Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Análisis numérico II

De
79 pages
Colecciones : MID. Memorias de Innovación Docente, 2009 - 2010
Fecha de publicación : 2010
La memoria de innovación de 2010 resulto en la presenta monografia. Esta monografía se ciñe a la materia estudiada en la asignatura de Análisis
Numérico II del grado de Matemáticas. Debido a la ausencia de material en
Español (lo cuál ha llegado a ser motivo de queja para los alumnos) que sirva a los estudiantes de guía para el estudio, hemos considerado adecuado poner por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura.
Los presentes apuntes se dedican al estudio de los métodos más clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales.
Hemos dividido el trabajo en tres:
i) Un primer capítulo que les sirva de introducción a los métodos, con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina.
ii) El segundo capítulo está dedicado a los Métodos Runge-Kutta, especialmente a los explícitos.
iii) Por _ultimo, el capítulo tres se dedica al estudio de los métodos multipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell.
Puesto que la asignatura tiene tanto parte teórica como práctica, en cada capítulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a comprender mejor los términos más complejos de la asignatura.m
Voir plus Voir moins
Introducci´on:
Estamonograf´ıaseci˜nealamateriaestudiadaenlaasignaturadeAn´alisis Num´ricoIIdelgradodeMatema´ticas.Debidoalaausenciadematerialen e espa˜nol(locu´alhallegadoasermotivodequejaparalosalumnos)quesirva alosestudiantesdeguı´aparaelestudio,hemosconsideradoadecuadoponer por escrito algunas ideas que les puedan servir en el futuro de la asignatura. Lospresentesapuntessededicanalestudiodelosme´todosma´scl´asicos deresoluci´ondeecuacionesdiferenciales. Hemos dividido el trabajo en tres: i)Unprimercapı´tuloquelessirvadeintroducci´onalosm´etodos,con diferentes definiciones y ejemplos, que sirven al alumno de antesala ante lo que se avecina. ii)Elsegundocap´ıtuloesta´dedicadoalosMe´todosRunge-Kutta,espe-cialmente a los expl´ıcitos. iii)Po´ultimo,elcapı´tulotressededicaalestudiodelosme´todosmul-r tipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Stormer y Cowell. Puestoquelaasignaturatienetantoparteteo´ricacomopr´actica,enca-da capıtulo hay una serie de problemas que, esperemos, sirvan al alumno a ´ comprendermejorloste´rminosma´scomplejosdelaasignatura. Firmado: Jesus Vigo Aguiar y resto de miembros del equipo
1
Cap´ıtulo
1
Introducci´ona nume´ricos
1.1.
los
m´etodos
M´etodosnum´ericos:deniciones,nomen-clatura y ejemplos
En otras asignaturas hemos obtenido una serie de herramientas para obtenersolucionesanalı´ticasendiferentesclasesdeecuacionesdiferenciales. Desgraciadamentehayungrann´umerodeecuacionesdiferencialesnore-solublesporningunodeestosme´todos.Enloscapı´tulosqueproponemosa continuaci´onseestudiar´andiferentesme´todosnum´ericosqueaproximanla curvacuyacondicio´ninicialyderivadasonlosdatosdadosporelproblema devalorinicial.Estoes,selograunatabladen´umeroscondoscoordenadas (xi,yi), dondeyiy(xi). Losme´todosnume´ricospuedentenermuchasforma,aqu´ısepropondr´an algunosdelosme´todosRunge-Kuttaymultipasom´asconocidos. El problema standard que procuraremos resolver es y0(t) =f(t, y(t)), y(t0) =y0,(1.1.1) dondey= (y1, . . . , ym),f= (f1, . . . , fm) ey0= (y01, . . . , y0m), son vectores dedimensio´nm,mientrasquetyt0son escalares. So´loconsideraremoselproblema(1.1.1)cuyasoluci´onexistaysea´unica. Por ejemplo cuandof:R×RmRmsea continua(x, y)D, donde D={(t0, tf)×Rm}, y de forma que exista una constante finita L, tal
2
que kf(x, y)f(x, y)k≤Lkyyk(1.1.2) para cualquier(x, y),(x, y),sieeosasstp´hiesoted.DuCpmile´dn diversosresultadosquenoseestudiar´anenestemanual,nosd´ aran garantı´asdequeexistasolucio´n´unicadenuestroproblema,yde quey(t)sea continua y diferenciable en D. Habr´avecesenlasqueestashi´tesisnoseveriquen,enesoscasos po ellectorhabra´detenercuidado,yaquelosm´etodosqueseestudiara´na conti-nuacio´nsonbastantegenerales,ypuedequenosirvanparaelcaso especı´co.Acontinuacio´nsedanejemplosmuybreves,quemuestrancomo antesdeintentarresolverelproblema,esprecisoestudiarlacasuı´sticadel mismo, de esta forma se evitar´ l perdida de tiempo y de esfuerzos. a a Ejemplo 1: consideremos y0(x) =p|y|, y(3) = 0.(1.1.3)
Aquı´nosecumplenlascondiciones,elresultadoesqueexisteninnitassolu-ciones,porejemplosonv´alidastodaslasqueseandeltipo c1)2 y(x) =((0xs4ix >sic1xc13 Ejemplo 2: sea nuestro problema y0(x) = 1 +y2, y(0) = 1,conx[0,4π].(1.1.4)
Enestecasonoexistedichaconstante,raz´onporlaquelasoluci´ondelproble-may(t) = tan(x+4πn´astoe)naeadotacπ4, donde presenta una singularidad. Ejemplo 3: supongamos que nuestro problema es ahora y0(x) =λ(yE(x)) +E0(x), y(0) = 10.(1.1.5) DondeE(x) = 10(10x)exyλ=2000, por ejemplo. En este caso s´ı se verifican las condiciones pedidas, pero el hecho de que la constanteLipschitzianaseatanaltahacequelosme´todosnum´ericostengan problemas. Este ejemplo, considerado de la familia de los Prothero-Robinson es tıpico ´ entre los problemas stiff que veremos mas adelante. ´
3
Todoslosme´todosqueseproponenaquı´partendelaideadeladis-cretizaci´ondelcontinuo[t0, tfo´iculosnndes]docalaebusy(t) del problema (1.1.1). Consideramos un conjunto de puntost0< t1 < t . .< .f, y llamaremos longituddepasoenlaiteraci´onnahn=tntn1. Deestaformaunme´todonume´ricoesunaecuacio´nendiferenciasquenos permite obtener de forma recursiva una serie de aproximacionesyndey(xn), utilizando valores obtenidos anteriormenteyn1, . . . , ynky evaluaciones de lafunci´onf(t, y(t)). Laprimeragranfamiliademe´todosqueseproponensonlosRunge-Kutta. Un Runge-Kutta de s pasos se escribe de forma general como
s yn+1=yn+hXbiki i=1
(1.1.6)
donde s ki=f(xn+cih, yn+Xaijki) j=1 Mientrasquellamaremosm´etodosmultipasoaaquellosm´etodosdeinte-graci´onnume´ricaquesepuedenescribircomo
α0yn+α1yn1+...+αkynk=h(β0fn+β1fn1+...+βkfnk) (1.1.7) dondek >´lsdsoo,odetse1terounenuedejoqnlu´neeedapemor e m fi=f(xi, yi), y lasαi, βison constantes que no dependen de n;, ynes el valor quesequierecalcularencadaiteracio´n,mientrasquelosyni, con 0< ison valores que se han obtenido previamente.
1.2. Consistencia
Siconsideramosqueelme´todoseobtienedelaf´ormulageneral
α0yn+α1yn1+...+αkynk=f(yn, . . . , ynk, xn;h),(1.2.1) dondeφfdenota queφdepende deyedse´vartaf, y definimos el residuo como k Rn:=Xαjy(xnj)f(yn, . . . , ynk, xn;h) j=0
4
(1.2.2)
esf´acilobservarqueparaqueunme´todoseava´lidoparaencontraruna solucio´napropiadaanuestroproblema,necesitaremosnoso´loque
hıl´m0Rn= 0,
(1.2.3)
tambien sera preciso que ´ ´ lh´ım0hRn= 0.(1.2.4) Siestosucedesedicequeelm´etodoesconsistenteatseedselltadeasm´raPa. y otras futuras definiciones, un interesante libro es el de Lambert ([Lam91]).
1.3. Estabilidad
Supongamosqueseanuestroobjetivoencontrarunasoluci´onnume´ricadel problema (1.1.1), y supongamos ahora que perturbamos levemente tanto la funci´on(conδ(t)), como el valor inicial (enδ), siendo ahora nuestro problema z0(t) =f(t, z(t)) +δ(t), z(t0) =z0+δ,(1.3.1) Entonces, se dice que el problema de valor inicial (1.1.1) estotalmente estable, si dadas dos perturbaciones (δ(t), δ) y (δ(t), δ(t)) de (1.1.1) y siendoz(t) yz(t)las soluciones de los problemas problemas perturbados, existe una constante S tal quet[t0, tf] kz(t)z(t)k≤
siempre que
kδ(t)δ(t)k≤εykδδk≤ε.
(1.3.2)
Aunqueestadenici´onesmuyclara,esprecisosermuycuidadosocon lamisma,yaque,porejemplo,ası´lafuncio´nexponencialesestable.Sin embargo,m´asadelanteveremosqueestenoesundetallenadatrivial,pues pocosm´etodosintegrannume´ricamentebiendichafuncio´n. Sucedequealgunosme´todosnum´ericosaplicadosaalgunosproblemas devalorinicial,introducenerroresquedeterioranlasolucio´ndelproblema, pudiendo suceder que ante determinadas longitudes de paso, las soluciones oscilendegranmanerallegandoadivergirlassoluciones,locualnoserı´a aceptable en absoluto.
5
Por eso decimos que un metodo escero-establesi dadas dos perturba-´ ciones{δn, n= 0, . . . , N}y{δn, n= 0, . . . , N}m´eldoodet
k Xαjynj=f(yn, . . . , ynk, xn;h), yi=ai(h), i=1, . . . ,k j=0 (1.3.3) y siendo{zn, n= 0, . . . , N}y{zn, n= 0, . . . , N}sus respectivas soluciones, entonces existen constantes S yh0tales queh(0, h0], se cumple que kznznk≤Sε,0nN
siempre que kδnδk≤ε0nN.(1.3.4) n Ahora si introducimos los siguientes polinomios: α0yn+α1yn1+...+αkynk−→π(x) =α0xk+α1xk1+...+αk,(1.3.5) sedicequeelme´todo(1.3.3)vericala´noedalarndcoi´ici todas las ızs raı´cesdeπ(xouulodm´enentinouquenerosaedonlyenen)tiulomm´od multiplicidad menor o igual que la del orden del problema a resolver. Dadas estas nociones es posible enunciar el siguiente teorema: Teorema:lacondicio´nnecesariaysucienteparaqueun´todo me seaestable,esquesecumplalacondici´ondelaraı´z.
1.4. Convergencia:
Laideaprincipaltantodelosme´todosRunge-Kuttacomodelosmulti-paso es que dado el problema de valor inicial y0(x) =f(x, y), y(x0) =y0(1.4.1) entonces cuandoh0 y paraxn=x, se cumpla que l´ımyn=y(x).(1.4.2) h0
Peroadem´asesimportanteco´mosecomportaestel´ımite,yaquesipara valores deh1, se sigue dando que la diferencia entre el valor exactoy(x) y el valor estimadoynseot,se´tdanaodessecnotne,odaveelteanstbaıav´da
6
elcasodequeelm´etodonumericoesmuycostoso.Paraexplicarlodeotra ´ forma, es necesario hacer un numero muy elevado de cuentas para hallar una ´ buenaaproximacio´ndelasoluci´onverdadera. Conesendenimosqueunm´etododenidocomo(1.3.3)esconver-gentede valor inicial del tipo (1.1.1), consi, para todo problema f:R× RmRmcontinua(x, y)D, dondeD={(t0, tf)×Rm}, de forma que exista una constante finita L, tal que kf(x, y)f(x, y)k≤Lkyyk(1.4.3) para cualquier (x, y), (x, y) de D; entonces tenemos que 0mn´axNky(xn)ynk→0 cuandoh0.(1.4.4) Adem´as,estudiosm´aselevadosqueel´ que proponemos aquı, provaron que lacondicio´nnecesariaysucienteparaqueelme´todoseaconver-gente es que sea a la vez consistente y cero-estable. Comoyahemosvisto,engeneraltodoslosme´todosmultipasosepueden escribir como α0yn+α1yn1+...+αkynk=h(β0fn+β1fn1+...+βkfnk) (1.4.5) donde k es un entero fijo mayor que 1,fi=f(xi, yi), y lasαi, βi, son con-stantes que no dependen de n;ynel valor que se quiere calcular en cadaes iteraci´on,mientrasquelosyni, con 0< ison valores que se han obtenido previamente. Supongamosqueelme´todoescero-estable,comoloqueremoshallares y(xih)ynif´lamuor(1la.5.4ne,r)eepmalazomlssayni, por lasy(xih), y lashfni=hy0ni, porhy0(xni), de esta forma obtenemos α0y(xn)+α1y(xn1)+...+αky(xnk)h(β0y0(xn)+β1y0(xn1)+...+βky0(xnk) (1.4.6) Utilizando el desarrollo de Taylor de las funcionesy(xih), ey0(xih), en un entorno dex=xnvamosaobtenerunaeerpxo´islednopit C0y(x) +C1hy0(x) +...+Ckhky(k)(x) +...(1.4.7) enesecasosedicequeelm´etodoesdeordenk-1cuandoseobtieneque C0=C1=...=Ck1= 0 y queCk6= 0. Enesecasoelerrorproducidocondichome´todoesCkhky(k)(x)+O(hk+1), que para 0< h1, es aproximadamenteCkhky(k)(x). De manera equivalente, se puede trabajar con los Runge-Kutta hasta hallarelordendelm´etodo.
7
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin