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Sujet : Analyse, Topologie, Connexité par arcs

3 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Connexité par arcs Exercice 8 [ 01154 ] [correction] Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n> 2 Montrer que la sphère unité S ={x∈E/kxk = 1} est connexe par arcs.Exercice 1 [ 01147 ] [correction] Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe. Exercice 9 [ 01155 ] [correction] Soit E un espace vectoriel normé réel de dimension n> 2.Exercice 2 [ 01148 ] [correction] a) Soit H un hyperplan de E. L’ensemble E\H est-il connexe par arcs?Montrer que l’union de deux connexes non disjoints est connexe. b) Soit F un sous-espace vectoriel de dimension p6n−2. L’ensemble E\F est-il connexe par arcs? Exercice 3 [ 01149 ] [correction] Montrer que l’image d’un connexe par une application continue est connexe. Exercice 10 [ 01156 ] [correction] Montrer que le sous-ensemble deM (R) formé des matrices diagonalisables estn connexe par arcs.Exercice 4 [ 01150 ] [correction] 0Soit f :I→R une fonction dérivable. On suppose que f prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir 0 Exercice 11 [ 01157 ] [correction]que f s’annule. 2 2 Montrer que GL (R) n’est pas connexe par arcs.na) Etablir que A = (x,y)∈I ,x 2.a) A est une partie convexe donc connexe par arcs. b) L’application δ est continue donc δ(A) est connexe par arcs c’est donc un 0intervalle deR.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Connexité par arcs
Exercice 1[ 01147 ][correction] Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe.
Exercice 2[ 01148 ][correction] Montrer que l’union de deux connexes non disjoints est connexe.
Exercice 3[ 01149 ][correction] Montrer que l’image d’un connexe par une application continue est connexe.
Enoncés
Exercice 4[ 01150 ][correction] Soitf:IRune fonction dérivable. On suppose quef0prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir quef0s’annule. a) Etablir queA=(x y)I2 < y xest une partie connexe par arcs deI2. b) On noteδ:ARl’application définie parδ(x y) =f(y)f(x). Etablir que 0δ(A). c) Conclure en exploitant le théorème de Rolle
Exercice 5[ 01151 ][correction] Soitf:IRinjective et continue. Montrer quefest strictement monotone. Indice : on peut considérerϕ(x y) =f(x)f(y)défini sur X=(x y)I2 < y x.
Exercice 6[ 01152 ][correction] SoientAetBdeux parties connexes par arcs d’unK-espace vectorielEde dimension finie. a) Montrer queA×Best connexe par arcs. b) En déduire queA+B={a+baA bB}est connexe par arcs.
Exercice 7[ 01153 ][correction] SoientAetBdeux parties fermées d’un espace vectoriel norméEde dimension finie. On supposeABetABconnexes par arcs, montrer queAetBsont connexes par arcs.
Exercice 8[ 01154 ][correction] SoitEun espace vectoriel normé de dimension finien>2 Montrer que la sphère unitéS={xEkxk= 1}est connexe par arcs.
1
Exercice 9[ 01155 ][correction] SoitEun espace vectoriel normé réel de dimensionn>2. a) SoitHun hyperplan deE. L’ensembleE\Hest-il connexe par arcs ? b) SoitFun sous-espace vectoriel de dimensionp6n2. L’ensembleE\Fest-il connexe par arcs ?
Exercice 10[ 01156 ][correction] Montrer que le sous-ensemble deMn(R)formé des matrices diagonalisables est connexe par arcs.
Exercice 11[ 01157 ][correction] Montrer que GLn(R)n’est pas connexe par arcs.
Exercice 12[ 01158 ][correction] Montrer que GLn(C)est connexe par arcs.
Exercice 13[ 03737 ][correction] [Théorème de Darboux] Soitf:IRune fonction dérivable définie sur un intervalleIdeR. a) Montrer queU=(x y)I2x < yest une partie connexe par arcs deR2 . b) On noteτ:URl’application définie par
τ(x y) =f(yy)xf(x)
Justifier τ(U)f0(I)τ(U) c) En déduire quef0(I)est un intervalle deR.
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