Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Applications et fonctions

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Applications et Fonctions
 I – Applications
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APPLICATIONS ET FONCTIONS
ECS 1
1) Relation binaire Définition : Une relation binaire est un triplet formé d’un ensembleE départ », « de d’un ensembleF appelée vide de « graphe » non« d’arrivée » et d’une partie de la relation. Un élémentxdeEest en relation avec un élémentydeFsi (x,y) . La relation est donnée soit par le triplet (E,F , soit plus généralement par une, ) caractérisation de cette appartenance. Exemples: Avec:youyoux2y21 oueouylnx. 2) Application Définition : Une applicationf une relation binaire ( estE,F, ) que pour tout telle x E, il existe un unique élémenty Ftel que (x,y On note) .y f(x) etyest appelé image dexparf, tandis quexest appelé antécédent dex. Tout élément deEest en relation avec un et un seul élément deF, donc possède une image et une seule. Mais certains éléments deF avoir plusieurs antécédents peuvent ou aucun. Exemples: Avec:y,x2y21 etylnx sont pas des ne applications. Par contreyety ele sont. Notation : L’ensemble des applications deEdansFest noté(E,F) ouFE. Définition : On appelle identité d’un ensembleEl’application deEdansE Id, notéeE, définie par :xEIdE(x)x. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on note simplement Id . 3) Restriction et prolongement Lorsque l’on change d’ensemble de départ ou d’arrivée, on change l’application, et donc ses propriétés. Définition : Sifest une application deEdansFet siAest une partie non vide deE, on appelle restriction defàAl’application notéefAdeAdansFqui coïncide avecfsur A, donc définie par : A f/A(x)f(x) . Inversement, siEest une partie d’un ensembleBet sigest une application deBdans F, on dira quegest un prolongement defàBsig/Ef. La restriction defàAest unique, alors quefpeut admettre plusieurs prolongements à un même ensembleB. Exemple: La fonction dedansdéfinie parf(x)xadmet pour prolongements àles fonctionsgethdedansdéfinies par :g(x)xeth(x)x. Ici, on a parlé de changement de l’ensemble de départ. Lorsque l’on change d’ensemble d’arrivée, on change l’application, mais il n’y a pas de terme particulier. 4) Composition On peut composer des applications si les ensembles se correspondent. Définition : Sif est une application deE dansF etg une application deF dansG, la composéegf l’application de estE dansG définie par :x E(g f)(x)g[f(x)] .
Applications et Fonctions - 2 - ECS 1 Exemple: Sif définie de est dans parf(x)x24 etg de dans parg(x) lnx, alorsgfest définie dedans (par :gf)(x) ln(x2 et4) , fgdedanspar : (fg)(x) (lnx)24 . Les applicationsfgetgfne sont pas toujours définies. Théorème : La composition des applications est associative, mais non commutative. Soitx E,y f(x) ,z g(y) ett h(z) . Donc (gf)(x)g[f(x)]g(y)zet[h(gf)](x)h[(gf)(x)]h(z)t. Et (hg)(y)h[g(y)]h(z)tdonc[(hg)f](x) (hg)[f(x)] (hg)(y)t. Donc :x E[h(gf)](x) [(hg)f](x) . Donc :h(gf) (hg)f. 5) Image directe et image réciproque Définition : Sifest une application deEdansF:  siAest une partie deE, l’image directe deAparfest l’ensemble des images parf des éléments deA:f(A)f(x) /xA. C’est aussi l’ensemble des éléments de Fqui ont un antécédent dansA:f(A)yF/xA yf(x).  siB une partie de estF, l’image réciproque deB parf est l’ensemble des antécédents parf éléments de desB, c’est-à-dire l’ensemble des éléments deE dont l’image est dansB:f1(B)xE/f(x)B. Exemple: Pourf(x)x2dedans:f 2[)(] 1,[0, 4[ etf1([1, 4])[2, 2] . Propriétés de l’image directe : SiAetBsont des parties deE:  siAB, alorsf(A)f(B) .  f(AB)f(A)f(B).  f(A B)f(A)f(B). On a l’égalité sifest injective. Propriétés de l’image réciproque : SiAetBsont des parties deF:  siAB, alorsf1(A)f1(B) .  f1(AB)f1(A)f1(B).  f1(AB)f1(A)f1(B). Démonstration : Les propriétés 1 et 4 sont évidentes. AAB etBAB. Doncf(A)f(AB) etf(B)f(AB Donc) .  on a l’inclusionf(A)f(B)f(AB). Inversement, siy f(AB il existe) ,x AB que tely f(x) . Six A, alorsy f(A) et six B, alorsy f(B) . Dans les deux casy f(A)f(B) . Donc on a l’inclusionf(AB)f(A)f(B).  A BA etA BB. Doncf(A B)f(A) etf(A B)f(B) . Donc on a l’inclusionf(A B)f(A)f(B). Inversement, siy f(A)f(B) , alorsy f(A) ety f(B) , donc il existe a Aetb Btels quey f(a)f(b Mais dans le cas général,) .aetbpeuvent être distincts. Par contre on verra que, sif injective, alors esta b, donc appartient àA B. Donc on n’a la deuxième inclusion que sifest injective.  AABetBAB. Doncf1(A)f1(AB) etf1(B)f1(AB) . Donc on a l’inclusionf1(A)f1(B)f1(AB). Inversement, sif1(AB alors) ,f(x)AB. Sif(x)A, alors f1(A si) etf(x)B, alorsf1(B) . Dans les deux cas f1(A)f1(B). Donc on a l’inclusionf1(AB)f1(A)f1(B).
Applications et Fonctions - 3 - ECS 1  A BAetA BB. Doncf1(AB)f1(A) etf1(AB)f1(B) . Donc on a l’inclusionf1(AB)f1(A)f1(B). Inversement, sif1(A)f1(B), alorsf1(A) etf1(B) , donc f(x)A etf(x)B, doncf(x)AB, doncf1(AB) . On a donc linclusion f1(A)f1(B)f1(AB). 6) Fonction indicatrice d’une partie Définition : SiA est une partie deE, on appelle fonction indicatrice (ou caractéristique) deAl’application deEdans 0,1 notée 1Aet définie par : xE1A(x) is10 siAA. Cette fonction sera utilisée en probabilités. Propriétés : SiAet B sont deux parties deE:         A B1A1B 1A11A 1AB1A1B 1AB1A1B1A1B Les démonstrations sont évidentes sauf la dernière, pour laquelle on utilise le complémentaire :ABABdonc 1AB1A B. Donc 11AB(11A)(11B) . 7) Equations L’objectif est la résolution d’une équation, ce qui revient à la recherche d’antécédents. Exemple: Résoudre l’équationx35x2x3 à chercher les antécédents0 revient de 0 par la fonction définie par :f(x)x35x2x3. Bien sûr, cela dépend de l’ensemble de départ et d’arrivée def. Par exemple ( 1) n’a pas d’antécédent danspar la fonction définie parf(x)x2, alors qu’il en a dans. Définition : Une applicationfdeEdansFest :  Injective si tout élément deFpossède au plus un antécédent dansE.  Surjective si tout élément deFpossède au moins un antécédent dansE.  Bijective si tout élément deF possède un unique antécédent dansE. Alors, l’application deF dansE à tout élément de quiF associe cet unique antécédent s’appelle l’application réciproque defet se notef1. Pour étudier les propriétés d’une applicationf, il faut donc pour touty Fchercher le nombre de solutions de l’équationf(x)ydansE. La fonctionf sera injective s’il y a 0 ou 1 solution, surjective s’il y a au moins une solution et bijective s’il y a une unique solution. Exemples: Avec:y une application bijective, tandis que este est une application injective (unique antécédentxlnysiy0 ), mais pas surjective (pas d’antécédent siy0 ). Théorème : Une application deE dansFsi et seulement si elle est est bijective injective et surjective.  Mais il est souvent plus court d’étudier directement l’équationf(x)y. Montrer qu’une application est injective revient à montrer que deux éléments distincts deEne peuvent pas avoir la même image : si1x2, alorsf(x1)f(x2) . Par contraposée, on obtient : Théorème : Une applicationfdeEdansFest injective si et seulement si, pour tous les élémentsx1etx2deE:f(x1)f(x2)x1x2.
Applications et Fonctions
 
 
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ECS 1
Exemple:f(x) de 211E1 dansF. Soient1et2dans1 . f(x1)f(x2)2i  ssxx11112xx2211  cissd 2n(o,x11)(x21)(x11)(2x2 donc1) , en développant, ssi 2x1x22x1x212x1x22x21x1 , donc ssi1x2. Donc l’applicationfest injective. Soity. Alors :y f(x à) équivauty(x2)1x donc à1 ,x(y2)y1. Siy2 , l’équation n’a pas de solution. Donc 2 n’a pas d’antécédent. Donc l’applicationfn’est pas surjective deEdansF. Par contre, si l’on prendF2:yf(x)xyy. 12 Ory 2yy21 1car :yy121y1y pas de solution)2 (donc Donc :y2!x1yf(x Donc) .fest bijective deE1 dans son application réciproque est définie ar :f1(x)x1 . F2et p2 Remarque : La notationf1est utilisée dans l’image réciproquef1(B) d’une partie, 1 mais sifn’est pas bijective, il n’y a pas d’applicationf. Théorème : La composée de deux applications injectives est injective.  La composée de deux applications surjectives est surjective.  La composée de deux applications bijectives est bijective. Démonstration : La troisième est évidemment conséquence des deux autres.  Supposonsfinjective deEdansFetginjective deFdansG (. Soient1,x2)E2. Si (gf)(x1)(gf)(x2) , alorsg[f(x1)]g[f(x2)] , doncf(x1)f(x2) carg est injective, donc1x2carfest injective. Doncgfest injective.  Supposonsfsurjective deEdansFetgsurjective deFdansG. Pour toutz G, il existey F que telz g(y) carg surjective, et il existe estx E tel que y f(x) carfest surjective. Donczpossède au moins un antécédentxpargf carz g(y)g[f(x)] (gf)(x) . Doncgfest surjective. Théorème : Sifest bijective deEdansF, alorsf1fIdEetff1IdF. C’est évident, étant données les définitions. Théorème : Sifest une application deEdansFet s’il existe deux applicationsgeth deFdansE telles quegfIdEetfhIdF, alorsfest bijective etghf1. Démonstration : Montrons d’abord quefest bijective. Soientx1 etx2 deEtels quef(x1)f(x2 Donc) .g[f(x1)]g[f(x2 Donc)] . x1x2. Doncfest injective. Soity F. Doncf[h(y)]y. Donc il existex h(y) dansE que tely f(x) . Doncfest surjective deEdansF. Doncfest bijective. Soitf1sa réciproque. Donc :f1fIdEetff1IdF.      Doncgg(ff1)(gf)f1IdEf1f1. Eth(f1f)hf1(fh)f1IdFf1.
Applications et Fonctions - 5 - ECS 1 II – Fonctions 1) Ensemble de définitio n Définition : Une fonctionfdeEdansF (est une relation binaireE,F, ) telle que pour toutx E, il existe au plus un élémenty Ftel que (x,y) . Donc tout élément deE en relation soit avec un unique élément de estF, soit avec aucun. Donc toute application est une fonction, mais la réciproque est fausse. Exemple:f(x)tiu fénid 1de ion onctne fdans, mais pas une application. On parle de fonction numérique d’une variable réelle si. Mais par la suite, on étudiera les fonctions numériques de plusieurs variables réelles. Définition : Sifest une fonction deEdansF, on appelle ensemble de définition def l’ensembleDfdes élémentsxdeEqui possèdent une image dansF. Exemple:f(x)t une fo défini ecnitnod 1dansetDf* . uest défini si et seulement siuetvsont définis, et siv0 .
uest défini si et seulement siuest défini, et siu0 . lnuest défini si et seulement siuest défini, et siu0 . et su. tanuest défini si et seulement siuest défini, i 2 ( ) cotanuest défini si et seulement siuest défini, et siu0 () . Cela donne un système de conditions qu’il s’agit de résoudre. Exemple 1:f(x)1xx. Donc 2xDf1xx220.  0 DoncDf[2,1[]1,[ . 1x0   cDf]0,1[ . Exemple 2:f(x)1lx. Doncx Dflxnx0D no0. Exemple 3:f(x) .oDcn t1nat1xDfx2(. ) antanx1 DoncDkf'%!4k,2k&%#$2k45,k&($". 2) Parité Dans certains cas, en remarquant des propriétés de la fonction, on peut réduire l’étude. Définition : Une fonctionfest impaire sixDf(x)Df etf(x) f(x) . Sa courbe représentative est symétrique par rapport au pointO on peut réduire et l’étude de la fonctionfàDf[0,[ . La première condition revient à dire queDfest symétrique par rapport à 0. Les fonctions sinus, tangente et cotangente sont impaires.    Autre Exemple:f(x)ln!'xx11". DoncxDfx10 etx110 . ( DoncDf] ,1[]1,[ est symétrique par rapport à 0.
Applications et Fonctions - 6 - ECS 1 xDff(x)ln!'xx1"(ln'!xx1("ln'!xx11("f(x) . 1 1 Donc la fonctionfest impaire. On réduit son étude à ]1, [ et on complète sa courbe par symétrie par rapport au pointO. Plus généralement, la courbe représentative d’une fonctionf un centre de admet symétrie (a,b : et seulement si) sixDf2axDf et f(2a x) 2b f(x) . La première condition signifie queDfest symétrique par rapport àa. Exem le: p f(x)2x1rapport que par   à2)1,.( L.coa 1mys irtéebrutse Définition : Une fonctionfest paire sixDf(x)Df etf(x)f(x) . Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnéesOy on et peut réduire l’étude de la fonctionfàDf[0,[ . La première condition revient toujours à dire queDfest symétrique par rapport à 0. La fonction cosinus est paire. x Autre Exemple:f(x)e2x oDcn .1Dfest symétrique par rapport à 0. e x x   2x222x Dff(x)ex1e(2exx1)exx1f(x) . e e e e Donc la fonctionf on complète sa courbe par etest paire. On réduit son étude à [0, [ symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Attention ! Impaire n’est pas le contraire de paire : la plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Une seule fonction est à la fois paire et impaire : la fonction nulle. Plus généralement, la courbe représentative d’une fonctionfadmet un axe de symétrie déquation x asi et seulement si :xDf2axDfetf(2a x)f(x) . La première condition signifie queDfest symétrique par rapport àa. Exemple:f(x)x24x1 . La courbe est symétrique par rapport à la droite déquation x2 . 3) réoiPét idic Définition : Une fonctionf est périodique s’il existe un réelP0 tel : que xDfxPDfetf(x P)f(x) . La période est le plus petit réelP convient.0 qui Sa courbe représentative est invariante par translation de vecteursnPi tout pour n. et on peut réduire l’étude de la fonctionf àDf[a,aP] oùa est un réel quelconque. Par récurrence, on démontre que :n  xDf f(x nP)f(x) . Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 . Les fonctions tangente et cotangente sont périodiques de période .
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