Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Applications et fonctions

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Catherine Laidebeure

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

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Applications et Fonctions

I Applications

- 1 -

APPLICATIONS ET FONCTIONS

ECS 1

1) Relation binaire Définition : Une relation binaire est un triplet formé d’un ensembleE départ », « de d’un ensembleF appelée vide de « graphe » non« d’arrivée » et d’une partie de la relation. Un élémentxdeEest en relation avec un élémentydeFsi (x,y) . La relation est donnée soit par le triplet (E,F , soit plus généralement par une, ) caractérisation de cette appartenance. Exemples: Avec:youyoux2y21 oueouylnx. 2) Application Définition : Une applicationf une relation binaire ( estE,F, ) que pour tout telle x E, il existe un unique élémenty Ftel que (x,y On note) .y f(x) etyest appelé image dexparf, tandis quexest appelé antécédent dex. Tout élément deEest en relation avec un et un seul élément deF, donc possède une image et une seule. Mais certains éléments deF avoir plusieurs antécédents peuvent ou aucun. Exemples: Avec:y,x2y21 etylnx sont pas des ne applications. Par contreyety ele sont. Notation : L’ensemble des applications deEdansFest noté(E,F) ouFE. Définition : On appelle identité d’un ensembleEl’application deEdansE Id, notéeE, définie par :xEIdE(x)x. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on note simplement Id . 3) Restriction et prolongement Lorsque l’on change d’ensemble de départ ou d’arrivée, on change l’application, et donc ses propriétés. Définition : Sifest une application deEdansFet siAest une partie non vide deE, on appelle restriction defàAl’application notéefAdeAdansFqui coïncide avecfsur A, donc définie par : A f/A(x)f(x) . Inversement, siEest une partie d’un ensembleBet sigest une application deBdans F, on dira quegest un prolongement defàBsig/Ef. La restriction defàAest unique, alors quefpeut admettre plusieurs prolongements à un même ensembleB. Exemple: La fonction dedansdéfinie parf(x)xadmet pour prolongements àles fonctionsgethdedansdéfinies par :g(x)xeth(x)x. Ici, on a parlé de changement de l’ensemble de départ. Lorsque l’on change d’ensemble d’arrivée, on change l’application, mais il n’y a pas de terme particulier. 4) Composition On peut composer des applications si les ensembles se correspondent. Définition : Sif est une application deE dansF etg une application deF dansG, la composéegf l’application de estE dansG définie par :x E(g f)(x)g[f(x)] . 

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