolynˆomesencosetsin
Primitives de fractions rationnelles ensinetcos:Rf(sin(x)cos(x))dxlgse`e.R
de Bioche
Primitivesdepolynˆomesetfractionsrationnellesenshet
ch:Rf(sh(x)ch(x))dx.
RP(x)eaxdx`ouPolynˆomeestunp
Fonctionsx7→cos(bx)eaxoux7→sin(bx)eax
Fractions rationnelles :quelques exemples
Quelques exercices ...

KatiaBarr´e

Int´egralesurunsegment

Juillet 2006

[ab],

SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et siRabf(t)dt= 0, alorsf[=˜ur0sab].
SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et s’il existex0∈[ab] tel quef(x0)>0, alorsRabf(t)dt>0.
Sifcontinue par morceaux et positive sur [est ab], alorsRabf(t)dt≥0.
Sifetgromrapseunitnoctsdurleva`ax(aucenassonR) et sif≥gsur
alorsRbf≥Rb
a ag.

3

1

2

Revoir les primitives usuelles
Relation de Chasles(fava`nadsruelsRouC).
Lin´earit´e(faleursda`avsnRouC).

Formule de la moyenne
Ine´galite´triangulaire
Sommes de Riemann
Inte´gralefonctiondesesbornes
In´egalite´deCauchy-Schwarz
Inte´grationparparties
Changement de variable
Formule de Taylor avec reste integral
´
In´egalit´edeTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...

Juillet 2006

Inte´gralesurunsegment

Positivite´(f

a`valeursdansR).

1

4

2

3

KatiaBarr´e

[ab],

3

2

4

2

1

3

SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et siRabf(t)dt= 0, alorsf= 0 sur [ab].
˜
SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et s’il existex0∈[ab] tel quef(x0)>0, alorsRabf(t)dt>0.
Sifcontinue par morceaux et positive sur [est ab], alorsRabf(t)dt≥0.
Sifetgcontsospueinnteursdansraomcraexu`(valaR) et sif≥gsur
alorsRabf≥Rabg.

Formule de la moyenne
In´egalite´triangulaire
Sommes de Riemann
Inte´gralefonctiondesesbornes
In´egalite´deCauchy-Schwarz
Int´egrationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteinte´gral
Ine´galit´edeTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...

Revoir les primitives usuelles
Relation de Chasles(faleu`avsnsradRouC).
Lin´ it´(fa`elavsdursanRouC).
ear e

KatiaBarr´e

Juillet 2006

` l urs dansR).
a va e

1

Inte´gralesurunsegment

Positivite´(f

1

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3

Juillet 2006

Inte´gralesurunsegment

Positivite´(f

a`valeursdansR).

2

Revoir les primitives usuelles
Relation de Chasles(fava`ruelnadssRouC).
Li´earit´e(frsdaaleu`avsnRouC).
n

Formule de la moyenne
In´egalite´triangulaire
Sommes de Riemann
Inte´gralefonctiondesesbornes
In´egalite´deCauchy-Schwarz
Inte´grationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteint´egral
In´egalite´deTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...

[ab],

SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et siRabf(t)dt= 0, alorsf˜=rus[0ab].
SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et s’il existex0∈[ab] tel quef(x0)>0, alorsRabf(t)dt>0.
Sifcontinue par morceaux et positive sur [est ab], alorsRabf(t)dt≥0.
Sifetgsnalevasdurauce`ax(mrroseapitunctnosonR) et sif≥gsur
b
alorsRabf≥Rag
.

3

1

KatiaBarr´e

1

4

Positivit´e(f

a`valeursdansR).

Juillet 2006

Inte´gralesurunsegment

KatiaBarre´

Formule de la moyenne
Ine´galit´etriangulaire
Sommes de Riemann
Int´egralefonctiondesesbornes
Inegalite´deCauchy-Schwarz
´
Integration par parties
´
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteinte´gral
Ine´galite´deTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...

1

3

Revoir les primitives usuelles
Relation de Chasles(f` valeurs dansRouC).
a
Lin´earite´(f`avalnsdarseuRouC).

2

3

2

SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et siRabf(t)dt= 0, alorsf˜=s0ru[ab].
SifestCONTINUE et POSITIVEsur le segment [ab] (a<b)
et s’il existex0∈[ab] tel quef(x0)>0, alorsRabf(t)dt>0.
Sifcontinue par morceaux et positive sur [est ab], alorsRabf(t)dt≥0.
Sifetg(xuaava`mrapecrotionesnustconssdanleurR) et sif≥gsur
alorsRabf≥Rb
ag.

[ab],

Formule

de

la

Formule de la moyenne
In´egalit´etriangulaire
Sommes de Riemann
Inte´gralefonctiondesesbornes
In´egalit´edeCauchy-Schwarz
Inte´grationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteint´egral
I´egalit´edeTaylor-Lagrange
n
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...
moyenne

Formule de la moyenne (fnsrsdaaleu`va
RsurleVaesedme`roe´hTedsapayiln’:
Interm´ediairespourlesfonctionsa`valeur
dansC)

Sifestcontinuesur le segment [ab]et`a
valeurs dansR, alors il existec∈[ab] tel
que
Zb)dt= (b−a)×f(c)
f(t
a

Preuve :
1) ou bien :
segment :f
2) ou bien :
sur [ab].

On remarque que l’image par une application continue d’un segment est un
([ab]) = [mMiuos]p,h´eoeletliqunapp`dlevasiurretnde´mriai.se
reme es
On´ecritlethe´ore`medesaccroissementsfinispouruneprimitiveFdef

Katia Barre
´

Inte´gralesurunsegment

Juillet 2006

Ine´galit´e

(f

`
a

Formule de la moyenne
Ine´galit´etriangulaire
Sommes de Riemann
Int´egralefonctiondesesbornes
In´egalit´edeCauchy-Schwarz
Int´egrationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteint´egral
In´egalit´edeTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...
triangulaire :

valeurs

dans

R

ou

C).
Z

Zb)
f(t
a

a

b
f(t)

dt≤
 

dt

≤Z

a

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|f(t)|

Zabf(t)|
|

KatiaBarr´e

dt

dt

dans

si

le

a<b

cas

Int´egralesurunsegment

g´en´eral

Juillet 2006

Sommes

de

Formule de la moyenne
Ine´galit´etriangulaire
Sommes de Riemann
Int´egralefonctiondesesbornes
I´egalit´edeCauchy-Sch
n warz
Inte´grationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteinte´gral
Ine´galite´deTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...
Riemann

a
Sifest continue sur le segment [ab] et `
valeurs dansRouC, alors les suites de
termes

σn

Sn

sn

=

=

=

b−an
n

Xf
k=0

b−an
n

Xf
k=1

n−1
b−aXf
nk=0

a+ nk b−a

a+k b−an

a+k b n−a

sontconvergentesdemˆemelimite
Rabf(t)dt.

Katia Barre
´

Inte´gralesurunsegment

Juillet 2006

Formule de la moyenne
In´egalite´triangulaire
Sommes de Riemann
Inte´gralefonctiondesesbornes
In´egalitedeCauchy-Schwarz
´
Inte´grationparparties
Changement de variable
FormuledeTayloravecresteint´egral
In´egalit´edeTaylor-Lagrange
Techniques de calcul de primitives
Quelques exercices ...

Int´egralefonctiondesesbornes

SoitIun intervalle deR,
αetβire´dsnoitacilppxaeudrefiniessuvablesd´I[ntesslmeegelrudsnatea`avab],
fune application continue sur [abeursavaldans`]RouC.
:
Alors l’applicationgefid´uresniIpargIx→7→g(x) =RRαoβ((uxx))fC(t)dt
de´rivablesurIet

Preuve :

SiF

∀x∈I

g0(x) =β0(x)f(β(x))−α0(x)f(α(x))

est une primitive def, alorsg=F(β)−F(α).

KatiaBarre´

Integrale sur un segment
´

Juillet 2006

est

Un pour Un
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