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Introducci´on:
Estamonograf´ıaseci˜nealamateriaestudiadaenlaasignaturadeAn´alisis Num´ricoIIdelgradodeMatema´ticas.Debidoalaausenciadematerialen e espa˜nol(locu´alhallegadoasermotivodequejaparalosalumnos)quesirva alosestudiantesdeguı´aparaelestudio,hemosconsideradoadecuadoponer por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura. Lospresentesapuntessededicanalestudiodelosme´todosma´scl´asicos deresoluci´ondeecuacionesdiferenciales. Hemos dividido el trabajo en tres: i)Unprimercapı´tuloquelessirvadeintroducci´onalosm´etodos,con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina. ii)Elsegundocap´ıtuloesta´dedicadoalosMe´todosRunge-Kutta,espe-cialmente a los expl´ıcitos. iii)Po´ultimo,elcapı´tulotressededicaalestudiodelosme´todosmul-r tipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell. Puestoquelaasignaturatienetantoparteteo´ricacomopr´actica,enca-da capıtulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a ´ comprendermejorloste´rminosma´scomplejosdelaasignatura. Firmado: Jesus Vigo Aguiar y resto de miembros del equipo
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Cap´ıtulo
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Introducci´ona nume´ricos
1.1.
los
m´etodos
M´etodosnum´ericos:deniciones,nomen-clatura y ejemplos
En otras asignaturas hemos obtenido una serie de herramientas para obtenersolucionesanalı´ticasendiferentesclasesdeecuacionesdiferenciales. Desgraciadamentehayungrann´umerodeecuacionesdiferencialesnore-solublesporningunodeestosme´todos.Enloscapı´tulosqueproponemosa continuaci´onseestudiar´andiferentesme´todosnum´ericosqueaproximanla curvacuyacondicio´ninicialyderivadasonlosdatosdadosporelproblema devalorinicial.Estoes,selograunatabladen´umeroscondoscoordenadas (xi,yi), dondeyiy(xi). Losme´todosnume´ricospuedentenermuchasforma,aqu´ısepropondr´an algunosdelosme´todosRunge-Kuttaymultipasom´asconocidos. El problema standard que procuraremos resolver es y0(t) =f(t, y(t)), y(t0) =y0,(1.1.1) dondey= (y1, . . . , ym),f= (f1, . . . , fm) ey0= (y01, . . . , y0m), son vectores dedimensio´nm,mientrasquetyt0son escalares. So´loconsideraremoselproblema(1.1.1)cuyasoluci´onexistaysea´unica. Por ejemplo cuandof:R×RmRmsea continua(x, y)D, donde D={(t0, tf)×Rm}, y de forma que exista una constante finita L, tal
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que kf(x, y)f(x, y)k≤Lkyyk(1.1.2) para cualquier(x, y),(x, y),sieeosasstp´hiesoted.DuCpmile´dn diversosresultadosquenoseestudiar´anenestemanual,nosd´ aran garantı´asdequeexistasolucio´n´unicadenuestroproblema,yde quey(t)sea continua y diferenciable en D. Habr´avecesenlasqueestashi´tesisnoseveriquen,enesoscasos po ellectorhabra´detenercuidado,yaquelosm´etodosqueseestudiara´na conti-nuacio´nsonbastantegenerales,ypuedequenosirvanparaelcaso especı´co.Acontinuacio´nsedanejemplosmuybreves,quemuestrancomo antesdeintentarresolverelproblema,esprecisoestudiarlacasuı´sticadel mismo, de esta forma se evitar´ l perdida de tiempo y de esfuerzos. a a Ejemplo 1: consideremos y0(x) =p|y|, y(3) = 0.(1.1.3)
Aquı´nosecumplenlascondiciones,elresultadoesqueexisteninnitassolu-ciones,porejemplosonv´alidastodaslasqueseandeltipo c1)2 y(x) =((0xs4ix >sic1xc13 Ejemplo 2: sea nuestro problema y0(x) = 1 +y2, y(0) = 1,conx[0,4π].(1.1.4)
Enestecasonoexistedichaconstante,raz´onporlaquelasoluci´ondelproble-may(t) = tan(x+4πn´astoe)naeadotacπ4, donde presenta una singularidad. Ejemplo 3: supongamos que nuestro problema es ahora y0(x) =λ(yE(x)) +E0(x), y(0) = 10.(1.1.5) DondeE(x) = 10(10x)exyλ=2000, por ejemplo. En este caso s´ı se verifican las condiciones pedidas, pero el hecho de que la constanteLipschitzianaseatanaltahacequelosme´todosnum´ericostengan problemas. Este ejemplo, considerado de la familia de los Prothero-Robinson es tıpico ´ entre los problemas stiff que veremos mas adelante. ´
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Todoslosme´todosqueseproponenaquı´partendelaideadeladis-cretizaci´ondelcontinuo[t0, tfo´iculosnndes]docalaebusy(t) del problema (1.1.1). Consideramos un conjunto de puntost0< t1 < t . .< .f, y llamaremos longituddepasoenlaiteraci´onnahn=tntn1. Deestaformaunme´todonume´ricoesunaecuacio´nendiferenciasquenos permite obtener de forma recursiva una serie de aproximacionesyndey(xn), utilizando valores obtenidos anteriormenteyn1, . . . , ynky evaluaciones de lafunci´onf(t, y(t)). Laprimeragranfamiliademe´todosqueseproponensonlosRunge-Kutta. Un Runge-Kutta de s pasos se escribe de forma general como
s yn+1=yn+hXbiki i=1
(1.1.6)
donde s ki=f(xn+cih, yn+Xaijki) j=1 Mientrasquellamaremosm´etodosmultipasoaaquellosm´etodosdeinte-graci´onnume´ricaquesepuedenescribircomo
α0yn+α1yn1+...+αkynk=h(β0fn+β1fn1+...+βkfnk) (1.1.7) dondek >´lsdsoo,odetse1terounenuedejoqnlu´neeedapemor e m fi=f(xi, yi), y lasαi, βison constantes que no dependen de n;, ynes el valor quesequierecalcularencadaiteracio´n,mientrasquelosyni, con 0< ison valores que se han obtenido previamente.
1.2. Consistencia
Siconsideramosqueelme´todoseobtienedelaf´ormulageneral
α0yn+α1yn1+...+αkynk=f(yn, . . . , ynk, xn;h),(1.2.1) dondeφfdenota queφdepende deyedse´vartaf, y definimos el residuo como k Rn:=Xαjy(xnj)f(yn, . . . , ynk, xn;h) j=0
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(1.2.2)
esf´acilobservarqueparaqueunme´todoseava´lidoparaencontraruna solucio´napropiadaanuestroproblema,necesitaremosnoso´loque
hıl´m0Rn= 0,
(1.2.3)
tambien sera preciso que ´ ´ lh´ım0hRn= 0.(1.2.4) Siestosucedesedicequeelm´etodoesconsistenteatseedselltadeasm´raPa. y otras futuras definiciones, un interesante libro es el de Lambert ([Lam91]).
1.3. Estabilidad
Supongamosqueseanuestroobjetivoencontrarunasoluci´onnume´ricadel problema (1.1.1), y supongamos ahora que perturbamos levemente tanto la funci´on(conδ(t)), como el valor inicial (enδ), siendo ahora nuestro problema z0(t) =f(t, z(t)) +δ(t), z(t0) =z0+δ,(1.3.1) Entonces, se dice que el problema de valor inicial (1.1.1) estotalmente estable, si dadas dos perturbaciones (δ(t), δ) y (δ(t), δ(t)) de (1.1.1) y siendoz(t) yz(t)las soluciones de los problemas problemas perturbados, existe una constante S tal quet[t0, tf] kz(t)z(t)k≤
siempre que
kδ(t)δ(t)k≤εykδδk≤ε.
(1.3.2)
Aunqueestadenici´onesmuyclara,esprecisosermuycuidadosocon lamisma,yaque,porejemplo,ası´lafuncio´nexponencialesestable.Sin embargo,m´asadelanteveremosqueestenoesundetallenadatrivial,pues pocosm´etodosintegrannume´ricamentebiendichafuncio´n. Sucedequealgunosme´todosnum´ericosaplicadosaalgunosproblemas devalorinicial,introducenerroresquedeterioranlasolucio´ndelproblema, pudiendo suceder que ante determinadas longitudes de paso, las soluciones oscilendegranmanerallegandoadivergirlassoluciones,locualnoserı´a aceptable en absoluto.
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Por eso decimos que un metodo escero-establesi dadas dos perturba-´ ciones{δn, n= 0, . . . , N}y{δn, n= 0, . . . , N}m´eldoodet
k Xαjynj=f(yn, . . . , ynk, xn;h), yi=ai(h), i=1, . . . ,k j=0 (1.3.3) y siendo{zn, n= 0, . . . , N}y{zn, n= 0, . . . , N}sus respectivas soluciones, entonces existen constantes S yh0tales queh(0, h0], se cumple que kznznk≤Sε,0nN
siempre que kδnδk≤ε0nN.(1.3.4) n Ahora si introducimos los siguientes polinomios: α0yn+α1yn1+...+αkynk−→π(x) =α0xk+α1xk1+...+αk,(1.3.5) sedicequeelme´todo(1.3.3)vericala´noedalarndcoi´ici todas las ızs raı´cesdeπ(xouulodm´enentinouquenerosaedonlyenen)tiulomm´od multiplicidad menor o igual que la del orden del problema a resolver. Dadas estas nociones es posible enunciar el siguiente teorema: Teorema:lacondicio´nnecesariaysucienteparaqueun´todo me seaestable,esquesecumplalacondici´ondelaraı´z.
1.4. Convergencia:
Laideaprincipaltantodelosme´todosRunge-Kuttacomodelosmulti-paso es que dado el problema de valor inicial y0(x) =f(x, y), y(x0) =y0(1.4.1) entonces cuandoh0 y paraxn=x, se cumpla que l´ımyn=y(x).(1.4.2) h0
Peroadem´asesimportanteco´mosecomportaestel´ımite,yaquesipara valores deh1, se sigue dando que la diferencia entre el valor exactoy(x) y el valor estimadoynseot,se´tdanaodessecnotne,odaveelteanstbaıav´da
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elcasodequeelm´etodonumericoesmuycostoso.Paraexplicarlodeotra ´ forma, es necesario hacer un numero muy elevado de cuentas para hallar una ´ buenaaproximacio´ndelasoluci´onverdadera. Conesendenimosqueunm´etododenidocomo(1.3.3)esconver-gentede valor inicial del tipo (1.1.1), consi, para todo problema f:R× RmRmcontinua(x, y)D, dondeD={(t0, tf)×Rm}, de forma que exista una constante finita L, tal que kf(x, y)f(x, y)k≤Lkyyk(1.4.3) para cualquier (x, y), (x, y) de D; entonces tenemos que 0mn´axNky(xn)ynk→0 cuandoh0.(1.4.4) Adem´as,estudiosm´aselevadosqueel´ que proponemos aquı, provaron que lacondicio´nnecesariaysucienteparaqueelme´todoseaconver-gente es que sea a la vez consistente y cero-estable. Comoyahemosvisto,engeneraltodoslosme´todosmultipasosepueden escribir como α0yn+α1yn1+...+αkynk=h(β0fn+β1fn1+...+βkfnk) (1.4.5) donde k es un entero fijo mayor que 1,fi=f(xi, yi), y lasαi, βi, son con-stantes que no dependen de n;ynel valor que se quiere calcular en cadaes iteraci´on,mientrasquelosyni, con 0< ison valores que se han obtenido previamente. Supongamosqueelme´todoescero-estable,comoloqueremoshallares y(xih)ynif´lamuor(1la.5.4ne,r)eepmalazomlssayni, por lasy(xih), y lashfni=hy0ni, porhy0(xni), de esta forma obtenemos α0y(xn)+α1y(xn1)+...+αky(xnk)h(β0y0(xn)+β1y0(xn1)+...+βky0(xnk) (1.4.6) Utilizando el desarrollo de Taylor de las funcionesy(xih), ey0(xih), en un entorno dex=xnvamosaobtenerunaeerpxo´islednopit C0y(x) +C1hy0(x) +...+Ckhky(k)(x) +...(1.4.7) enesecasosedicequeelm´etodoesdeordenk-1cuandoseobtieneque C0=C1=...=Ck1= 0 y queCk6= 0. Enesecasoelerrorproducidocondichome´todoesCkhky(k)(x)+O(hk+1), que para 0< h1, es aproximadamenteCkhky(k)(x). De manera equivalente, se puede trabajar con los Runge-Kutta hasta hallarelordendelm´etodo.
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