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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Connexité par arcs
Exercice 1[ 01147 ][correction] Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe.
Exercice 2[ 01148 ][correction] Montrer que l’union de deux connexes non disjoints est connexe.
Exercice 3[ 01149 ][correction] Montrer que l’image d’un connexe par une application continue est connexe.
Enoncés
Exercice 4[ 01150 ][correction] Soitf:IRune fonction dérivable. On suppose quef0prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir quef0s’annule. a) Etablir queA=(x y)I2 < y xest une partie connexe par arcs deI2. b) On noteδ:ARl’application définie parδ(x y) =f(y)f(x). Etablir que 0δ(A). c) Conclure en exploitant le théorème de Rolle
Exercice 5[ 01151 ][correction] Soitf:IRinjective et continue. Montrer quefest strictement monotone. Indice : on peut considérerϕ(x y) =f(x)f(y)défini sur X=(x y)I2 < y x.
Exercice 6[ 01152 ][correction] SoientAetBdeux parties connexes par arcs d’unK-espace vectorielEde dimension finie. a) Montrer queA×Best connexe par arcs. b) En déduire queA+B={a+baA bB}est connexe par arcs.
Exercice 7[ 01153 ][correction] SoientAetBdeux parties fermées d’un espace vectoriel norméEde dimension finie. On supposeABetABconnexes par arcs, montrer queAetBsont connexes par arcs.
Exercice 8[ 01154 ][correction] SoitEun espace vectoriel normé de dimension finien>2 Montrer que la sphère unitéS={xEkxk= 1}est connexe par arcs.
1
Exercice 9[ 01155 ][correction] SoitEun espace vectoriel normé réel de dimensionn>2. a) SoitHun hyperplan deE. L’ensembleE\Hest-il connexe par arcs ? b) SoitFun sous-espace vectoriel de dimensionp6n2. L’ensembleE\Fest-il connexe par arcs ?
Exercice 10[ 01156 ][correction] Montrer que le sous-ensemble deMn(R)formé des matrices diagonalisables est connexe par arcs.
Exercice 11[ 01157 ][correction] Montrer que GLn(R)n’est pas connexe par arcs.
Exercice 12[ 01158 ][correction] Montrer que GLn(C)est connexe par arcs.
Exercice 13[ 03737 ][correction] [Théorème de Darboux] Soitf:IRune fonction dérivable définie sur un intervalleIdeR. a) Montrer queU=(x y)I2x < yest une partie connexe par arcs deR2 . b) On noteτ:URl’application définie par
τ(x y) =f(yy)xf(x)
Justifier τ(U)f0(I)τ(U) c) En déduire quef0(I)est un intervalle deR.
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