Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Racines d'un polynôme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Racines d’un polynôme Exercice 5 [ 02159 ] [correction] Soit P∈C[X] un polynôme non nul tel que Exercice 1 [ 02157 ] [correction] 2P(X )+P(X)P(X +1) = 0 a) Soit n n−1 2P =a X +a X +...+a X +a a) Montrer que si a est racine de P alors a l’est aussin n−1 1 0 b) En déduire que a = 0 ou bien a est racine de l’unité. un polynôme à coefficients entiers tel que a = 0 et a = 0.n 0 On suppose que P admet une racine rationnelle r =p/q exprimée sous forme irréductible. Exercice 6 [ 02164 ] [correction] Montrer que p|a et q|a .0 n Montrer que si P∈R[X]\{0} vérifie b) Factoriser 23 2 P(X ) =P(X)P(X +1)P = 2X −X −13X +5 2c) Le polynôme ses racines sont parmi 0,1,−j,−j . En déduire tous les polynômes solutions. 3 P =X +3X−1 est-il irréductible dansQ[X]? Exercice 7 X PC - Centrale MP [ 02375 ] [correction] Trouver les P∈C[X] vérifiant 2Exercice 2 [ 02158 ] [correction] P(X ) =P(X)P(X +1) Soient a,b,c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K. Démontrer que le polynôme Exercice 8 [ 01329 ] [correction] X(X−b)(X−c) X(X−c)(X−a) X(X−a)(X−b) Trouver les P∈C[X] vérifiant P = + + a(a−b)(a−c) b(b−c)(b−a) c(c−a)(c−b) 2P(X ) =P(X)P(X−1) peut s’écrire sous la forme P =λ(X−a)(X−b)(X−c)+1 où λ est une constante que l’on déterminera. Exercice 9 [ 02165 ] [correction] Soit n n−1P(X) =X +a X +···+a X +a ∈C[X]n−1 1 0Exercice 3 [ 02161 ] [correction] Soient a ,a ,...,a des éléments deux à deux distincts de K.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Racines d’un polynôme

Exercice 1[ 02157 ][correction]
a) Soit
P=anXn+an−1Xn−1++a1X+a0
un polynôme à coefficients entiers tel quean6= 0eta06= 0.
On suppose quePadmet une racine rationneller=pqexprimée sous forme
irréductible.
Montrer quep|a0etq|an.
b) Factoriser
P= 2X3−X2−13X+ 5

c) Le polynôme

P=X3+ 3X−1

est-il irréductible dansQ[X]?

Exercice 2[ 02158 ][correction]
Soienta b ctrois éléments, non nuls et distincts, du corpsK.
Démontrer que le polynôme

P=Xa((Xa−−bb())(Xa−−)c+)Xb((Xb−−cc)(()bX−−a)a)+cX(X−a)(X−b)
c(c−a)(c−b)

peut s’écrire sous la formeP=λ(X−a)(X−b)(X−c) + 1oùλest une
constante que l’on déterminera.

Exercice 3[ 02161 ][correction]
Soienta0 a1     andes éléments deux à deux distincts deK.
Montrer que l’applicationϕ:Kn[X]→Kn+1définie par

ϕ(P) = (P(a0) P(a1)     P(an))

est un isomorphisme deK-espace vectoriel.

Exercice 4[ 02162 ][correction]
Soienta0     andes réels distincts etϕ:R2n+1[X]→R2n+2définie par

ϕ(P) = (P(a0) P0(a0)     P(an) P0(an))

Montrer queϕest bijective.

Enoncés

Exercice 5[ 02159 ][correction]
SoitP∈C[X]un polynôme non nul tel que

P(X2) +P(X)P(X+ 1) = 0

a) Montrer que siaest racine dePalorsa2l’est aussi
b) En déduire quea= 0ou bienaest racine de l’unité.

Exercice 6[ 02164 ][correction]
Montrer que siP∈R[X] {0}vérifie

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

ses racines sont parmi01−j−j2. En déduire tous les polynômes solutions.

Exercice 7X PC - Centrale MP[ 02375 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]vérifiant

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

Exercice 8[ 01329 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]vérifiant

P(X2) =P(X)P(X−1)

Exercice 9[ 02165 ][correction]
Soit
P(X) =Xn+an−1Xn−1+∙ ∙ ∙+a1X+a0∈C[X]
Montrer que siξest racine dePalors

+ max
|ξ|6106k6n−1|ak|

Exercice 10Centrale MP[ 02371 ][correction]
a) Soitn∈N. Exprimersin ((2n+ 1)α)en fonction desinαetcosα.
b) En déduire que les racines du polynôme :
2
P(X) =np=X0(−1)p2np1+1+!Xn−p

sont de la formexk= cot2βk. Déterminer lesβk.

1

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Enoncés

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02663 ][correction]
Montrer quea= cos9πracine d’un polynôme de degré trois à coefficients dansest
Q. Montrer queaest irrationnel.

Exercice 12X MP[ 02941 ][correction]
SoientA B∈C[X]non constants vérifiant

{z∈CA(z) = 0}={z∈CB(z) = 0}et{z∈CA(z) = 1}={z∈CB(z) = 1}

Montrer queA=B.

Exercice 13Centrale MP[ 03098 ][correction]
Pourn∈N,n>3, on notePnle polynôme :
Pn(X) = (X+ 1)n−Xn−1

a) Avec le logiciel de calcul formel :
Que dire, pourn= 3457du module des racines complexes dePn?
Quelle est la factorisation deP7dansR[X]? dansC[X]?
Vérifier, à l’aide de valeurs approchées, que le polynômeP9possède des racines de
module>1.
b) Démontrer que pourn >7, le polynôme dérivéP0nadmet au moins une racine
dansCde module>1.
c) SoitP∈C[X]non constant. Démontrer que les racines complexe du polynôme
dérivéP0sont dans l’enveloppe convexe des racines du polynômeP.
n
Indice : siP(X) =cQ(X−zi)mi, considérer la fractionP0P.
i=1
d) En déduire quen= 7est le plus grand entier pour lequel toutes les racines de
Pnsont de module61.

Exercice 14X MP[ 01352 ][correction]
SoientKun corps eta1 a2     an∈Kdeux à deux distincts.
a) Calculer
nYXa−aj
i=X1j6=i i−aj
n
b) On poseA(X) =Q(X−aj). Calculer
j=1

Xn1ai)
i=1A0(

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)P(pq) = 0donne

n
anpn+an−1pn−1q+∙ ∙ ∙+a1pqn−1+a0q= 0

Corrections

3

Exercice 5 :[énoncé]
a) SiP(a) = 0alorsP(a2) =−P(a)P(a+ 1) = 0donca2est racine deP.
b) Sia6= 0etanon racine de l’unité alors la suite desa2nest une suite de
complexe deux à deux distincts, or tous les termes de cette suite sont racines deP
orP6= 0donc ce polynôme ne peut avoir une infinité de racines. Absurde.

Puisquep|anpn+∙ ∙ ∙+a1pqn−1, on ap|a0qnorp∧q= 1doncp|a0. De mmeExercice 6 :[énoncé]
q|aniS.aest racine dePalorsa2 a4   le sont aussi. Comme un polynôme non nul n’a
b) SiPadmet un racine rationneller=pqalorsp∈ {−5−115}etq∈ {12}. qu’un nombre fini de racines, on peut affirmer que lesa a2 a4   sont redondants
−25est racine deP qui implique. cea= 0ou|a|= 1.
X2−3X+1) = (2XX−2+3√5 X−3−2√S5iaest racine dePalors(a−1)2l’est aussi donca−1 = 0ou|a−1|= 1.
P= 2X3−X2−13X+5 = (2X+5)( +5)Sia6= 0eta6= 1on a nécessairement|a|=|a−1|= 1. Via parties réelle et
imaginaire, on obtienta=−jou−j2.
SiPest solution, non nulle, alors son coefficient dominant vaut 1 et on peut
c)asSilePest composé dansQ[X]alorsPpossède une racine rationnelle, or ce n’est écrire :
p cas.P=Xα(X−1)β(X2−X+ 1)γ. En injectant une telle expression dans l’équation,
DoncPest irréductible dansQ[X]. on observe que celle-ci est solution si, et seulement si,α=βetγ= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
P(a) =P(b) =P(c) = 1eta b cdeux à deux distincts donc

(X−a)(X−b)(X−c)|P−1

De plusdegP63donc il existeλ∈Ktel que

P=λ(X−a)(X−b)(X−c) + 1

PuisqueP(0) = 0, on aλ=ab1c.

Exercice 3 :[énoncé]
Soientλ µ∈KetP Q∈Kn[X]. Clairementϕ(λP+µQ) =λϕ(P) +µϕ(Q).
SoitP∈kerϕ. On aϕ(P) = (0    0)doncP(a0) =P(a1) =  =P(an) = 0.
degP6netPadmet au moinsn+ 1racines distinctes doncP= 0.
kerϕ={0}doncϕest injectif. De plusdimKn[X] = dimKn+1doncϕest un
isomorphisme.

Exercice 4 :[énoncé]
ϕest clairement linéaire et siP∈kerϕalorsPa plus de racines (comptés avec
multiplicité) que son degré doncP= 0. Ainsiϕest injective et puisque
dimR2n+1[X] = dimR2n+2,ϕest un isomorphisme.

Exercice 7 :[énoncé]
Le polynôme nul est solution. SoitPune solution non nulle.
Siaest racine dePalorsa2l’est aussi puisa4 a8   .
Or les racines dePsont en nombre fini donc les élémentsa2n(n∈N) sont
redondants. On en déduit quea= 0ouaest une racine de l’unité.
De plus, siaest racine dePalors(a−1)est aussi racine deP(X+ 1)donc
(a−1)2est racine deP. On en déduit quea−1 = 0oua−1est racine de l’unité.
2
Sia6= 01alors|a|=|a−1|= 1d’où l’on tirea=−jou−j.
Au final, les racines possibles dePsont01−jet−j2.
Le polynômePs’écrit donc

P(X) =λXα(X−1)β(X+j)γ(X+j2)δ

avecλ6= 0,α β γ δ∈N.
En injectant cette expression dans l’équation

on obtient

On conclut

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

λ2=λ,α=βetγ=δ= 0

P(X) = [X(X−1)]α

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Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
Le polynôme nul est solution. SoitPune solution non nulle.
4
Siaest racine dePalorsa2l’est aussi puisa  a8  &#