Correction : Analyse, Fonctions elliptiques

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Intégration sur un intervalle quelconque (hors-programme Sup). Equation différentielle. Fonction de deux variables réelles. Courbes en coordonnées polaires. Etude métrique.

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1.

2.

3.a

3.b

3.c

3.d

4.a

4.b

4.c

5.

6.a

6.b

Correction

Partie I

La fonction:֏1 est définie et continue sur−1,1 .
(1−2)(1−22)
()1∼(1−12) 1−et()−∼12(1−12) 1+donc−11()existe.
2

Réalisons le changement de variable=sinτavecτ∈ −2π,2π.
= =
(sin())∫nsi0(12)(122)∫01τ2sin2.
− − −τ

−τ
∀∈ℝ−∈ℝet
,(−)=∫01−2sin2τ==−−∫01−2sin2τ= −() .est impaire.
La fonctionest la primitive surℝ, s’annulant en la fonction 0 de֏. 1
1−2sin2
֏1−2sin2est définie de classe∞surℝet à valeurs strictement positives donc
֏1−12sin2est∞et donc toute primitive de celle-ci, l’est encore.′()=1−2sni12.
Puisque′()>0 , la fonctionest strictement croissante.
∀∈ℝ, 1≥1  
1−2sin2 )donc (≥0= →+∞∞+→puisl→i+m∞()= +∞.
Par imparité : lim()= −∞. Puisqueest continue et strictement croissante sur,réalise une
→−∞
bijection deversl−i∞m, li+m∞=ℝ.
a même monotonie queetest impaire.
est∞et∀∈ℝ,′()≠0 doncest∞.′=(−1)′ = ′1−1=1−2sin2.

′=′1−2sin2′ = −2′sincos= −2sincosd2sin cos 0
1−2sin2, onc+′′  =.
((+π)−())′ = −212+π−1−12sin2( )=0 donc֏(+π)−( constante.) est
1 sin ( )
En prenant=2π: 2π2π22π2sin2π2.
= − − = = =

En fait :=sin,=coset=1−22.
Par composition :est impaire et,sont paires.
Par composition :,sont∞.
Puisque=sin, on a≤ or1 ,<1 donc=0 1−22>0 puisest∞par
composition.
∀∈ℝ. Posons=() de sorte que=() .
On a(+π)=()+donc+π=(+) .
Par suite(+)=sin(+π)= −sin()= −() et(+)= −() .

Puisqueetsontantipériodiques,et 2sont aussi=4périodiques.
D’autre part(+)=() doncest=2périodiques.

6.c

6.d

6.e

7.

1.

2.a

2.b

2.c

3.

4.a

 π2 () sinπ21
= =, 0( )
= donc =et()=

1−2.

′(sin)′′cos12sin2×=.
= = = −
2
′ =(cos)= −et′ = − .
′′=()′−=2−22= −((1− 2)2+(21−))2= −(1+
Donc+′′(1+2)−223=0 .
D’autre part(0)=sin((0))=0 ,(0)=1,(0)=1 puis′(0)=1 .
Si alors()=,()=puis()=sin,()=coset()=1 .
=∫101−2= [arcsin]01=π 2.

Partie II

)2+2 2

Considéronsψ:ℝ2→ℝ2définie parψ(,)=(+,−) .
On a clairementψφ=Idℝ2etφψ=Idℝ2doncφbijective etψ=φ−1.
1
Sachantφfonction de classe (, on obtient⇒ composition.) par
La réciproque s’obtient parψde classe1et=ψ.
  ∂11
(,)=+2,−2donne∂∂∂∂∂+=et∂∂=21∂∂−12∂∂.
 22
Soit:ℝ2→ℝde classe1. On a
∈∂∂⇔=0
1 2
⇔ ∃α∈(ℝ,ℝ),∀(,)∈ℝ,(,)=α()
⇔ ∃α∈1(ℝ,ℝ),∀(,)∈ℝ2,(,)=α(+)
Donc={(,)֏α(+) /α∈1(ℝ,ℝ)}.
Soit:ℝ2→ℝtelle que proposée. En dérivant la relation(,)=(, rapport à) paron obtient :
∀(,)∈ℝ2,∂∂(,)∂∂=(,)∂∂=(,) donc∈puis la conclusion.
  
Soit: (,)֏()1()−2()2+()(2)()()( .)est de classe1par composition et on a
clairement(,)=(,) . C’est la suite qui est plus embêtante :
(,)=()()()+()()() ,(,)=(1−2)2()2()
.
∂∂(,)=()()()()−(1+2)()()+223()() .

∂∂(,)= −22()()()2() .

∂(,)(,)∂(,)(,) (()()()())(122()2())
− = −
∂∂
−(1+2)()()+223()()+(21+)2(3)(3)−2 4(5)(3)
+222()()()2()()()+2(21−(2))(1 2(2))3()()

2 2
=(()()()())(1− ()2())−(1+2)()()−(21+)2(3)(3)
+222()()()2()()()+22(3)()+()(3)
expression symétrique enet.
∂∂
 −

Par suite∂∂= ∂2∂est symétrique enet. Ainsi∈.

1.a

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

2.c

3.

1.a

1.b

Donc il existeα:ℝ→ℝde classe1telle que(,)=α(+) .
Orα()=(, 0)=() donc()(1)2()2+()(2)(())()(+)
−    =  .
C’est le genre de question, où l’on peut se permettre d’admettre le terme des calculs, vu l’esprit du
problème et tant ceux ci sont lourds.

Partie III

ρest définie sur∈∪ℤ−4π+π,4π+πet estπpériodique.
Puisqueρ(θ+π)=ρ(θ) et(θ+π)= −(θ) , le point(θ+π) est le symétrique de(θ) par rapport
au point.
ρest paire doncest symétrique par rapport à () .

ρest dérivable sur 0, 4πetρ′(θ)= −

θ


2scions22θθ≤0 d’oρ(θ)

0
2

ց

π4

0

.

Pourθ=0 , on aρ′(θ)=0 , la tangente est orthoradiale.
Pourθ=π4 , on aρ(θ)=0 , la tangente est la droite d’équationθ=π4 .
θ=2(θ)+ρ′2(θ)=c2θ.
ρos 2

Notons=((θ),(θ)) 2π. Puisqueρ(θ)>0 , on peut prendre∈0,π.
cosπ2
On a cot= ′( )= −sin 2=2=cot+2
ρρ(θθ 2) cosθθsin2π++2θθπ2θavecπ2+2θ∈ ]0,π[.
Donc=π2+2θpuisα(θ)=+θ=π2+3θ.

λ(θ)=α=θα⋅θ=23os2cθpuis(θ)=3

2
.
cos 2θ

θ=∫θ=∫θ2α=∫θ2α.
( )0 0cos2α01−2sin2α
Posons=2 sinα,=2 1−212αpuis
2 sin
(θ)= =(θen prenant=
∫0θ22 )2 sin
1−11−
2

Partie IV

1
.
2

+′′ω2=équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation une 0 est
caractéristique2+ω2= racines0 deωet−ω.
La solution générale de cette équation est()=λcos(ω)+sin(ω) avecλ,∈ℝ.
Une telle fonction satisfait aux conditions initiales proposées ssiλ=αet=0 .

Finalement (1) possède une et une seule solution à savoir()=αcos(ω) .

2π
.
0=
ω

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

3.

֏(−0) est définie et de classe∞surℝet à valeurs dans−,⊂ − par1,1 donc
composition,est définie et∞surℝ.
′ ⋅ω−ω−
()= −2ω( (220))( ( 0))= −2ω(ω(−0)) et
1− (ω(−0))
′′()=2ω2(ω(−0))(ω(−0)) .
⋅(ω(−0))=sin(−12()) et(ω(−0))=1−2(ω(−0))=cos−12()
donc′′()= −2ω2sin12()cos12() = −ω2sin(()) .
Ainsiest solution de l’équation différentielle′′+ω2sin=0 .


(0))(0=α0⇔(ω00)==1nsiα2 .

=
(ω) 0
ω=.
Pour=sni2α, les fonctionsetsont déterminées et on veut0de sorte que :(0) 1
(ω0)=0
 
Sachant que pour21 =1 et21 =0 ,0=2ωconvient.
étant 4périodique,est une fonction1=4périodique.
ω
Quandαcroît dans0,π2,=n2siαcroît puis=∫122croît aussi.
0(1−) (1− 2)
Au final,1est une fonction croissante deα.
1
1=4=2∫avec=sinα.
02π π01−21−222

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